大学物理A层次-第二章 牛顿动力学(平动)

第一篇力学第二章牛顿动力学第一篇经典力学描述物体的运动状态——运动学寻求物体具有某种运动状态的原因——动力学万有引力定律质点运动学刚体运动学静力学动力学质点力平衡刚体力矩平衡质点动力学刚体动力学内容结构第二章牛顿动力学(平动)问题：寻求物体具有某种运动状态的原因侧面1.瞬时效应牛顿三大定律侧面2.时间累积效应动量、角动量守恒侧面3.空间累积效应功、能、能量守恒•保持原有运动状态的原因•改变原有运动状态的原因•物体受力分析遵守的原则•时间累积定理——动量、动量矩定理•动量、角动量守恒定理•空间累积定理——功、能功能原理•机械能、能量守恒规律§2.1力对物体的瞬时效应——牛顿三定律一牛顿三定律的理解二牛顿三定律的应用三牛顿定律的坐标变换——惯性系与非惯性系内容结构1.保持物体运动状态的原因——牛顿第一定律2.改变物体运动状态的原因——牛顿第二定律3.物体受力分析遵循的原则——牛顿第三定律4.牛顿三定律之间的关系1.几种常见的力2.牛顿三定律的应用1.相关概念2.惯性系与非惯性系的区分3.非惯性系下的牛顿第二定律一牛顿三定律的理解1.保持物体运动状态的原因——牛顿第一定律牛顿第一定律：任何物体都会保持其相对静止或匀速运动状态，直到有外力迫使它改变这种运动状态为止。理解：A.惯性：物体保持其相对静止或匀速运动状态的内禀属性。惯性状态：物体保持相对静止或匀速直线运动的状态。惯性状态和惯性是两个不同的概念。B.惯性是保持其原有运动状态的内部原因，力是改变物体运动状态的外部原因C.牛顿力学适用的条件：惯性系2.改变物体运动状态的原因——牛顿第二定律牛顿第二定律：理解：A.牛顿第二定律是实验定律B.给出了质量是惯性的量度以及力的量度C.牛顿第二定律的瞬时性、矢量性、独立性。瞬时性：力和加速度同时存在，同时消失。独立性：每个力对物体产生的加速度，与是否存在别的力无关或：多个力对同一物体产生的加速度，等于每一个力单独对物体产生的加速度的矢量和。矢量性：牛顿第二定律满足矢量的合成与分解。直角坐标系自然坐标系3.物体受力分析遵循的原则——牛顿第三定律牛顿第三定律理解：A.作用力和反作用力分别作用于不同物体上，各自产生各自的效应。B.作用力和反作用力性质相同，且大小相等，方向相反，作用在同一直线上。C.作用力与反作用力同时存在，同时消失。4.牛顿三大定律之间的关系A.牛顿三定律构成一个完整、有机的整体。第一定律指明影响物体运动状态的内部、外部因素；第二定律定量给出各影响物体运动因素之间的定量关系，且定量给出物体惯性的量度；第三定律则为分析改变物体运动状态外部因素——力提供了理论基础。三个定律结合一起，为寻求物体为什么具有某种运动状态的原因提供了完整且相互联系的理论基石B.牛顿三定律是互相独立、互不包含的定律第一定律独立指出牛顿力学体系成立的前提以及影响物体运动状态的因素；第二定律给出各影响因素之间的定量关系并指出惯性是由质量量度的；第三定律提供分析影响物体运动状态外部因素——力的理论基础。二牛顿定律的应用

1.几种常见的力

见下页图表几种常见的力

万有引力弹力摩擦力静电力磁力定义产生条件大小方向备注

任何情况接触形变接触、有相对运动或趋势存在电荷有电流存在有运动电荷质点连线,指向受力质点与形变方向相反与物体相对运动或趋势相反右手螺旋定则质点连线,指向受力质点2.静电力：例：m1=1kg，m2=1kg，r=1m。则：1.万有引力：是自然界所有力中强度最弱的相互作用力，是长程力。。磁力是电场力的相对论效应这是任何精密仪器无法测量的。2.牛顿定律的应用

(1).牛顿定律应用的主要类型

A.已知受力求物体运动状态B.已知物体运动状态求物体受力C.已知物体部分运动状态和部分力求解未知力和运动状态(2).牛顿定律应用的解题步骤

A.确定研究对象，分析物体受力B.建立坐标系，列动力学方程C.解算及讨论例：在光滑水平面上固定一竖直圆筒，半径为R，一物体紧靠内壁在水平面上运动。设摩擦系数为

，在t=0时，物体的速度为v0求：任意时刻物体的速率和运动的路程解：以小球为研究对象。考虑到小球作曲线运动，因此，选择自然坐标是比较方便的。(1).任意时刻物体的速率列动力学方程：法向：切向：联立求解方程：于是：(2).物体运动的路程由分离变量方法说明：A.建立坐标系，依求解问题方便而定，一般地，求解曲线运动问题，建立自然坐标简便B.法向加速度、切向加速度中，v是速率，不是速度。C.熟练掌握一些数学技巧，理解数学中求导、积分的物理涵义例：设颗粒质量为m，受水的浮力为B，颗粒运动时受水的阻力为：f=-kv，k为常数。求：颗粒由静止下降过程中的速度随时间的变化规律及颗粒的极限速度。解：(1).颗粒由静止下降过程中速度随时间的变化规律建立图示坐标系，设t=0时，颗粒速度v0=0于是：解之得：(2).颗粒的极限速度由速度的解显然看出，当时间增大时：vT为极限速度还可以看出，当b=mg时，v=0，这是显然的。说明：本题的主要目的在于重视数学技巧及解题结果的讨论分离变量方法例：如图，已知环套在与竖直轴成

的杆上，其质量为m，杆绕竖直轴以

的速度匀速转动，环距离轴心距离为l求：(1).当环与杆相对静止时，杆对环的静摩擦力(2).若环与杆的静摩擦系数为

s时，欲保持杆静止，杆的角速度应保持在什么范围？解：建立图示坐标系，并对环受力分析，设f向上(1).当杆与环保持相对静止时解此联立方程组：(2).若环与杆的静摩擦系数为

s时，欲保持杆静止，则必须满足的条件是：讨论：A.当f>0，即环有下滑趋势，此时，存在一个最小角速度

min，代入上述结果有：显然，当，即时，不存在

min，或即便

min=0，环也不下滑。B.当f<0，即环有上滑趋势，此时，存在一个最大角速度

max，代入上述结果有：显然，当，即时，不存在

max，或即便

max，环也不上滑。杆的角速度的范围说明：A.问题如存在临界条件，可以将未知力用假设的方法表出，最后根据解得的结果加以讨论。B.临界状况常常是摩擦力导致的，讨论时常用到条件——所需摩擦力必须小于物体能够提供的摩擦力，这一般为自然条件C.物理题目的结果常常需要物理模型的讨论，这点很重要。例：一条轻绳跨过摩擦可被忽略的轻滑轮，绳的一端挂有质量为m1的物体，绳的另一端穿过一质量为m2的环。求：当环相对于绳以恒定的加速度a0沿绳向下滑动时，物体和环相对于地面的加速度各是多少？环与绳间的摩擦力多大？解：规定(ox轴)向上为各量的正方向。选取m1、m2作研究对象。如下页图所示，对选取对象作受力分析。

解得Tm1m1ga1Ta0m2m2ga2m1m2oxT为摩擦力例：如图所示，质量为m的钢球由静止开始从A点沿圆心在o、半径为R的光滑半圆形槽下滑。当滑到图示位置（钢球中心与o的连线和竖直方向成角）时求：这时钢球对槽的压力以及钢球的法向加速度和切向加速度。

解：由fn=man，ft=mat有

RoAmgNat法向：切向：利用技巧：及上式中前的负号来源于角速度正负符号的规定，求解上式机械能守恒代入法向方程例：一人在平地上拉一个质量为m的木箱匀速地前进,木箱与地面的摩擦系数µ=0.6,肩上绳的支持点距地面高度h=1.5m,问绳长L为多长时最省力?

解：应先找出力与某个变量()的关系，再求极值hL

fkNmgF由图可知：L=h/sin=2.92m时，最省力水平方向：(匀速)竖直方向：解得F有极小值的充要条件是于是得到：三牛顿定律的坐标变换——惯性系与非惯性系1.相关概念例：分别在加速行驶的火车、地面上观察火车车厢中水平桌面上的小球运动，必然得出的不同结论。火车车厢上的观察者——小球没有受任何外力作用而产生了加速度——牛顿定律失效。而小球的运动情形，按惯性系中的牛顿定律，相当于小球受到的作用力为：地面上的观察者——火车车厢光滑的桌面不能提供小球作用力以使小球与火车以同样加速度运动，因而小球与地面保持相对静止——满足牛顿定律Amk乙甲a惯性系：牛顿定律严格成立的参考系，称之为惯性系。非惯性系：牛顿定律不能成立的参考系，称之为非惯性系。惯性力：在非惯性系中，为使物体保持相对静止，而必须假想给物体施加的作用力：理解：A.惯性力是假想力，没有施力物体，也没有反作用力B.惯性力的方向与非惯性系的加速度方向相反，大小等于ma，可以理解为给非惯性系加上一个反方向的加速度，使之成为惯性系，而同时为保证物体与参照系的相对运动状态保持不变，因而必须给非惯性系中的每一个物体加上一个反方向的加速度，等效于给每个物体加上一个作用力——惯性力。Amk乙甲aC.惯性力(Fg=ma)中的加速度a，是非惯性参考系相对于惯性系的加速度，而不是物体相对于惯性系的加速度。2.惯性系与非惯性系的区分按惯性系和非惯性系的定义，通过实验，它们总是可以区分的。或者说，惯性系和非惯性系是具有不同性质的参照系，与运动的相对性无关。3.非惯性系下的牛顿第二定律由惯性力的理解B，给物体加上反向加速度后，非惯性系就变为惯性系。那么，牛顿第二定律仍就适用，于是，在非惯性系中，牛顿第二定律可以改写为：是非惯性系的加速度，是物体相对于非惯性系的加速度。A.平动非惯性系下的牛顿第二定律B.转动非惯性系下的牛顿第二定律Amk乙甲a，例：如图，升降机内有一倾角为

的光滑斜面。当升降机以匀加速度a相对地面上升时，一物体m正沿斜面下滑。求：物体m相对于升降机与地面的加速度。

解：设升降机相对于地面的加速度为a1，木块相对于升降机的加速度为a2，选择升降机为参照系并建立图示坐标系。给升降机加上反向加速度a1后，对物体受力分析，如图，有aa在有滑槽、匀速转动圆盘上的观察者认为，滑槽中物体受到由圆心向外的惯性力，与平动非惯性系分析惯性力方法类似，转动非惯性系的惯性力为转动非惯性系中的牛顿定律成为解之得：(木块相对于升降机的加速度)木块对于地面的加速度为(与斜面的夹角)说明：上面解题过程中的Fg是惯性力，是加速度的反方向。给非惯性系加上反向加速度后进行受力分析，得到的加速度是相对于非惯性系的加速度。而不是相对于惯性系的加速度。例：如图，斜面足够长，斜面B的质量为M，物体A的质量为m，A与B之间的摩擦系数为

，斜面与地面之间无摩擦。求：当物体A在斜面上运行l时，斜面所发生的位移解：建立图示坐标系，给B施加反向加速度aB使之成为惯性系同时，设A相对于B的加速度为aAB，于是，动力学方程为对B：对A：解此方程组得A物体在斜面上运行l：B物体对应的位移：联立求解可得解（略）。§2-2.力对物体的时间积累效应——动量守恒定理平动情形下的时间积累效应转动情形下的时间积累效应质点动量定理刚体角动量定理质点角动量定理质点系动量定理力对物体的时间积累效应——动量守恒定理冲量、动量、动量定理、动量守恒定理冲量矩、角动量角动量定理、角动量守恒暂不讲，单独成章平动情形下的时间积累效应一单质点动量定理2.单质点的动量定理

1.相关概念

二质点系的动量定理

1.相关概念

2.质点系的动量定理

三动量定理的应用

1.可运用动量定理求解的问题特征

3.运用动量定理解题应注意的问题

2.动量定理应用的常用近似方法内容结构一单质点动量定理1.相关概念

冲量：力对时间的累积矢量，称为冲量。积分形式：微分形式：说明：冲量是矢量：大小——方向：一般与作用力方向不同运算法则：矢量合成法则独立性：每个力对物体产生的冲量，与是否存在别的力无关。或：多个力对同一物体产生的冲量，等于每一个力单独对物体产生的冲量的矢量和动量：(动量的理解与冲量的理解相类似，此处略)。2.单质点的动量定理推导：理解：A.动量定理表明，力在时间上的累积是动量改变的原因。动量定理与状态相联系。C.动量定理的矢量性。直角坐标系表示：质点所受合外力的冲量等于质点动量的改变量B.适用条件：动量定理建立在牛顿第二定律基础上，牛顿定律的适用条件——惯性参考系——也是动量定理的适用条件D.单质点的动量守恒定理：当单质点所受合外力冲量为零时，其动量为守恒量。例：假定气体分子与容器壁的碰撞为弹性碰撞，用分子运动论推导平衡态下压强的微观表达式。推导：按气体动理论，压强的微观实质是大量的气体分子与器壁碰撞形成的。建立图示坐标系，取器壁的一个面积微元，将气体分子的速度分解为三个坐标方向，显然，只有z方向速度分量对器壁压强有贡献。设气体分子与器壁发生弹性碰撞的作用时间为

t，由动量定理，每一个z方向速率为viz气体分子对压强的贡献为：设单位体积z方向速率为的气体分子数为ni，在

t时间范围内能够与器壁碰撞的分子数为：它对压强的贡献为：z方向能与器壁碰撞的各种速率的分子对压强的贡献为：考虑到平衡态时z方向具有相同速率viz的气体分子可以沿正负两个方向，于是：再考虑到平衡态下沿各方向气体分子运动相同，即：于是：二质点系的动量定理

1.相关概念

质点系：由多个质点构成的物体系，称为质点系。内力：物体系内部质点间的相互作用力，称为内力。外力：物体系所受的来自于物体系以外的作用力，称为外力。2.质点系的动量定理

(1).推导质点系动量定理的思路A.认为质点系的总动量应等于各质点动量的矢量合成，质点系的总动量改变量应等于各质点动量改变量的矢量和B.将质点系的动量改变量分为外力与内力冲量的矢量和。(2).质点系的动量定理设质点系包含n个质点，质点i受到的合外力记为Fi，受到来自于质点j的内力记为fij，质点i的初动量记为pi0，末动量记为pi由单质点动量定理：…

…

将上述各式相加：考虑到内力之间存在关系：于是：其中：P，P0分别表示物体系总初动量和末动量。讨论：A.适用条件：惯性系，所有质点相对于同一参考系。B.内力对物体系的总动量改变量没有贡献，但对其中某一质点的动量改变有贡献。C.质点系的动量定理同样具有矢量的独立性质点系的动量定理：质点系的动量改变量等于质点系所受合外力冲量的矢量和。

D.质点系的动量守恒定理：当质点系所受合外力为零时，质点系的总动量守恒。但质点系中的任意一质点的动量不一定守恒思考问题：上述物体系是由分离质点系构成的物体系，如果物体系是由连续物质构成，那么，物体系的动量定理怎样推导？三动量定理的应用

1.可运用动量定理求解的问题特征

不考虑中间过程或中间过程很繁杂，而物体系状态量易求，或由物体系的状态量就可以求解的问题。2.动量定理应用的常用近似方法

A.平均冲力：由于碰撞问题中作用力的时间一般很短暂，因而，在没有特别注明情况下，一般将碰撞过程中随时间变化的冲力视为平均力，即平均冲力。B.忽略较小外力。一般情况下，冲力的大小比物体的重力、摩擦力等外力大一到二个数量级，因而，它们常可被忽略。3.运用动量定理解题应注意的问题

A.动量定理的独立性、矢量性。B.弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞问题弹性碰撞：碰撞后物体可以完全恢复形变的碰撞。弹性碰撞中动量、能量均守恒。非弹性碰撞：碰撞后物体不能完全恢复其形变的碰撞。在非弹性碰撞过程中，动量守恒，但能量不守恒。完全非弹性碰撞：碰撞后物体不恢复其形变的碰撞。在完全非弹性碰撞过程中，动量守恒，但能量不守恒。且碰撞后物体结合在一体共同运动。C.动量守恒与能量守恒一样，是自然界中成立范围最广泛的基本定理之一。至今，没有发现动量守恒定理遭到破坏的事例解：由动量定理的矢量独立性，分别在各坐标分量方向上应用动量定理：例：一物体质量m=2kg,受合外力

(SI)的作用，初速度求：第1秒末物体的速度。完成积分得说明：本题的目的要求会应用动量定理矢量的独立性解题例：质量为m的质点，经时间t、以不变的速率v越过一水平光滑轨道60º的弯角求：轨道作用于质点的平均冲力的大小。

解：平均冲力可视为恒力，由动量定理有

因为计算平均冲力，如图建立坐标系，求解始末状态速度差

30omv2v130oij大小:，方向：j(y轴正方向)。代入式(1)得平均冲力(1)说明：始末状态速度矢量差也可由三角形法则求得例：如图，用传送带A输送煤粉，料斗口在A上方高h=0.8m处煤粉自料斗口自由落在传送带A上。设料斗口连续卸煤的流量为qm=40kg/s,传送带A以v=3m/s的水平速度匀速向右运动求：卸煤的过程中，煤粉对传送带A的平均作用力的大小和方向。（不计相对传送带静止的煤粉质量，取g=10m/s2）

解：煤粉下落h时的速度。取在时间dt内落下的煤粉dm=qmdt为研究对象，应用动量理，有：hAvv0xy平均冲力大小:|F|=200N，方向与x轴正方向成53.1o煤粉对传送带A的平均作用力与此力大小相等而方向相反。

例：一质量均匀分布的柔软的细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上。如果把绳的上端放开，绳将落向桌面。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。(即压力是重量的三倍)此时落在桌面上绳的质量为m=h，m受三个个力的作用重力mg、桌面的支持力N、落下绳的冲力F。由右下图可知证：设绳的线密度为。时刻t(下落h时)，绳的速度NFmmgdmF取时间t~t+dt内落下的绳为研究对象例：如图，质量为M的物体有一个四分之一滑槽，静止在光滑水平面上，质量为m的滑块自其顶部由静止开始下滑。求：当m滑至滑槽底部时，M移动的距离。解：选择M、m为物体系，由于物体系在水平方向不受外力作用，因而动量守恒两边同时对时间积分令于是：(1)注意，vx、s是相对于地面的水平速度和位移，相对于滑槽的水平位移为：而讨论：A.对中间过程是变力的运动过程，用牛顿定律求解，往往很繁杂，此时，应考虑用动量定理或动量守恒求解。B.求解过程中，并没有考虑m与M之间是否存在摩擦力，因而，即便存在摩擦力，上述结果同样成立。C.此题一个重要技巧用到(1)式，即两物体水平位移成比例。这在许多问题中经常用到。类似的还有速度、加速度成比例。注：请比较该题求解方法与非惯性系例2的求解方法。例：如图，A，B，C三物体质量均为M，B、C间由一长度为l0

的细绳连接，t=0时，B、C距离为0,桌面光滑。求：(1).A、B运动后，经多长时间C开始运动？(2).C刚开始运动时的速度解：选择A、B、C为物体系，系统受到的外力有N、Mg

(1).由于系统受有合外力，因而系统动量不守恒。考虑到动量定理的矢量性和独立性以及合外力为恒力，在水平方向和竖直方向分别应用动量定理：水平方向竖直方向合外力作用时间

以及联立求解得(2).C刚开始运动时的速度C刚开始运动时，三个物体的速度应当相等。此时，相当于物体C与A、B两物体组成的系统相碰撞，在物体碰撞时，冲力远大于重力、摩擦力等内力，因此，可以忽略物体A所受的重力。设碰撞前后物体系的速度分别为v、V，由动量定理：水平方向竖直方向与问题1的分析类似解此联立方程得讨论：A.用动量定理解题时，一个重要的问题是分清楚所研究的物体系对象。如本题容易少分析N。B.注意用动量定理解题时取正确的近似例：如图，光滑水平面上有一辆静止且质量为M的炮车，炮车的仰角为

，相对于炮车发射质量为m、出口速度为u的炮弹求：(1).炮弹刚出口时，炮车的反冲速度(2).若炮筒长为l，求炮弹发射过程中，炮车反冲的距离解：该题有两个关键点：一是炮弹的速度是相对于炮车的速度，而不是相对于地面的速度；二是炮弹在炮筒中的运动是变速的，而不是匀速的。(1).如图以地面为参考系建立坐标系，并以炮弹、炮车为研究对象，因此，在水平方向上动量守恒，由动量定理解得：炮车后退(2).设炮弹在炮筒中任意时刻的速度为u(t)，那么，此时对应的炮车速度为于是，炮车的反冲位移为故说明：在质点系动量守恒问题中，如果涉及相对运动问题，那么，一定注意物体系中所有质点都必须相对于同一参考系。例：如所示，一辆质量为M的平顶小车静止在光滑的水平轨道上，今有一质量为m的小物体以水平速度v0滑向车顶。设物体与车顶之间的摩擦系数为

求：(1)从物体滑上车顶到相对车顶静止需多少时间？(2)要物体不滑下车顶，车长至少应为多少？

解：(M+m):水平方向不受外力，动量守恒(1).对物体m应用动量定理，有式中v是相对静止时的速度解得v0Mm(2).物体m的加速度a=-mg/m=-g。设车长至少为S，则由：v2-v02=2aS得：S=(v2-v02)/2a=M(M+2m)v02/(2g(M+m)2)

这个结果对吗？错误。因为用牛顿定律求出的加速度a是相对惯性系——地面而速度v、v0也是相对地面的，故由公式v2-v02=2aS求出的S当然也应是物体相对地面的运动距离，而不是相对非惯性系(车顶)的运动距离。正确解法是先求出小物体m相对地面运动的距离再求出小车M相对地面前进的距离车的最小长度例：有一门质量为M(含炮弹)的大炮,在一固定的斜面上无摩擦地由静止开始下滑。当滑下L距离时，从炮内沿水平方向射出一发质量为m的炮弹。求：欲使炮车在发射炮弹后的瞬间停止滑动，炮弹的初速应是多少？（设斜面倾角为

）解：设炮车下滑L时的速度为v0,由机械能守恒定律，有(1)

Lvv0以炮车、炮弹为系统,在L处发射炮弹的过程中，由于内力很大外力可忽略，水平方向动量守恒:

Lvv0(2)有问题吗？错误！炮车在发射炮弹的过程中，受两个力的作用：重力Mg和斜面对炮车的支持力N(它的方向垂直于斜面)；虽然内力很大,重力Mg可以忽略，但斜面对炮车的支持力N与内力是同数量级的，不可忽略，所以水平方向的动量根本不守恒。但N在斜面方向没有分量，所以我们只能沿斜面方向应用动量守恒定律:(3)解式(1)、(3)就得炮弹的初速例：光滑水平地面上放有一质量为M的三棱柱体(倾角为)，其上又放一质量为m的小三棱柱体。它们的横截面都是直角三角形，M的水平直角边的边长为a，m的水平直角边的边长为b。两者的接触面亦为光滑。设它们由静止开始滑动求：当m的下边缘滑到水平面时，M在水平面上移动的距离。

M

abmxovv’解：对M与m组成的系统，水平方向动量守恒。设M与m相对地面的速度分别是V和v，m相对于M的速度为v’，则将(2)式代入(1)式得由相对运动公式最后求得M在水平面上移动的距离而