基于小波分析的分形曲线维数计算

基于小波分析的分形曲线维数计算

1872年，自威斯特函数引入以来，人们发现该函数没有存在于一个小的可连续函数中。在研究了高速交通函数的伟态方法之后，硬件和kaptan在1916年和1984年研究了威斯特函数的维数。结果表明，计算各种波形曲线的维数一直是波形几何的热点之一。目前，波形曲线维数的计算主要包括量化方法和长尺法。此外，小波表示法的特征是一种近似理论的研究方向之一。用小波系数表示曲线的维数，结果是由于数据“污染”。上述方法的共同特点是，代表波形曲线的单一维数可以量化和描述曲线的形状。如果忽略微结构，则计算的维数是近似的结果。不同的测量语言是一个敏感参数，并且稳定性的损失意味着维数参与的原始价值无法反映。当实际测量的数据发生变化时，维数的估计会增加或减少，以消除光滑噪声。因此，有必要引入多段分维曲线模型和新的计算方法，这两个优点是可以解决上述问题：一是能很好地反映波形曲线的局部特征，从点到点的“波形指数”是不同的，这意味着曲线中有一个“点维数”的概念。不仅可以去除测量数据，还可以有效保持测量数据的维数。本文在Massoupust结果的基础上,引入多分维曲线模式来反映分形曲线的局部分维特征,采用小波阈值去噪方法将分形函数从噪音污染的数据中分离出来,得到了基于小波去噪处理后的分形曲线维数计算式,仿真结果验证了方法的有效性.1多段维截面曲线及其小波的阈值去除噪声1.1多分维分形曲线的生成对于分形连续曲线f(x)∈C[a,b],∀x0∈(a,b),其邻域为以x0为中心,半径为δ>0的开区间U(x0,δ).曲线上任意点P(x,y),对于横坐标点一个充分小的邻域U(x0,δ)(δ→0),存在映射D,使得惟一确定的正实数(分形维数)D(x0)和其对应(集值映射),即D:U(x0,δ)→D(x0)(δ→0),称D(x0)为f(x)在点x0处的维数.于是,对于分形曲线f(x),相应存在一个分形维函数D(x).具有分形维函数D(x)的分形曲线f(x)称为多分维分形曲线.1.2多分维分形曲线Mallat等研究了奇异信号及噪声在小波变换各尺度空间中模极大值的不同传播特性.该方法存在一个由剩余模极大值重构小波系数的问题,对原有曲线有一定平滑作用.另一种小波去噪方法是直接对信号的小波系数采用软(或硬)阈值方法进行“过滤”,同时也不会过分地改变曲线的光滑度,适宜于处理多分维分形曲线.设数据y1,y2,…,yn由非参数回归模型获得:yi=f(xi)+εii=1‚2‚⋯‚2Ν(1)式中:xi=i/n∈[0,1];εi～N(0,σ2)为方差为σ2的高斯随机噪声;f(x)为定义在[0,1]上的未知待定函数.在去噪过程中获得估值ˆf(x)的算法步骤:(1)利用Daubechies紧支小波滤波算法来处理观测数据yi,获得经验小波系数yj,k(j=0,1,…,N-1;k=0,1,…,2j-1).(2)通过软阈规则对yj,k进行加限处理,得到:δtn(yj,k)={sign(yj,k)(|yj,k|-tn)|yj,k|≥tn0|yj,k|<tn其中,tn=σ√n√2logn.(3)由加限经验小波系数δtn(yj,k)通过小波的重构获得f(xi)的小波估计值ˆf(xi).2多分维分形曲线局部维数的计算在式(1)成立的条件下,考察f(x)在x0处的邻域U(x0,δ)内的情况,得到f(x)去噪后的一个局部化维数结论:当n→∞时,在概率意义上有32+1jnlb2jn∑k=1|δtn(yj,k)|→dim(f(x),x0)(2)式中:jn≤Jn,当n→∞时,jn→∞‚Jn=lbn5-2dim(f,x0)+η‚η为某一正数;j=0,1,…,J;k=0,1,…,2j-1.证明设yj,k=cj,k+1√nεj,k(3)j=0‚1‚⋯‚J；k=0‚1‚⋯‚2j-1式中,yj,k、cj,k、εj,k分别为yi、f(xi)、εi的经验小波系数.此时,δtn(yj,k)满足:2jn∑k=1|yj,k|≥2jn∑k=1|δtn(yj,k)|≥2jn∑k=1|yj,k|-2jtn(4)由于εi是零均值、方差为σ2的独立正态随机变量,而小波变换是正交的,故εj,k也是零均值、方差为σ2的独立正态分布.当n→∞时,考察式(4)两边:lbjn∑k=1|yjn,k|=lbjn∑k=1|cjn,k+1√nεjn,k|=lbjn∑k=1|cjn,k|+Οp(n-122jnjn∑k=1|cjn,k|)(5)同时有:lb(2jn∑k=1|yj,k|-2j)=lb(jn∑k=1|cjn,k|+Οp(n-122jn)-2jntn)=lbjn∑k=1|cjn,k|+Οp((lbn)12n-122jnjn∑k=1|cjn,k|)(6)式中,Op为Taylor公式展开后含有括号内项的多项式.由文献得到:2dimf=3+2limjn→∞lbjn∑k=1|cjn,k|jn∑k|cjn,k|=2[2dimf-3+β(n)]jn2β(n)→0(n→∞)于是有limn→∞(lbn)12n-122jn/jn∑k=1|cjn,k|jn=limn→∞{(lbnjn2)12n-122jn212jn[2dimf-3+β(n)]}=limn→∞{(lbnjn2)12212{[5-2dimf-β(n)]jn-lbn}}=0将上式代入式(5)、(6),由不等式关系式(4),可以得到和文献类似的维数计算公式(n→∞):32+1jnlb2jn∑k=1|δtn(yj,k)|→dim(f(x),x0)以上结果可以说明:(1)在无噪声时,在高分辨水平上,小波系数可以确定函数f(x)的维数.当随机噪声进入,则它在更高分辨级上左右小波系数cj,k,使其失真,yj,k主要由εj,k控制,f(x)更详细的特征也就难以恢复起来.(2)在相对较低的分辨率水平上,yjn,k主要由cjn,k控制.对于所取较大的样本数n,f(x)的分形维数都几乎保留在分辨率jn的小波系数δtn(yjn,k)中.3加阈去噪试验对于Weierstrass函数:f(t)=∞∑k=0(32)-k/2sin(32)kt其具有自仿射性和相同的局部维数dimf=1.5,所添加噪音为高斯白噪声,均匀取值的样本数n=800,选具有2阶消失矩的Daubechies小波作为处理工具,结果如图1所示.图1(c)表明,加阈去噪法对原曲线的不规则程度影响不大,所测维数值(dimf=1.47)和真实值(dimf=1.50)很接近,结果比较理想.而图1(d)表明,采用小波模极大值方法去噪,盒维数结果(dimf=1.24)则和真实值偏差较大,说明有平滑作用的滤波去噪方法对原分形曲线的恢复不太合适.图1(b)显示加