北师大版八年级数学下册 （角平分线）三角形的证明新课件(第1课时)

第一章

三角形的证明角平分线第1课时

情景导入不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么办法？对折再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？AOBC获取新知知识点一：角平分线的性质还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？请你尝试证明这性质，并与同伴交流.思路总结：本定理是对三角形全等思路的优化角的平分线上的点到角的两边的距离相等已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD丄OA,PE丄OB,垂足分别为D，E.求证：PD＝PE.ACBODPE12证明：∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.∵∠1＝∠2,OP＝OP∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD＝PE(全等三角形的对应边相等).1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2.书写格式：

如图，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E,∴PD＝PE.

3.定理应用所具备的条件：(1)角的平分线；(2)点在该平分线上；(3)垂直距离.4.定理的作用：证明线段相等.DEPP到OA的距离P到OB的距离角平分线上的点OACB例题讲解例1

已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证：EB=FC.ABCDEF证明：

∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.获取新知知识点二：角平分线的判定想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上.在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.这个命题是真的吗？如果是假的，怎么修改能成为真的呢？在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD丄OA，PE丄OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE．求证：OP平分∠AOB.ACBODPE12证明：∵PD丄OA,PE丄OB,垂足分别为D，E，∴∠ODP＝∠OEP＝90°，∵PD＝PE，OP＝OP，∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL).∴∠1＝∠2(全等三角形的对应角相等).∴OP平分∠AOB.1.判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．2.书写格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．3.应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.4.定理的作用：判断点是否在角平分线上.例题讲解例2

如图,在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，

AD＝10，DE丄AB，DF丄AC，垂足分别为E，F，DE＝DF，求DE的长.┐┐证明：∵DE丄AB,DF丄AC，垂足分分别为E，F,且DE＝DF，∴AD平分∠BAC(角平分线的性质）.又∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°.在

Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10，∴DE＝AD＝×10＝5(直角三角形30°角的性质).随堂演练1.如图,P是∠AOB的平分线OC上一点,PD⊥OB,垂足为D,若PD=2,则点P到边OA的距离是(

)A.2

B.3

C.D.4D2.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是(

)A．PA＝PB

B．PO平分∠APBC．OA＝OB

D．AB垂直平分OPD3.如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是(

)A．线段CD的中点B．CD与过点O作CD的垂线的交点C．CD与∠AOB的平分线的交点D．以上均不对C4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是_____6cm5.如图，在△ABC中，与∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是____①AF平分BC

②AF平分∠BAC③AF⊥BC

④以上结论都正确②6.如图,在△ABC中,AD为其角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,△ABC的面积是9

cm2,AB=5

cm,AC=4

cm,求DE的长.解:∵在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,∴DE=DF.∵△ABC的面积是9

cm2,AB=5

cm,AC=4

cm,∴×5DE+×4DF=9,∴DE=DF=2(cm),即DE的长是2cm.7.已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,F,G分别是OA,OB上的点,且PF=PG,DF=EG.求证:OC是∠AOB的平分线.证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDF=∠PEG=90°.在Rt△PFD和Rt△PGE中,∵PF=PG,DF=EG,∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL),∴PD=PE.