第四章 数据分布特征的测度

第4章数据分布特征的测度4.1集中趋势的度量4.2离散程度的度量4.3偏态与峰态的度量Statistic学习目标度量集中趋势的统计量度量离散程度的统计量度量偏态与峰态的统计量各统计量的的特点及应用场合用Excel计算描述统计量数据分布的特征数据水平(位置)分布形状(偏态和峰态)数据差异

(分散程度)4.1集中趋势的度量4.1.1分类数据：众数4.1.2顺序数据：中位数和分位数4.1.3数值型数据：平均数4.1.4众数、中位数和平均数的比较集中趋势

(centraltendency)一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值不同类型的数据用不同的集中趋势测度值低层次数据的测度值适用于高层次的测量数据，但高层次数据的测度值并不适用于低层次的测量数据4.1.1分类数据：众数

(mode)1.定义:一组数据中出现次数最多的变量值2.特征：适合于数据量较多时使用不受极端值的影响一组数据可能没有众数或有几个众数主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据分类数据的众数

(例题分析)解：这里的变量为“饮料品牌”，这是个分类变量，不同类型的饮料就是变量值所调查的50人中，购买碳酸饮料的人数最多，为15人，占总被调查人数的30%，因此众数为“可口可乐”这一品牌，即

Mo＝碳酸饮料顺序数据的众数

(例题分析)解：这里的数据为顺序数据。变量为“回答类别”甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即Mo＝不满意众数

(不惟一性)无众数

原始数据:10591268一个众数

原始数据:65

9855多于一个众数

原始数据:252828

3642424.1.2顺序数据：中位数和分位数中位数

(median)定义：排序后处于中间位置上的值Me50%50%特点：不受极端值的影响主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即中位数

位置确定顺序数据的中位数解：中位数的位置为(300+1)/2＝150.5从累计频数看，中位数在“一般”这一组别中中位数为

Me=一般数值型数据的中位数【例】

9个家庭的人均月收入数据原始数据:

15007507801080850960200012501630排序:

7507808509601080

1250150016302000位置:1234

5

6789中位数

1080

数值型数据的中位数【例】：10个家庭的人均月收入数据排序:

660

75078085096010801250150016302000位置:1234

5678910

四分位数

(quartile)定义：排序后处于25%和75%位置上的值特点：不受极端值的影响计算公式QLQMQU25%25%25%25%顺序数据的四分位数

(例题分析)解：QL位置=(300)/4=75QU位置=(3×300)/4

=225从累计频数看，QL在“不满意”这一组别中；QU在“一般”这一组别中四分位数为QL

=不满意

QU

=一般数值型数据的四分位数【例】：9个家庭的人均月收入数据(4种方法计算)原始数据:15007507801080850960200012501630排序:750780850960108012501500

16302000位置:123456

789

4.1.3数值型数据：平均数统计应用

一种测量的平均数比单个的测量更可靠下面是NIST的时间与正确时间的10个误差数据(秒)长期来讲，对时间的度量并没有偏差。NIST的秒有时比BIPM的短，有时比BIPM的长，并不是都较短或较长。尽管NIST的测量很准确，但从上面的数字还是可以看出有些差异。世界上没有百分之百可靠的度量，但用多次测量的平均数比只用一次测量的结果可靠程度会更高。这就是BIPM要结合很多原子钟的时间的原因平均数

(mean)定义：也称为均值，是一组数据相加后除以数据的个数而得到的结果，是集中趋势的最常用测度值。特点：一组数据的均衡点所在易受极端值的影响有简单平均数和加权平均数之分根据总体数据计算的，称为平均数，记为

；根据样本数据计算的，称为样本平均数，记为

x简单平均数

(Simplemean)设一组数据为：x1，x2，…，xn平均数平均数?加权平均数

(Weightedmean)设各组的组中值为：M1，M2，…，Mk

相应的频数为：

f1，f2，…，fk加权平均加权平均数

(例题分析)

4.1.4众数、中位数和平均数的比较

众数、中位数和平均数的关系左偏分布均值

中位数

众数对称分布

均值=中位数=

众数右偏分布众数

中位数均值众数、中位数、平均数的特点和应用众数不受极端值影响具有不惟一性数据分布偏斜程度较大且有明显峰值时应用中位数不受极端值影响数据分布偏斜程度较大时应用平均数易受极端值影响数学性质优良数据对称分布或接近对称分布时应用4.2离散程度的度量4.2.1分类数据：异众比率4.2.2顺序数据：四分位差4.2.3数值型数据：方差和标准差4.2.4相对离散程度：离散系数一则笑话如果你一只脚放在摄氏1度的水里，另一只脚放在摄氏79度的水里，平均水温40度，你会感觉很舒服？显然，只了解变量的集中趋势是不够的！甲、乙两学生某次考试成绩列表

甲、乙两学生的平均成绩为80分，集中趋势一样，但是他们偏离平均数的程度却不一样。乙组数据的离散程度大，数据分布越分散，平均数的代表性就越差；甲组数据的离散程度小，数据分布越集中，平均数的代表性越大。例离中趋势（离散程度）数据分布的另一个重要特征反映各变量值远离其中心值的程度(离散程度)从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度不同类型的数据有不同的离散程度测度值分类数据：异众比率异众比率

(variationratio)1. 定义：非众数组的频数占总频数的比例，是对分类数据离散程度的测度。2. 计算公式为3.用于衡量众数的代表性异众比率

(例题分析)解：

在所调查的50人当中，购买其他品牌饮料的人数占70%，异众比率比较大。因此，用“碳酸饮料”代表消费者购买饮料品牌的状况，其代表性不是很好顺序数据：四分位差四分位差

(quartiledeviation)1.定义：对顺序数据离散程度的测度，也称为内距或四分间距，是上四分位数与下四分位数之差

Qd=QU

–QL2.特点：反映了中间50%数据的离散程度不受极端值的影响用于衡量中位数的代表性四分位差

(例题分析)解：设非常不满意为1,不满意为2,一般为3,满意为4,非常满意为5。已知

QL

=不满意=2

QU

=一般=3四分位差为

Qd

=QU

-

QL

=3–2

=1数值型数据：方差和标准差极差

(range)定义：一组数据的最大值与最小值之差特点：对数值型数据离散程度的最简单测度值易受极端值影响未考虑数据的分布R

=max(xi)-min(xi)3.计算公式为平均差

(meandeviation)定义：各变量值与其平均数离差的绝对值的平均数特点：能全面反映一组数值型数据的离散程度数学性质较差，实际中应用较少3.计算公式为未分组数据组距分组数据平均差

(例题分析)平均差

(例题分析)

含义：每一天的销售量与平均数相比，平均相差17台

方差和标准差

(varianceandstandarddeviation)定义：各变量值与其平均数离差平方和的平均数，称为方差，方差的平方根称为标准差。均是数据离散程度的最常用测度值。反映了各变量值与均值的平均差异根据总体数据计算的，称为总体方差(标准差)，记为

2()；根据样本数据计算的，称为样本方差(标准差)，记为s2(s)总体方差和标准差

(PopulationvarianceandStandarddeviation)未分组数据组距分组数据未分组数据组距分组数据方差的计算公式标准差的计算公式样本方差和标准差

(samplevarianceandstandarddeviation)未分组数据组距分组数据未分组数据组距分组数据方差的计算公式标准差的计算公式注意：样本方差用自由度n-1去除!样本标准差

(例题分析)【例】计算计算9名员工的月工资收入的方差和标准差15007507801080850960200012501630方差标准差样本标准差

(例题分析)样本标准差

(例题分析)

含义：每一天的销售量与平均数相比，平均相差21.58台

相对位置的度量：标准分数标准分数

(standardscore)1.定义：变量值与其平均数的离差除以标准差后的值，也称为z分数。2.特点：对某一个值在一组数据中相