大学物理第五章 刚体的定轴转动

本章题头LwIw第五章rigidbodyrotationwithafixedaxislawofconservationofangularmomentumchapter5刚体的定轴转动内容提要本章内容Contentschapter5刚体的定轴转动rotationofrigid-bodywithafixedaxis刚体作定轴转动时的功能关系relationofworkwithenergyinrotationofrigid-body角动量与角动量守恒angularmomentumandlawofconservationofangularmomentum刚体的角动量守恒lawofconservationofangularmomentumofrigid-body教学基本要求

一

理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系.

二

理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定理.

三

理解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题.

能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题.

四理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律第一节角动量与角动量守恒定律刚体定轴转动的描述5-1ssssrotationofrigid-bodywithafixedaxis刚体及其平动rigidbodyanditstranslation刚体及其平动刚体及其平动形状固定的质点系（含无数刚体质点、不形变、理想体。）rigidbody平动

刚体任意两点的连线保持方向不变。各点的

相同，可当作质点处理。rrvatranslation刚体定轴转动rigidbodyrotationwithafixedaxis刚体定轴转动刚体定轴转动刚体的定轴转动

刚体每点绕同一轴线作圆周运动，且该转轴空间位置及方向不变。OO定轴转动参量刚体定轴转动的运动方程qq()t,wdq转动方向用矢量表示或时，它们与刚体的转动方向采用右螺旋定则wdq1.角位置q描述刚体定轴转动的物理量描述刚体（上某点）的位置2.角位移qr描述刚体转过的大小和方向rt0rqdq,dq,刚体转轴转动平面（包含p并与转轴垂直）(t)参考方向Xpp刚体中任一点pOOrqqqrqrpp(t+△t)w3.角速度wtdqwdw0静止w常量匀角速w变角速描述刚体转动的快慢和方向，常量是转动状态量。刚体定轴转动的运动方程qq()t,wdq转动方向用矢量表示或时，它们与刚体的转动方向采用右螺旋定则wdq1.角位置q描述刚体定轴转动的物理量描述刚体（上某点）的位置2.角位移qr描述刚体转过的大小和方向rt0rqdq,dq,刚体转轴转动平面（包含p并与转轴垂直）(t)参考方向Xpp刚体中任一点pOOrqqqrqrpp(t+△t)w3.角速度wtdqwdw0静止w常量匀角速w变角速描述刚体转动的快慢和方向，常量是转动状态量。续参量描述刚体转动状态改变4.角加速度b的快慢和改变的方向tddwbtddq22常量b匀角加速b0匀角速变角加速b()tb常量因刚体上任意两点的距离不变，故刚体上各点的相同。wb,OO定轴转动的只有wdq,同和反两个方向，故OOwdq,,b也可用标量wdq,,b中的正和负表方向代替矢量。线量与角量的关系例bw定轴转动刚体在某时刻t

的瞬时角速度为，瞬时角加速度为，已知求刚体中一质点P至转轴的距离为r质点P

的大小rPPrOOw瞬时线速度v瞬时切向加速度atna瞬时法向加速度()batdtdvdtdrwrvdstdqdrtdwrnavr2(wr)2rrw2这是定轴转动中线量与角量的基本关系qdqddsds解法提要dsqdr公式对比质点直线运动或刚体平动刚体的定轴转动速度角速度加速度角加速度位移角位移vrx1t2x()tx()r1t2()t()qqqwddtwddtqabddtvddt匀速直线运动ssvt匀角速定轴转动qwt匀变速直线运动匀变角速定轴转动s021+vt2atqw0+t21b2t2vv022asw2w022bqvv0+atww0+bt随堂练习随堂练习已知一质点作圆周运动半径

R

=0.1m其运动学方程为

θ=2+4t3

(SI)

求t

=2s时，质点的切向加速度法向加速度τana解法提要关键是设法求线速率v((t若由,τavdtdnaR2v关键是设法求角速率((tw若由RaτwR2nadtdw,本题很易求wdtdqwdtd((+3t2412tt=248(rad·s-1)2bdtdwdtd(12t(224tt=248(rad·s-2)aRτdtdwbR4.8(m·s-2)nawR2230.4(m·s-2)第二节角动量角动量守恒定律角动量转动惯量角动量守恒定律5-2ssssangularmomentumandlawofconservationofangularmomentum第二节一、角动量angularmomentumrqOmv速度位矢质量角夹rv大量天文观测表明rqmvsin常量大小：Lrqmvsin方向：rmv()rvLq定义：rpLrmv运动质点mO对

点的角动量为角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律Angularmomentumandlawofconservationofangularmomentum问题的提出二、质点的角动量定理及其守恒定律theoremofparticalangularmomentumanditsconservation地球上的单摆OmqvrLmvr大小会变L变太阳系中的行星OrvmqsinqLmvr大小未必会变。靠什么判断？L变变变Lvrmsin大小Lmvrq质点对的角动量mO问题的提出质点角动量定理导致角动量随时间变化的根本原因是什么？LddtL思路：分析与什么有关+()由Lvrm则ddtLddtrvmddtrvmrddt(vm)0vmv(两平行矢量的叉乘积为零)mdvdtmaF得ddtLrF角动量的时间变化率质点对参考点的mO位置矢量ddtLr所受的合外力F等于叉乘质点的角动量定理微分形式ddtLrF是力矩的矢量表达：rF而OrFmd即力矩rFM大小MFrsin方向垂直于rF所决定的平面，由右螺旋法则定指向。Fdqq得质点对给定参考点的mOddtLrFM角动量的时间变化率所受的合外力矩称为质点的角动量定理

的微分形式

如果各分力与O点共面，力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正向，用代数法求合力矩。积分形式质点的角动量定理也可用积分形式表达ddtLM由,dLMdt0ttdLMdtL0LLL0称为冲量矩角动量的增量这就是质点的角动量定理

的积分形式例如，单摆的角动量大小为L=

mvr,v为变量。

在t=0时从水平位置静止释放，初角动量大小为L0=mv0r=0；时刻t

下摆至铅垂位置，

角动量大小为L⊥

=

mv⊥r。则此过程单摆所受的冲量矩大小等于L-L0=mv⊥r=

mr2gr。归纳归纳质点的角动量定理ddtLrFM角动量的时间变化率所受的合外力矩0ttdLMdtL0LLL0冲量矩角动量的增量微分形式积分形式特例：当M0时，有LL00即LL0物理意义：当质点不受外力矩或合外力矩为零（如有心力作用）时，质点的角动量前后不改变。（后面再以定律的形式表述这一重要结论）质点角动量守恒质点的角动量守恒定律ddtLM根据质点的角动量定理

rFM()若MrF0则ddtL0即L常矢量当质点所受的合外力对某参考点的力矩OmM为零时，质点对该点的角动量的时间变化率为ddtLL零，即质点对该点的角动量守恒。质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律称为若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星绕太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。开普勒第二定律应用质点的角动量守恒定律可以证明开普勒第二定律行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积定律证明证：时刻m对O的角动量大小为tLrvmddtrrmsinqrmddtsmddtsh2mAddt即LAddt2m因行星受的合外力总指向是太阳，角动量守恒。hmsdOrdr+dtt()t)(r+drqAd21Addrh21sdhdt瞬间位矢扫过的微面积L则LAddt2m常量（称为掠面速率）故，位矢在相同时间内扫过的面积相等质点系角动量三、质点系的角动量定理theoremofangularmomentumofparticalsystem质点系的角动量质点系的角动量LSiLirSiimivi各质点对给定参考点的角动量的矢量和惯性系中某给定参考点m12m3mr13r2r3v2vv1O质点系角动量定理质点系的角动量定理LSiLiSirimivi将对时间求导ddtL(SiLiSiddtrimividdt+rimividdt(Si0+FiSivimivi+miiariri内力矩在求矢量和时成对相消Om12mF1F1内F2内外F2外r12rd某给定参考点Si+iF内外Fi外ririSiMi内+SiMiSiMi外得ddtLSiMi外M质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和质点系的角动量定理称为微分形式微、积分形式质点系的角动量定理LSiLiSirimivi将对时间求导ddtL(SiLiSiddtrimividdt+rimividdt(Si0+FiSivimivi+miiariri内力矩在求矢量和时成对相消Om12mF1F1内F2内外F2外r12rd某给定参考点Si+iF内外Fi外ririSiMi内+SiMiSiMi外得ddtLSiMi外M质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和质点系的角动量定理称为微分形式ddtLSiMi外M质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和质点系的角动量定理的微分形式质点系所受的0tdtMtdLLL0LL0质点系的冲量矩角动量增量质点系的角动量定理的积分形式

若各质点的速度或所受外力与参考点共面，则其角动量或力矩只含正反两种方向，可设顺时针为正向，用代数和代替矢量和。质点系角动量守恒质点系的角动量守恒定律0tdtMtdLLL0LL0ddtLSiMi外M由若,M0则LL0或L恒矢量当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。随堂小议结束选择（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。（请点击你要选择的项目）两人质量相等O一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略小议链接1（请点击你要选择的项目）两人质量相等O一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略结束选择（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。小议链接2（请点击你要选择的项目）两人质量相等O一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略结束选择（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。小议链接3（请点击你要选择的项目）两人质量相等O一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略结束选择（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。小议链接4（请点击你要选择的项目）两人质量相等O一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略结束选择（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。小议分析Om12mv12vR同高从静态开始往上爬忽略轮、绳质量及轴摩擦质点系m12m,若m12m系统受合外力矩为零，角动量守恒。系统的初态角动量系统的末态角动量m1v1R2m2vR0得2vv1不论体力强弱，两人等速上升。若m12m系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。转动惯量刚体的转动惯量物理意义：转动惯性的量度.质量离散分布刚体的转动惯量转动惯性的计算方法质量连续分布刚体的转动惯量：质量元转动惯量

对质量线分布的刚体：：质量线密度

对质量面分布的刚体：：质量面密度

对质量体分布的刚体：：质量体密度：质量元质量连续分布刚体的转动惯量分立质点的算例转动惯量的计算举例可视为分立质点结构的刚体m12m转轴Or1r2

若连接两小球（视为质点）的轻细硬杆的质量可以忽略，则Irmiriri2∑m1r12+2mr22转轴O2mm1601l2lIrmiriri2∑+2mm121l(sin60)2(sin60)2l0.75(m11l2+2m2l2)直棒算例质量连续分布的刚体匀直细杆对中垂轴的ILmOdmrdrI2rdmL2L22rmLdr3mL1r3L2L2211mL2匀直细杆对端垂轴的ILmOdmrdrI2rdmL2rmLdr0mL31r3L031mL22IOIC+mrmCO质心新轴质心轴r,L平行移轴定理对新轴的转动惯量IO对质心轴的转动惯量ICr新轴对心轴的平移量例如：rL2时代入可得I端31mL2圆盘算例匀质薄圆盘对心垂轴的I取半径为微宽为的窄环带的质量为质元rdrdm2dmmpR2pdrr2mRdr2rOrdrRmdmdm3I2rdm0R2r2mRdr2r2mRdr20Rr2mR24r40R21R2m球体算例匀质实心球对心轴的ImORrryyddmdm2rR2y2rRp343m可看成是许多半径不同的共轴薄圆盘的转动惯量的迭加Id距为、半径为、微厚为Oyydr的薄圆盘的转动惯量为dmrdVpr2ryd2rdmId21其中IId212rpr2ryd21prr4ydRR2y2()yd221prR158prR5225mR()常用结果LRmm匀质薄圆盘匀质细直棒转轴通过中心垂直盘面22I=m

R123I=m

L1转轴通过端点与棒垂直其它典型RRRR12RRLba匀质矩形薄板转轴通过中心垂直板面I

=(a

+

b)22m12匀质细圆环转轴通过中心垂直环面I

=

m

R

2匀质细圆环转轴沿着环的直径2I

=2m

R匀质厚圆筒转轴沿几何轴I

=(R1

+

R2

)22m2匀质圆柱体转轴通过中心垂直于几何轴mI

=

R

+

22m124L匀质薄球壳转轴通过球心2I

=2m

R3第三节刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律5-3ssssangularmomentumandlawofconservationofangularmomentum刚体转动定律引言刚体的转动定律刚体的转动定律质点的运动定律或刚体平动F

=

m

a惯性质量合外力合加速度若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律主要概念使刚体产生转动效果的合外力矩刚体的转动定律刚体的转动惯量合外力矩外力在转动平面上对转轴的力矩使刚体发生转动M

=

r

×

F111力矩切向1FtFrM叉乘右螺旋1M2MM

=

r

×

F222M

=

r

F

sinj222大小2r2=2Ftd2=2F1M2M合外力矩=M+d22F大小M=d11F=r22Ftr11Ftr1=1FtM

=

r

F

sinj111大小1d1=1Fj1d1r1F1P1OF2r22FtP2j2d2切向一、外力矩与合外力矩方向转动定律某质元rmirmifi受内力受外力FiFi+f=rmirmiaii其法向n分量均通过转轴，不产生转动力矩。t其切向投影式为ijFisin+ifsinqit=rmirmiai=rmirmiribtnrmirmiFiOrifiijqi瞬时角速度w角加速度瞬时b等式两边乘以ri并对所有质元及其所受力矩求和=内力矩成对抵消=0+riifsinqi∑iFijsin∑ri合外力矩Mbrrmirmii∑2()得Mbrrmirmii∑2()=二、刚体的转动定律转动定律例题一三、转动定律应用选例bIM合外力矩应由各分力矩进行合成。合外力矩与合角加速度方向一致。bM在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力矩与此向相同则为正，反之为复。MMb与时刻对应，何时何时b则何时，M00b则何时M恒定恒定。例

匀直细杆一端为轴水平静止释放OLm,qmgMmgL21qcos,m2I31LbMI23Lgqcos2pq,q0,bMmgL21,23LgM0,b0转动定律例题二例已知求T1T2a（以后各例同）Rm1m2m轮轴无摩擦轻绳不伸长轮绳不打滑解法提要T2T1G1G2T2T1aabT1–m1

g=

m1am2

g–

T2=

m2a(

T2

–

T1)

R=Iba=RbI=mR22转动平动线-角联立解得a=m1m1+m2+

gm2m21gT1=m1(g+a)T2=m2(g–a)m1gm2g如果考虑有转动摩擦力矩

Mr,则转动式为(

T2

–

T1)

R

–

Mr=Ib再联立求解。转动定律例题三例Rm1m细绳缠绕轮缘Rm（A）（B）恒力F滑轮角加速度b细绳线加速度a求解法提要（A）bMIFR21mR22FmRabR2Fm（B）bIRT21mR2bam1gTm1m1Rbbm121mm1+()RgabR