2023学年完整公开课版NO4公理与定理

第2章命题与证明

2.3公理与定理第1课时公理与定理

欧几里得（Euclid，约325BC-265BC），没有谁能够像伟大的希腊几何学家欧几里得那样，声誉经久不衰。有些人物，如拿破仑、亚里山大大帝和马丁·路德，他们生前的声望远比欧几里得大，但就长期而言，欧几里得的名望可能要比他们持久。学习目标1.掌握教科书中的公理和定理，培养逻辑推理能力。2.通过介绍的欧几里得的《原本》，感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值。3.全力以赴，极度热情地享受快乐学习。预习反馈1.优秀小组：优秀个人：2.存在的问题：（1）（2）（3）自主学习1.独立思考，完成“质疑探究”部分的学习内容，列出问题的思路、要点。2.明确自己的疑问，以备小组合作讨论解决。3.学有余力的同学力争做好“拓展提升”。合作探究内容：1.学习中遇到的疑问2.导学案“质疑探究”部分的问题要求：（1）人人参与，热烈讨论，大声表达自己的思想。（2）组长控制好讨论节奏，先一对一分层讨论，再小组内集中讨论。（3）没解决的问题组长记录好，准备质疑。高效展示

展示内容展示小组（一）基础知识探究：探究点1（书面展示）探究点2（书面展示）4、5组(二)知识综合应用探究：6、7组探究点1（书面展示）8、9组要求：⑴口头展示，声音洪亮、清楚；书面展示要分层次、要点化，书写要认真、规范。⑵非展示同学巩固基础知识、整理落实学案，做好拓展。不浪费一分钟，小组长做好安排和检查。精彩点评

点评内容点评小组（一）基础知识探究：探究点1探究点2

1组2组(二)知识综合应用探究：探究点13组要求：⑴先点评对错，再点评思路方法，应该注意的问题，力争进行必要的变形拓展。⑵其他同学认真倾听、积极思考、记好笔记、大胆质疑。课内探究（一）基础知识探究：探究点一：公理与定理的区别实例1：下面命题中：（1）旋转不改变图形的形状和大小；（2）轴反射不改变图形的形状和大小；（3）连结两点的所有线中，线段最短；（4）三角形的内角和等于180°。属于公理的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个问题1.课本中出现的十条公理分别是什么？答案：１等量加等量，和相等．２等量减等量，差相等．３等量代换（即如果a=b且c=b，那么a=c）．４整体大于部分．５过两点有且只有一条直线．６连结两点的所有连线中，线段最短．７经过一条直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．８平移不改变图形的形状和大小，平移不改变直线的方向．９轴反射不改变图形的形状和大小．10旋转不改变图形的形状和大小．问题2.公理与定理的区别在哪里？答案：公理：人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。这样公认为正确的命题叫作公理。定理：用推理的方法判断为正确的命题叫作定理。探究点二：定理的逆定理实例2：下列定理存在逆定理的有（

）（1）等腰梯形的两条对角线相等；（2）矩形的对角线相等；（3）正方形的四个角都是直角；（4）如果一个三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个问题1.它们的逆命题分别是什么？答案：（1）如果一个梯形的两条对角线相等，那么它是等腰梯形。（2）如果一个四边形的两条对角线相等，那么它是矩形。（3）如果一个四边形的四个角都是直角，那么它是正方形。（4）如果一个三角形是直角三角形，那么它的三边a、b、c满足a2+b2=c2。问题2.怎样的定理才有逆定理？答案：只有定理的逆命题正确，才有逆定理。问题3.本题的答案是什么？答案：B实例3：下列定理有逆定理吗？如果有，把它写出来；如果没有，举一个反例说明。（1）正方形的对角线互相垂直平分且相等；（2）对顶角相等；（3）若正n边形的每一个外角为60°，则n＝6；（4）平行四边形的对边相等。答案：（1）有；（2）没有，举反例：等腰三角形的两个底角相等，但它们不是对顶角；（3）有；（4）有。归纳总结：1.公理与定理都是真命题，都是证明其他命题的依据。2.只有当定理的逆命题也是正确的才能称这个定理有逆定理。说明一个命题不正确时，只要举一反例即可。(二)知识综合应用探究探究点：利用公理和定理推理例：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于O，用所学公理、定理、定义说明（1）△ABC≌△ADC；(2)OB=OD,AC⊥BD。问题1.推理三角形全等的方法有哪几种？答案：SSS、SAS、ASA、AAS。问题2.推理△ABC≌△ADC，已经有什么条件，可用什么方法证明？答案：已知的条件有AB=AD，BC=DC，AC=AC，可用“SSS”证明△ABC≌△ADC。拓展提升：说明：邻补角的平分线互相垂直．已知：如图2，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC．说明：OE⊥OF．解析指导：要说明OE⊥OF，只要说明∠EOF＝90°，即∠1＋∠2＝90°即可．【规律方法总结】每一步推理都要有根据，不能“想当然”．①论据必须是真命题，如：定义、公理、已经学过的定理和巳知条件；②论据的真实性不能依赖于论证的真实性；③论据应是论题的充足理由。总结升华【课堂小结】1.知识方面：2.数学思想方面：逻辑推理能力。

（1）公理与定理定义；（2）逆定理。整理巩固要求：整理巩固探