第十一章-第一节-空间简单几何体的结构与三视图直观图

第十一章立体几何初步考纲分解解读

1.空间几何体(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.(2)能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.(3)会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.(4)会画某些建筑物的三视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.(5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.

2.点、直线、平面之间的位置关系

(1)理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：

◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.

◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.

理解以下判定定理：

◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.

◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.

◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.

◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理，并能够证明.

◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行.

◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.

◆垂直于同一个平面的两条直线平行.

◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.

(3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.

知识体系构建

备考方略

从命题特点来看，立体几何题型在高考中一般是一个解答题，2至3个填空或选择题.选择题、填空题一般出中等难度的题，解答题也是中档题.

涉及立体几何内容的命题形式最为多变，除保留传统的四选一的选择题型外，还尝试开发了多选填空、完型填空、构造填空等题型，填空题设计成开放性问题和多选题.解答题设计成几个小问题，此类考题往往以棱柱和棱锥为依托，第一小问考查线线、线面、面面的位置关系，后面几问考查空间角、空间距离、面积、体积等度量关系，其解题思路也都是作——证——求，强调作图、证明和计算相结合.

复习备考建议：

立体几何在复习中应当注意以下四个方面：

1.直线和平面的各种位置关系的判定和性质，这类试题一般难度不大，多为选择题和填空题.复习中首先要做到相关的概念、判定、性质定理要清楚，其次在否定某些错误的判断时，能举出适当的反例.另外，能将文字语言、符号语言、图形语言灵活准确地进行转化，平时的训练要注意举一反三.

2.证明空间线、面平行或垂直.由已知联想性质，由求证联想判定，寻找证题思路.通过对复杂空间图形直观图的观察和分解，发现其中的平面图形或典型的空间图形（如正方体、正四面体等），以便联想有关的平面几何或立体几何知识.培养根据题设条件的性质适当添加辅助线（或面）的能力，掌握平行或垂直的化归方法.

3.计算角与距离的问题.求角或距离的关键是将空间的角或距离灵活转化为平面上的角或距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角或距离.解题原则是一作、二证、三求解（即作图、证明、求解）.熟练异面直线所成角、线面角、二面角、点面距离的计算方法.

4.简单的几何体的面积与体积问题.熟记特殊几何体的现成的公式.会将侧面展开，转化为求平面图形的面积问题；要注意解题技巧，如等积变换、割补思想的应用.

第一节空间简单几何体的结构与三视图、直观图及其表面积和体积课前自主学案

知识梳理

1空间简单几何体及其结构1（1）柱体

①棱柱：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点（如图a.）底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

②圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.（如图b).棱柱与圆柱统称为柱体.（2）锥体

①棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱(如图c).

底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……

②圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面(如图d).棱锥与圆锥统称为锥体.（3）台体

①棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点（如图e）.

②圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴.（如图f）.

圆台和棱台统称为台体.

（4）球

以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径.（如图g）.

（5）组合体

由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体.（如图h）.

（6）特殊的棱柱、棱锥、棱台:

①直棱柱——侧棱与底面垂直的棱柱.

②正棱柱——底面是正多边形的直棱柱.

③正棱锥——底面是正多边形,棱锥的顶点在底面上的射影是正多边形的中心.各侧面是全等的等腰三角形.

④正棱台：两底是正多边形，且两底中心连线垂直于底面的棱台叫做正棱台.也可以认为它由正棱锥截得的棱台.正棱台各侧面是全等的等腰梯形.

几类特殊的多面体及它们之间的关系：三棱锥正三棱锥正四面体四棱柱平行六面体长方体正四棱柱正方体底面是正三角形顶点在底面射影是底面中心所有棱长相等底面是平行四边形底面是矩形直棱柱底面是正方形高与底面边长相等（7）柱体(圆柱与棱柱)、台体(圆台与棱台)、锥体(圆锥与棱锥)的联系：

柱体台体锥体上底面等比例缩小上底面缩成一个点2空间几何体的三视图与直观图（1）有关投影的概念①投影：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做把光线叫做，把留下物体影子的屏幕叫做②中心投影：把光由点向外散射形成的投影，叫做；③平行投影：把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影的投影线是.④正投影:在平行投影中．投影线正对着投影面叫做，否则叫做.在平行投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的是完全相同的.（2）空间几何体的三视图

三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形.

它具体包括：

①正视图（主视图）：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；

②侧视图（左视图）：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；

③俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；

（3）三视图的画法规则①能看见的轮廓线和棱用表示；不能看见的轮廓线和棱用表示.②高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐

长对正：主视图与俯视图的长应对正

宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等

③三视图的排放顺序：先画，将左视图画在主视图的，将俯视图画在主视图的（如下图）（4）空间几何体的直观图：在平面中画出的几何体的模拟直观视觉效果图.它有较强的立体感.画多面体的直观图常用的画法是斜二测法；旋转体的直观图多采用正等测画法.

（4）空间几何体的直观图：在平面中画出的几何体的模拟直观视觉效果图.它有较强的立体感.画多面体的直观图常用的画法是斜二测法；旋转体的直观图多采用正等测画法.

（5）斜二测画法规则:

①在底面图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴交于O,画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴,两轴交于O′,使,∠x′O′y′=45°(或135°),它们确定的平面表示水平平面；②已知底面图形中与x轴、y轴平行的线段，在直观图中分别画成与x′轴、y′轴平行的线段；

③已知底面图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原来的长度;而平行于y轴的线段,长度为原来的一半.

④过O′画一条与y′垂直的直线O′z轴,表示竖直方向,与竖直方向平行的线段,画成与O′z平行且长度不变.

3空间简单几何体的侧面展开图的形状几何体名称

圆柱圆锥圆台直棱柱正n棱锥正n棱台侧面展开图矩形扇形扇环矩形n个全等的等腰三角形n个全等的等腰梯形侧面展开图4空间简单几何体的侧面积和表面积（1）直棱柱：

、（其中C为底面周长，h是高）；

.（2）正棱锥:

(

)；

.（3）正棱台：

；(C′、C为上、下底面周长，h′是斜高）

.（4）圆柱：

（其中C为底面周长，r是底面圆的半径，l是母线长）；（5）圆锥：

（其中C为底面周长，r是底面圆的半径，l是母线长）；（6）圆台：

（其中C为底面周长，r′,r分别是上、下底面圆的半径，l是母线长）；

.（7）球的表面积公式：

(其中R是球的半径).

5空间简单几何体的体积公式（1）柱体体积公式：

；（2）锥体体积公式：

；（3）球的体积公式：

，其中R表示球的半径.基础自测

1.（2009年淄博模拟）如图(1)放置的一个机器零件，若其主视图如图(2)，则其俯视图是选项图中的（D）2.下列命题中正确的是（D）

A

.棱柱的底面一定是平行四边形

B

.棱锥的底面一定是三角形

C

.棱台的底面是两个相似的正方形

D

.棱台的侧棱延长后必交于一点3.（2009年石门中学第二次检测）下图是一个空间几何体的三视图，其正视图、侧视图是边长为1的正三角形.俯视图的轮廓为正方形，则它的表面积为3.解析：棱柱、棱锥、棱台的底面是任意多边形。解析：由三视图知此几何体是正四棱锥，底面是边长为1的正方形，侧面是底边为1，高为1的等腰三角形，则它的表面积为S表=S侧+S底=×1×1×4+1×1=3.

4.(2009年揭阳调研)已知一几何体的三视图如下图，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是

①③④⑤

（写出所有正确结论的编号）①矩形；

②不是矩形的平行四边形；

③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；

⑤每个面都是直角三角形的四面体.课堂互动探究

下列关于简单几何体的说法中:

①斜棱柱的侧面中不可能有矩形；②有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；③侧面是等腰三角形的棱锥是正棱锥；④圆台也可看成是圆锥被平行于底面的平面所截得截面与底面之间的部分.正确的个数是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

对简单几何体的概念的正确理解分析：解决关于简单几何体的概念性的问题时要紧扣简单几何体的定义,不可想当然.解析：①斜棱柱的侧面中也可能有矩形,想象将侧面正对我们的长方体,向前(后)压斜时,正对我们的侧面及其对面可保持是矩形,可见斜棱柱的侧面中可能0个,1个或2个矩形,但可以证明不可多于两个.②棱柱的定义是:有两个面互相平行,其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体叫棱柱.每相邻两个四边形的公共边互相平行，条件不能少，否则就可能不是棱柱(如上图).③正棱锥的定义中有两个本质要素:底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心,侧面是等腰三角形并不能保证上述两个条件成立,这样的反例也好找,比如底面是任意三角形,但三条侧棱长都相等的三棱锥.④类似于棱台与棱锥的关系,圆台也可看成是圆锥被平行于底面的截面所截得.故只有说法④正确.

答案：B点评：在判断概念性命题时,要紧扣定义,完全满足定义要求,才能断定命题为真，要断定命题为假时,只需找到一个反例即可.变式探究

1.以下命题：

①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．

其中正确命题的个数为（）

A.0

B.1

C.2

D.3

解析：据圆柱、圆锥、圆