第3章 计算机图形处理技术

§1坐标系与坐标变换§2图形的裁剪技术§3图形的几何变换§4CAD/CAM中图形的生成方法§5交互技术和图形标准第三章计算机图形处理技术3.1计算机图形学基础知识模型坐标系（造型坐标系MCS）：（ModelingCoordinateSystem）右手坐标系，是用来描述世界坐标系中每个具体物体的形状，当物体的空间位置发生变化时，由造型坐标系定义的物体上的各点的坐标值不变。也称工作坐标系图a图b3.1计算机图形学基础知识世界坐标系(WC)：世界坐标系（也称用户坐标系）是用户用于定义所有物体的统一参考坐标系，它在计算过程中始终保持唯一性，无论物体在何位置，在什么模型坐标系，一般应变换到统一的世界坐标系（即统一的参照坐标系），然后进行其它计算，避免坐标系的混乱，引起不必要的错误。物体从模型坐标下经几何变换到世界坐标系称模型变换。zxynvuWCVRC用于定义整图或最高层次图形结构，各子图、图元都放在wc的适当位置世界坐标系与造型坐标系是整体与局部的关系，造型坐标系也称为局部坐标系，世界坐标系也称为整体坐标系3.1计算机图形学基础知识观察坐标系（VCS）：实际中，可以物体不动照相机动(移动和转动)，也可相机不动物体动。通常取物体所在的坐标系为世界坐标系(WC)，投影平面与投影中心也在世界坐标系中指定。考虑到在世界坐标系中，要获取某角度物体的投影，所指定的投影平面与投影中心的表示可能很复杂，导致投影变换很复杂。为此，可以依赖于投影平面（为照相机底片）建立一个uvn坐标系，称之为观察坐标系（VRC）。观察坐标系（也称视点坐标系，视见坐标系）常采用右手直角坐标系（如图）（也可左手坐标系），这样可使观察坐标系与世界坐标系有相同的方向，图形系统就可以用一种坐标方向来处理世界坐标系和观察坐标系两种系统3.1计算机图形学基础知识观察坐标系（VCS）：也称视点坐标系（视见坐标系）常采用右手直角坐标系，是为了将三维物体投影到显示屏幕（观察平面）上而建立起来的坐标系。用途：（1）用于指定裁剪空间，确定物体要显示输出的部分；（2）通过定义观察平面，把三维物体的世界坐标变换成规格化设备坐标。世界坐标与观察坐标的变换（观察变换）物体在空间的表示是用世界坐标（XwYwZw）来表示，但是当人们去观察物体时，坐标系就转化为观察坐标系（XvYvZv）。这就需要在两个坐标系之间进行转换，可以通过平移、旋转变换实现从世界坐标到观察坐标的变换视见体：通常人只能看到有限范围的景物。为此，在观察坐标系中定义两个裁剪面——前裁剪面与后裁剪面，它们平行于投影平面，位于前后裁剪平面之间的观察空间称为视见体或裁剪空间。

v投影平面前裁剪面后裁剪面投影平面前裁剪面后裁剪面vnunu透视投影的视见体平行投影的视见体3.1计算机图形学基础知识设备坐标系（DCS）：图形输出设备（如显示器、绘图机）自身都有一个坐标系，称为设备坐标系或物理坐标系。设备坐标系是一个二维平面坐标系，用于在图形设备上定义图形或窗口的位置，它的度量单位是步长（绘图机）或像素（显示器）。定义域是整数域且是有界的。3.1计算机图形学基础知识规格化设备坐标系（NDCS）：由于不同的图形设备具有不同的设备坐标系，且不同设备间坐标范围也不尽相同，为了避免由于设备坐标系与设备的相关性影响应用程序的可移植性，引入与设备无关的规格化的设备坐标系，规格化的设备坐标系的取值范围是左下角（0.0,0.0）用户的图形数据经转换成规格化设备坐标系后，使应用程序与图形设备隔离开，增强了应用程序的可移植性。观察坐标系规格化设备坐标系设备坐标系3.1计算机图形学基础知识坐标系照相机模型与投影zxynvu照相机模型为了解决三维图形显示中投影问题，借助于照相机模型的概念和方法。如右图照相机与景物有各自的坐标系：uvn与xyz。照相机拍照过程：1）取景：相当于模型变换2）拍照到底片：相当于规范化、裁剪与投影3）冲洗照片：相当于显示到显示设备用计算机显示过程描述上述过程：1）选定投影类型2）设置投影参数3）三维裁剪4）投影5）显示规格化投影空间，使面方程表示规范进一步细化上述过程，三维图形的显示流程一般为：三维显示过程复杂，裁剪效率重要。为减少计算量，引入规范视见体概念，这样先将视见体规范化，然后关于规范视见体进行三维裁剪，其流程为：3.1计算机图形学基础知识窗口与视区窗口：在用户坐标系中指定的现实范围。3.1计算机图形学基础知识窗口与视区视区：是设备坐标系中的一个矩形区域。3.1计算机图形学基础知识3.1计算机图形学基础知识窗口与视区的变换3.1计算机图形学基础知识窗口与视区的变换3.1计算机图形学基础知识窗口与视区的变换3.1计算机图形学基础知识窗口和视区的关系：①窗口定义在用户坐标系中；视区定义在设备坐标系中。②窗口能定义一个、数个、嵌套；视区的个数由窗口个数决定，以保证一一对应关系。③窗口能进行移动、放大、缩小、旋转等几何变换；视区一般不能进行几何变换。3.1计算机图形学基础知识结论：①当视区大小不变时，窗口缩小或放大时，则显示的图形会相反地放大或缩小。②当窗口大小不变时，视区缩小或放大时，则显示的图形会跟随缩小或放大。③当窗口与视区大小相同时，则显示的图形大小比例不变。 ④若视区纵横比不等于窗口的纵横比时，则显示的图形会有伸缩变形。

3.2图形的裁剪技术确定图形中哪些部分落在显示区之内,以便显示落在显示区内的那部分图形。这个选择过程称为裁剪只有窗口内的物体才能显示出来。因此，窗口之外的物体都是不可见的，可以不参加标准化转换及随后的显示操作，节约处理时间。裁剪（clipping）是裁去窗口之外物体的一种操作。3.2图形的裁剪技术点与字符的裁剪字串裁剪字裁剪笔画裁剪直线段的裁剪二维直线段裁剪多边形裁剪3.2图形的裁剪技术编码裁剪法的步骤：定义编码状态表

1、第一位：端点在窗口左边界代码为1，否则为02、第二位：端点在窗口右边界代码为1，否则为03、第三位：端点在窗口下边界代码为1，否则为04、第四位：端点在窗口上边界代码为1，否则为03.2图形的裁剪技术3.2图形的裁剪技术3.2图形的裁剪技术3.2图形的裁剪技术3.2图形的裁剪技术3.2图形的裁剪技术4.中点分割法：基本思想：分别寻找直线段两个端点各自对应的最远的可见点，两个可见点之间的连线即为要输出的可见线段。①

判断直线段是否全部在窗口外，若是则结束，否则②；②判断点是否可见，若是则即为距点最远的可见点（b线段）返回，否则③；③将直线段对分，中点为，如果全部在窗口外（d线段），则用代替，否则以代替（e线段），对新的线段从①

开始；重复上述过程，直到的长度小于给定的误差，即认为已与窗口的一个边界相交为止。上述过程找到了距点最远的可见点，把两个端点对调，重复上述步骤，即可找到距点最远的可见点，连接两点，即为要输出的可见段。abdec3.2图形的裁剪技术5.多边形裁剪逐边裁剪法、双边裁剪法、分区判断求交法、凸包矩形判别法、边界分割法等。逐边裁剪法原理：

先用窗口的一条边界对多边形进行裁剪，保留裁剪后位于该边界窗口内的部分图形，合并外部区域的图形，得到一个或若干个新的封闭图形，当用窗口的第一条边界处理完后，再用第二条边界对新生成的多边形进行裁剪，如此下去，直至窗口的四条边界都裁剪完毕。3.3图形的几何变换3.3.1图形变换的方法构成图形的基本要素及其表示方法3.3图形的几何变换

设有图形A，经过某种变换后得到的新图形为B，则有：其中，B为变换后图形矩阵，T称为变换矩阵，是用来对原图形施行坐标变换的工具。这里[x’,y’]为变换后点的坐标，[x,y]为变换前点的坐标，变换矩阵中a,b,c,d的不同取值，可以实现各种不同变换，从而达到对图形进行变换的目的。3.3图形的几何变换二维基本变换比例变换、对称变换、错切变换、旋转变换、平移变换二维组合变换3.3图形的几何变换在变换矩阵中，令b=c=0，则为比例变换矩阵

其中a，d分别为x，y方向上的比例因子比例变换3.3图形的几何变换对称变换3.3图形的几何变换对称变换对原点的对称变换:3.3图形的几何变换对称变换对x轴对称:对y轴对称:对y=-x对称:对y=x对称:3.3图形的几何变换对称变换3.3图形的几何变换旋转变换

在二维空间里，我们作如下规定：图形的旋转是指绕坐标系原点旋转θ角，且逆时针为正，顺时针为负，变换矩阵为3.3图形的几何变换旋转变换

对字母T进行旋转变换（旋转60°)3.3图形的几何变换错切变换3.3图形的几何变换平移变换

这里△x，△y是平移量，应为常数，但是应用上述变换矩阵对点进行变换

而这里的cy，bx均非常量，因此用原来的2×2的变换矩阵是无法实现平移变换。

上述四种变换都可以通过变换矩阵

来实现，但是，若实现平移变换，变换前后的坐标必须满足下面的关系3.3图形的几何变换平移变换将变换矩阵增加一行一列，实施对点进行平移变换3.3图形的几何变换齐次坐标

在平移变换中，我们将[xy]扩充为[xy1]实际上是由二维向量变为三维向量。这种用三维向量表示二维向量的方法叫做齐次坐标法。进一步推广，用n+1维向量表示n维向量的方法称之为齐次坐标法。所谓齐次坐标就是用n+1维向量表示n维向量得到的坐标。对齐次坐标进行坐标变换称为齐次变换，相应的变换矩阵称为齐次变换矩阵。设三维空间点P的坐标为(x,y,z)，它是唯一的。若用齐次坐标表示时，则为(hx,hy,hz,h)，且不唯一。3.3图形的几何变换齐次坐标的几何意义

将Oxy坐标系增加一与x轴和y轴正交的w轴。在w=1的平面上有点P1(x,y,1),则当w由0变化到无穷时，齐次坐标Pw(xw,yw,w)将处在由OP1定义的射线OQ上。二维坐标则是该射线在w＝1平面上的交点,

有

二维齐次变换表示了在w=1平面上点的坐标变换，即P1到P1*的坐标变换3.3图形的几何变换齐次坐标的特点当w=0时，齐次坐标可用来表示无穷远的点将图形处理中的各种变换用统一的方式来处理如二维图形变换矩阵的一般表达式：齐次变换矩阵通常是非奇异矩阵。当该矩阵奇异时，detA=0，坐标经变换后维数将降低，如三维坐标在二维平面上的投影变换等。3.3图形的几何变换二维齐次变换矩阵

其中2×2阶矩阵可以实现图形的比例、对称、错切、旋转等基本变换；1×2阶矩阵可以实现图形的平移变换；2×1阶矩阵可以实现图形的透视变换，而[s]可以实现图形的全比例变换。3.3图形的几何变换小结3.3图形的几何变换3.3图形的几何变换3.3图形的几何变换二维组合变换

上述的几种变换可用统一的变换矩阵形式来实现，称之基本变换。但有些变换仅用一次基本变换是不够的，必须由两次或多次基本变换组合才能实现。这种由多种基本变换组合而成的变换称之为组合变换，相应的变换矩阵叫做组合变换矩阵。设坐标P经过n次变换T1,T2,…,Tn到P*，则变换结果为：P*=PT1T2…Tn=PT式中，T=T1T2…Tn为总的变换矩阵，组合变换的目的是将一个变换序列表示为一个变换矩阵。

3.3图形的几何变换二维组合变换平面图形绕任意点P(x,y)旋转θ角，需要通过以下几个步骤来实现：(1)将旋转中心平移到原点;(2)将图形绕坐标系原点旋转θ角;(3)将旋转中心平移回到原来位置。3.3图形的几何变换二维组合变换3.3图形的几何变换二维组合变换3.3图形的几何变换二维组合变换3.3图形的几何变换二维组合变换3.3图形的几何变换二维组合变换3.3图形的几何变换二维组合变换3.3图形的几何变换二维组合变换3.3图形的几何变换组合变换顺序对图形的影响复杂变换是通过基本变换的组合而成的，由于矩阵的乘法不适用于交换律，即：[A][B]≠[B][A]因此，组合的顺序一般是不能颠倒的，顺序不同，则变换的结果亦不同，如图所示。3.3图形的几何变换3.3.2三维图形变换三维图形的变换是二维图形变换的简单扩展，变换的原理还是把齐次坐标点(x,y,z,1)通过变换矩阵变换成新的齐次坐标