高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时达标12 函数模型及其应用试题

课时达标第12讲函数模型及其应用[解密考纲]本考点考查函数在实际生活中的应用等．在近几年的高考中选择题、填空题、解答题都出现过．选择题、填空题通常排在中间位置，解答题往往与其他知识综合考查，题目难度中等．一、选择题1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y(单位：台)与投放市场的月数x之间关系的是(C)A．y＝100xB．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2xD．y＝100log2x＋100解析根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得C项正确．2．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(B)A．9天 B．10天C．11天 D．12天解析设该厂应每隔x天购买一次面粉，则购买量为6x吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)，设平均每天所支付的总费用为y1元，则y1＝eq\f(9xx＋1＋900,x)＋1800×6＝eq\f(900,x)＋9x＋10809≥2eq\r(\f(900,x)·9x)＋10809＝10989，当且仅当9x＝eq\f(900,x)，即x＝10时取等号．故该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．故选B．3．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(缴税比例＝\f(纳税额,年收入)))为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是(D)A．560万元 B．420万元C．350万元 D．320万元解析设该公司的年收入为x万元，纳税额为y万元，则由题意，得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x×p%，x≤280，,280×p%＋x－280×p＋2%，x>280，))依题意有eq\f(1,x)[280×p%＋(x－280)×(p＋2)%]＝(p＋0.25)%，解得x＝320.4．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)(C)A．1.5% B．1.6%C．1.7% D．1.8%解析设每年世界人口平均增长率为x，则(1＋x)40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x)＝lg2，所以lg(1＋x)＝eq\f(lg2,40)≈0.0075，所以100.0075＝1＋x，得1＋x＝1.017，所以x＝1.7%.5．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份(A)A．甲食堂的营业额较高B．乙食堂的营业额较高C．甲、乙两食堂的营业额相同D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高解析设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可得m＋8a＝m×(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×(1＋x)4＝eq\r(mm＋8a)，因为yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．6．某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为(B)A．3000元 B．3300元C．3500元 D．4000元解析由题意，设利润为y元，租金定为3000＋50x元(0≤x≤70，x∈N)．则y＝(3000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(58＋x＋70－x,2)))2，当且仅当58＋x＝70－x，即x＝6时，等号成立，故每月租金定为3000＋300＝3300(元)时，公司获得最大利润．故选B．二、填空题7．某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝eq\f(76000v,v2＋18v＋20l).(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为__1_900__辆/小时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加__100__辆/小时．解析(1)当l＝6.05时，F＝eq\f(76000v,v2＋18v＋20×6.05)，∴F＝eq\f(76000v,v2＋18v＋121)＝eq\f(76000,v＋\f(121,v)＋18)≤eq\f(76000,2\r(v·\f(121,v))＋18)＝1900，当且仅当v＝eq\f(121,v)，即v＝11时取等号．∴最大车流量F为1900辆/小时．(2)当l＝5时，F＝eq\f(76000v,v2＋18v＋20×5)＝eq\f(76000,v＋\f(100,v)＋18)，∴F≤eq\f(76000,2\r(v·\f(100,v))＋18)＝2000，当且仅当v＝eq\f(100,v)，即v＝10时取等号．∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2000－1900＝100辆/小时．8．里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__6__级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的__10_000__倍．解析由lg1000－lg0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，则lgA9－lg0.001＝9，解得A9＝106，同理5级地震最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍．9．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据关系如下表.时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是__120__；(2)最低种植成本是__80__(元/100kg)．解析根据表中数据可知函数不单调，所以Q＝at2＋bt＋c且开口向上，对称轴t＝－eq\f(b,2a)＝eq\f(60＋180,2)＝120.代入数据eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3600a＋60b＋c＝116，,10000a＋100b＋c＝84，,32400a＋180b＋c＝116，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－2.4，,c＝224，,a＝0.01，))所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14400a＋120b＋c＝14400×0.01＋120×(－2.4)＋三、解答题10．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值．解析(1)作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，在△EDF中，eq\f(EQ,PQ)＝eq\f(EF,FD)，所以eq\f(x－4,8－y)＝eq\f(4,2)，所以y＝－eq\f(1,2)x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．(2)设矩形BNPM的面积为S，则S(x)＝xy＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(x,2)))＝－eq\f(1,2)(x－10)2＋50，所以S(x)是关于x的二次函数，且其开口向下，对称轴为x＝10，所以当x∈[4,8]，S(x)单调递增，所以当x＝8米时，矩形BNPM面积取得最大值48平方米．11．(2018·甘肃会宁一中月考)某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(单位：万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x(单位：万元)，x∈[8,64]时，奖金为y万元，且y＝logax，y∈[3,6]，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金．(1)求奖金y关于x的函数解析式；(2)若某营销人员争取奖金y∈[4,10](单位：万元)，则年销售额x(单位：万元)在什么范围内？解析(1)依题意，y＝logax在x∈[8,64]上为增函数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga8＝3，,loga64＝6，))解得a＝2，所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，0≤x<8，,log2x，8≤x≤64，,\f(1,10)x，x>64.))(2)易知x≥8，当8≤x≤64时，要使y∈[4,10]，则4≤log2x≤10，解得16≤x≤1024，所以16≤x≤64；当x>64时，要使y∈[4,10]，则40≤x≤100，所以64<x≤100.综上所述，当年销售额x∈[16,100](单位：万元)时，奖金y∈[4,10](单位：万元)．12．(2018·广东广州检测)某旅游景点预计2018年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似为p(x)＝eq\f(1,2)x(x＋1)·(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的关系近似是q(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(35－2x，x∈N*，且1≤x≤6，,\f(160,x)，x∈N*，且7≤x≤12.))(1)写出2018年第x个月的旅游人数f(x)(单位：人)与x的函数关系式；(2)试问2018年第几个月的旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？解析(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37，当2≤x≤12，且x∈N*时，f(x)＝p(x)－p(x－1)＝eq\f(1,2)x(x＋1)(39－2x)－eq\f(1,2)x(x－1)(41－2x)＝－3x2＋40x，经验证x＝1时也满足此式，所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．(2)由题意知第x个月的旅游消费总额为g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x2＋40x35－2x，x