第四讲 数列与探索性新题型的解题技巧

第四讲数列与探索性新题型的解题技巧【命题趋向】从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势：1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点.3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.因此复习中应注意：1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等.4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.【考点透视】1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题.3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.【例题解析】考点1正确理解和运用数列的概念与通项公式理解数列的概念,正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式.典型例题例1．（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则；（答案用n表示）.思路启迪：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是12,3,4,…推测出第n层的球数。解答过程：显然.第n堆最低层（第一层）的乒乓球数，，第n堆的乒乓球数总数相当于n堆乒乓球的低层数之和，即所以：例2．（2007年湖南卷理）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是．第1行11第2行101第3行1111第4行10001第5行110011……………思路启迪：计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。解：第1次全行的数都为1的是第=1行，第2次全行的数都为1的是第=3行，第3次全行的数都为1的是第=7行，??????，第次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是=32．应填，32考点2数列的递推关系式的理解与应用在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形，转化为常见的类型进行解题。如“逐差法”若且；我们可把各个差列出来进行求和，可得到数列的通项.再看“逐商法”即且，可把各个商列出来求积。另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题。例3．（2007年北京卷理）数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．（I）求的值；（II）求的通项公式．思路启迪：（1）由成公比不为的等比数列列方程求；（2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出an与n之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.解：（I），，，因为成等比数列，所以，解得或．当时，，不符合题意舍去，故．（II）当时，由于，，，，所以．又，，故．当时，上式也成立，所以．小结：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.例4．（2006年广东卷）已知数列满足，，…．若，则(B)（Ａ）（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）５思路启迪：对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用.解答过程：，.相叠加.，.，，，.解答过程2：由得：，，因为.所以：.解答过程3：由得：…………，从而；；……；.叠加得：.，.，从而.小结：数列递推关系是近几年高高数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。对连续两项递推，可转化为；对连续三项递推的关系如果方程有两个根，则上递推关系式可化为或.考点3数列的通项与前n项和之间的关系与应用与的关系：，数列前n项和和通项是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式时，一定要注意条件，求通项时一定要验证是否适合。解决含与的式子问题时，通常转化为只含或者转化为只的式子.例5．（2006年辽宁卷）在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（）(A)(B)(C)(D)命题目的：本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。过程指引因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则即，所以，故选择答案C.例6.已知在正项数列{an}中，Sn表示前n项和且，求an.思路启迪：转化为只含或者只含的递推关系式.解答过程1：由已知，得当n=1时，a1=1；当n≥2时，an=Sn－Sn－1，代入已知有，.，又，故.，是以1为首项，1为公差的等差数列，故.解答过程2：由已知，得当n=1时，a1=1；当n≥2时因为，所以.，，因为，所以，所以.考点4.数列中与n有关的等式的理解与应用对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为得到另外的式子。也可以把n取自然数中的具体的数1，2，3…等，得到一些等式归纳证明.例7．（2006年福建卷）已知数列满足(n∈N)（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足(n∈N*),证明:是等差数列;思路启迪：本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。把递推关系式变形转化解答过程：（I）解： 是以为首项，2为公比的等比数列。 即 （II）证法一：， ① ② ②－①，得 即 ③④③－④，得 即 故是等差数列.考点5等差、等比数列的概念与性质的理解与应用在等差、等比数列中，已知五个元素或，中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”。本着化多为少的原则，解题时需抓住首项和公差（或公比）。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如（1）等差数列中，若，则；等比数列中，若，则.（2）等差数列中，成等差数列。其中是等差数列的前n项和；等比数列中（），成等比数列。其中是等比数列的前n项和；（3）在等差数列中，项数n成等差的项也称等差数列.（4）在等差数列中，；.在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.典型例题例8．（2006年江西卷）已知等差数列的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝（）A．100B.101C.200D.201命题目的：考查向量性质、等差数列的性质与前n项和。过程指引：依题意，a1＋a200＝1，故选A例9．（2007年安徽卷文、理）某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0）,因此，历年所交纳的储备金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列.与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0）,那么,在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1+r）n－1，第二年所交纳的储备金就变成a2（1+r）n－2，…….以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（Ⅰ）写出Tn与Tn－1（n≥2）的递推关系式；（Ⅱ）求证Tn=An+Bn，其中{An}是一个等比数列，{Bn}是一个等差数列.命题目的：本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数字模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.解：（I）我们有（II）反复使用上述关系式，得①在①式两端同乘1+r，得②②－①，得2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．考点6等差、等比数列前n项和的理解与应用等差、等比数列的前n项和公式要深刻理解，等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数.等比数列的前n项和公式（），因此可以改写为是关于n的指数函数，当时，.例10．（2007年广东卷理）已知数列的前n项和Sn=n2－9n,第k项满足5<ak<8,则k=A．9 B．8 C．7 D．6思路启迪：本小题主要考查数列通项和等差数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．解：此数列为等差数列，，由5<2k-10<8得到k=8．例11．（2007年湖北卷文）（本小题满分13分）已知数列{an}和{bn}满足:且{bn}是以q为公比的等比数列.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若证明数列是等比数列；（Ⅲ）求和：.命题目的：本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．解法1：（I）证：由，有，．（II）证：，，，．是首项为5，以为公比的等比数列．（III）由（II）得，，于是．当时，．当时，．故解法2：（I）同解法1（I）．（II）证：，又，是首项为5，以为公比的等比数列．（III）由（II）的类似方法得，，，．．下同解法1．考点7数列与函数的迭代问题由函数迭代的数列问题是进几年高考综合解答题的热点题目，此类问题将函数与数列知识综合起来，考察函数的性质以及函数问题的研究方法在数列中的应用，涉及的知识点由函数性质、不等式、数列、导数、解析几何的曲线等，另外函数迭代又有极为深刻的理论背景和实际背景，它与当前国际数学主流之一的动力系统（拓扑动力系统、微分动力系统）密切相关，数学家们极为推崇，函数迭代一直出现在各类是数学竞赛试题中，近几年又频频出现在高考数学试题中.例12．（2006年山东卷）已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….(Ⅰ)令(Ⅱ)求数列(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由.思路启迪：利用等比的定义证明是等比数列；对可由已知用叠加法求出求。求出与便可顺利求出第三问.解答过程：（I）由已知得又是以为首项，以为公比的等比数列.（II）由（I）知，将以上各式相加得：（III）解法一：存在，使数列是等差数列.数列是等差数列的充要条件是、是常数即又.当且仅当，即时，数列为等差数列.解法二：存在，使数列是等差数列.由（I）、（II）知，，..又..当且仅当时，数列是等差数列.（5）例13（2007年陕西卷理） 已知各项全不为零的数列的前k项和为Sk，且N*），其中（Ⅰ）求数列的通项公式；（II）对任意给定的正整数，数列满足.思路启迪：注意利用解决问题．解：（Ⅰ）当，由及，得．当时，由，得．因为，所以．从而，．故．（Ⅱ）因为，所以．所以故考点8数列综合应用与创新问题数列与其它数学知识的综合性问题是高考的热点，全面考察数学知识的掌握和运用的情况，以及分析问题解决问题的能力和思维的灵活性、深刻性、技巧性等，涉及的数学思想方法又从一般到特殊和从特殊到一般的思想、函数与方程的思想、探索性思想等。例14．（2006年湖南卷）在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数.求a4、a5，并写出an的表达式；命题目的：考查排列、数列知识.过程导引：由已知得，.例15．设是定义在上的单调可导函数.已知对于任意正数，都有，且.（Ⅰ）求，并求的值；（Ⅱ）令，证明数列是等差数列；（Ⅲ）设是曲线在点处的切线的斜率（），数列的前项和为，求证：.思路启迪：根据已知条件求出函数的关系式，求出的递推关系式然后可求解题中要求．解答过程：（Ⅰ）取；再取，则，或－1（舍去）.（Ⅱ）设，则，再令，即或，又，则，由，所以是等差数列.（3）由（2）得则所以；又当时，，则，故.例16．（2007年广东卷理）已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，（n=1,2,……）（1）求的值；（2）证明：对任意的正整数n，都有>a；（3）记（n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn．思路启迪：（1）注意应用根与系数关系求的值；（2）注意先求；（3）注意利用的关系．解：（1）∵，是方程f(x)=0的两个根，∴．（2），=，∵，∴由基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴同，样，……，（n=1,2,……）．（3），而，即，，同理，，又．【专题训练与高考预测】一.选择题1.已知{a}是等比数列，且a>0，aa+2aa+aa=25，那么a+a的值等于（）A.5B.10C.15.D.202.在等差数列{a}中，已知a+a+a+a+a=20，那么a等于（）A.4B.5C.6D7. 3.等比数列{an}的首项a1=－1,前n项和为Sn,若，则Sn等于() C.2 D.－24.已知二次函数y=a(a+1)x2－(2a+1)x+1，当a=1，2，…，n，…时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1,d2，…,dn,…,则(d1+d2+…+dn)的值是()A.1 B.2 C.3 D.4二.填空题5.已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0<logm(ab)<1,则m的取值范围是_________.6.等差数列{an}共有2n+1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________.7.设zn=()n，(n∈N*)，记Sn=｜z2－z1｜+｜z3－z2｜+…+｜zn+1－zn｜，则Sn=_________.8.作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分别为_________.9.从盛满a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加满，再倒出b升，再用水加满；这样倒了n次，则容器中有纯酒精_________升.10.据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“十?五”期间(2001年~2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十?五”末我国国内年生产总值约为_________亿元.三、解答题11.已知：在等比数列{a}中，S=a+a+a+…+a，若S=5，S=15。求：S的值.12.项数为奇数的等差数列{a}中，奇数项之和为80，偶数项之和为75，求此数列的中间项和项数.13.数列{a}中，前m项（m为奇数）的和为77，其中偶数项之和为33，且a－a=18，求这个数列的通项公式.14.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范围；(2)指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，并说明理由.15.已知数列{an}为等差数列，公差d≠0,由{an}中的部分项组成的数列a,a,…,a,…为等比数列，其中b1=1,b2=5,b3=17.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)记Tn=Cb1+Cb2+Cb3+…+Cbn,求.16.设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1=b1=1,a2+a4=b3,b2?b4=a3,分别求出{an}及{bn}的前n项和S10及T10.17.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=(m+1)－man.对任意正整数n都成立，其中m为常数，且m＜－1.(1)求证：{an}是等比数列；(2)设数列{an}的公比q=f(m)，数列{bn}满足：b1=a1,bn=f(bn－1)(n≥2,n∈N*).试问当m为何值时，成立？18.已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项bn；(2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a＞0且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论.19.某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.(1)设ak(1≤k≤n)为第k位职工所得奖金金额，试求a2,a3，并用k、n和b表示ak(不必证明)；(2)证明ak＞ak+1(k=1,2,…,n－1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义；(3)发展基金与n和b有关，记为Pn(b),对常数b，当n变化时，求Pn(b).【参考答案】一.选择题1.解法一：因为{a}是等比数列，设{a}的公比为q，由a>0知q>0，因aa+2aa+aa=25，所以，aqaq+2aqaq+aqaq=25，即[aq（1+q）]=25，aq（1+q）=5，得a+a=aq+aq=aq（1+q）=5.故选择答案A.解法二：因{a}是等比数列，aa=a，aa=a，原式可化为a+2aa+a=25,即（a+a）=25.因a>0,a+a=5,故选择答案A2.解法一：因为{a}是等差数列，设其首项为a，公差为d，由已知a+a+a+a+a=20有5a+10d=20， a+2d=4,即a=4.故选择答案A.解法二：因{a}是等差数列，所以a+a=a+a=2a，由已知a+a+a+a+a=20得5a=20，a=4.故选择答案A3.解析：利用等比数列和的性质.依题意，，而a1=－1,故q≠1,∴,根据等比数列性质知S5，S10－S5，S15－S10,…,也成等比数列，且它的公比为q5,∴q5=－,即q=－.∴故选择答案B.4.解析：当a=n时y=n(n+1)x2－(2n+1)x+1由｜x1－x2｜=，得dn=，∴d1+d2+…+dn故选择答案A.二、5.解析：解出a、b,解对数不等式即可.故填答案:(－∞,8)6.解析：利用S奇/S偶=得解.故填答案:第11项a11=29.故填答案:1+.8.解析：由题意所有正三角形的边长构成等比数列{an}，可得an=，正三角形的内切圆构成等比数列{rn}，可得rn=a,∴这些圆的周长之和c=2π(r1+r2+…+rn)=a2，面积之和S=π(n2+r22+…+rn2)=a2故填答案:周长之和πa，面积之和a29.解析：第一次容器中有纯酒精a－b即a(1－)升，第二次有纯酒精a(1－)－，即a(1－)2升，故第n次有纯酒精a(1－)n升.故填答案:a(1－)n10.解析：从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7.3%为公比的等比数列，∴a5=95933(1+7.3%)4≈120000(亿元).故填答案:120000.三、11.解：因为{a}为等比数列，所以S，S－S，S－S是等比数列.即5，15－5，S－15是等比数列,得5（S