2020年浙江省高考数学能力提升试卷（5月份）

第1页（共1页）2020年浙江省高考数学能力提升试卷（5月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知集合，2，，为所有子集组成的集合，则下列不是集合的子集的是A． B． C． D．2．（4分）已知，满足，，则的实部是A． B．0 C．1 D．3．（4分）的常数项的二项式系数为A．375 B． C．15 D．4．（4分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A． B． C． D．5．（4分）随机变量，的分布列如表所示，且满足，，则下列判断错误的是A． B． C． D．6．（4分）函数与的图象可能是A． B． C． D．7．（4分）已知平行四边形中，为锐角，，为上一点，为上一点，现将与分别沿，翻折，得到△与△，且满足，，记中点为，则形成的轨迹形状为A．圆 B．圆的内部 C．球面 D．球的内部8．（4分）某城市街道的平面图如图所示，若每个路口仅能沿右、左上、右上三个方向走，从至的路径条数有条：若、两处因故施工，不能通行，从至的路径条数有条，则，分别为A．1552；256 B．1440；256 C．1552；288 D．1440；2889．（4分）已知函数．记零点个数为，极大值点个数为，若，则A． B． C． D．10．（4分）已知数列的通项为，其中为正常数，记为数列的前项和，则下列说法不正确的是A．常数使得对于均有是的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．对于，均满足是的必要不充分条件 D．对于，均满足是的充分不必要条件二、填空题（本大题共6小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分）11．（6分）分形是数学之美的体现，谢尔平斯基三角形就是其典型代表，其形式及构造如图所示，它与杨辉三角也有着密不可分的联系，请根据图示规律，用组合数表示杨辉三角第22行第9列；并判断其奇偶性．（选填“奇”或“偶”12．（6分）已知函数．若恒成立，则的取值范围是；的取值范围是．13．（6分）若，则的最小值为；最大值为．14．（6分）某景区内有10个景点，其平面图如图所示，当时甲在地，乙在地，若每经过一个单位时间，他们都将随机走向与之相邻的任意一个景区，记某时刻甲、乙出现在同一景区的概率为，则（2）；（3）．15．（4分）已知圆内接四边形，其中，，，，则其外接圆的半径为．16．（4分）现有三个平面向量，，，满足，，，，，则的取值范围为．三、解谷题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（14分）已知函数，若关于中心对称．（Ⅰ）求可能的取值；（Ⅱ）讨论当时，函数的单调性和值域．18．（15分）如图，在正六面体中，，，，，过，，的平面截正六面体得一平面多边形．（Ⅰ）求多边形的周长和面积；（Ⅱ）求与平面所成的二面角的平面角的余弦值．19．（15分）如图，，为抛物线上横坐标相异的两点，，的中垂线交轴于点，，其中的取值范围为．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）若，的中点的轨迹为，试判断直线是否经过定点．若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．20．（15分）已知正项数列，满足，记等差数列的前项和为，其中，．（Ⅰ）求数列的通项公式及的表达式；（Ⅱ）试证明．21．（15分）已知函数，其中．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若，求的取值范围；（Ⅲ）当时，若，为函数的两个零点，试证明：．

2020年浙江省高考数学能力提升试卷（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知集合，2，，为所有子集组成的集合，则下列不是集合的子集的是A． B． C． D．【分析】解：先求集合，再求集合的子集．【解答】解：，2，，的子集为，，，，，，，，，，2，，；集合，，，，，，，，，，2，，，则，，，为的子集，，2，是的一个元素，故选：．【点评】本体考查了集合的真子集，属于基础题．2．（4分）已知，满足，，则的实部是A． B．0 C．1 D．【分析】由题意可设，，，，，由，，得到关于，，的方程组，求得的值得答案．【解答】解：由题意可设，，，，，由，，得，．即，解得或．．即的实部是0．故选：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（4分）的常数项的二项式系数为A．375 B． C．15 D．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于0，求得的值，即可求得结论．【解答】解：由二项式展开式的通项公式为：；令可得，即展开式的中第5项是常数项．常数项的二项式系数为为：；故选：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．4．（4分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A． B． C． D．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图：该几何体为由一个的圆锥和一个三棱锥体构成的组合体．所以：．故选：．【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5．（4分）随机变量，的分布列如表所示，且满足，，则下列判断错误的是A． B． C． D．【分析】推导出，，从而；由，，是两个独立的变量，得到；推导出，，由基本不等式得，，由此得到．【解答】解：由题设条件可知：，，，故选项正确；，又，是两个独立的变量，，故正确；，，，同理得，由基本不等式得，，，，故正确，错误．故选：．【点评】本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的性质等基础知识，考查学生运用数学基础知识解决实际问题的能力，是中档题．6．（4分）函数与的图象可能是A． B． C． D．【分析】求解排除、，再由导数研究函数的单调性排除．【解答】解：当时，，，排除、；，当且接近0时，，则，单调递增，排除．故选：．【点评】本题考查函数的图象与图象变换，考查函数值的求法，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．7．（4分）已知平行四边形中，为锐角，，为上一点，为上一点，现将与分别沿，翻折，得到△与△，且满足，，记中点为，则形成的轨迹形状为A．圆 B．圆的内部 C．球面 D．球的内部【分析】根据条件分析出的轨迹与的轨迹为等大且互相平行的圆，进而得到的轨迹【解答】解：由于翻折，易知，故点在以为球心，以为半径的半球面上，又由于，点在以为一条直径的球的球面上，由此可知，点的轨迹即为两球的交线，即在一个圆上，又由于图形的中心对称性，的轨迹也为圆，且两轨迹圆等大且互相平行，且将两轨迹圆垂直投影到该面上，点轨迹不变，如图所示，固定其中一点，将另一点绕轨迹圆旋转，可得到一个半径为两轨迹圆一半的小圆轨迹，若将固定的点取消固定，则小轨迹圆会绕大轨迹圆圆心的中点旋转，则形成的最终轨迹为一个圆的内部．故选：．【点评】本题考查点的轨迹，考查学生数形结合能力以及空间想象能力，属于中档题．8．（4分）某城市街道的平面图如图所示，若每个路口仅能沿右、左上、右上三个方向走，从至的路径条数有条：若、两处因故施工，不能通行，从至的路径条数有条，则，分别为A．1552；256 B．1440；256 C．1552；288 D．1440；288【分析】根据任意一点的路径条数为自身左，右下，左下三个点的路径条数之和，把每个点的路径依次求出来即可得到，的值．【解答】解：由于每个路口仅能沿右、左上、右上三个方向走，则从点到任意一点的路径条数为自身左，右下，左下三个点的路径条数之和，故在走到每个点的路径条数如下图所示故选：．【点评】本题考查排列组合的简单应用，得出任意一点的路径条数为自身左，右下，左下三个点的路径条数之和是解决问题的关键，属中档题．9．（4分）已知函数．记零点个数为，极大值点个数为，若，则A． B． C． D．【分析】取，，，可排除选项，，取，，，可排除选项，进而得解．【解答】解：取，，，则，其图象如下，由图易知，，符合题意，故排除选项，；取，，，则，则，易知函数在，单调递增，在，单调递减，其图象如下，由图象易知，，符合题意，故排除选项；故选：．【点评】本题考查函数的零点和函数的极值点，采用特殊值结合排除法的方式来得出正确选项，也可以利用导数采用分类讨论的方法得解，考查了运算求解能力及数形结合思想，属于中档题．10．（4分）已知数列的通项为，其中为正常数，记为数列的前项和，则下列说法不正确的是A．常数使得对于均有是的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．对于，均满足是的必要不充分条件 D．对于，均满足是的充分不必要条件【分析】利用不等式的性质、放缩法，结合充分条件、必要条件的定义，能求出结果．【解答】解：对于，当时，，则若当时，不存在，使得对于均有，则该命题必要性成立，下证当时不收敛，，不收敛，当时，不收敛，令，下证：当时，对于，均有，令，则，，，且在上单调递减，，当时，，，即中充分必成立，故正确；对于，必要性同中必要性．令，，，且在上单调递减，当时，，，由于是充要条件，为充分不必要条件，故正确；对于，当时，，，由于经过放缩，对于，均满足是的必要不充分条件，故正确．对于，当时，，．由于经过缩放，对于，均满足是的必要不充分条件，故错误．故选：．【点评】本题考查命题真假的判断，考查充分条件、必要条件的概念，不等式的性质、放缩法等基础知识，考查运算求解能力，是难题．二、填空题（本大题共6小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分）11．（6分）分形是数学之美的体现，谢尔平斯基三角形就是其典型代表，其形式及构造如图所示，它与杨辉三角也有着密不可分的联系，请根据图示规律，用组合数表示杨辉三角第22行第9列203490（或；并判断其奇偶性．（选填“奇”或“偶”【分析】观察所给数据可得，第22行第9个数是的第9项二项式系数，找到第9项的系数规律进行求解即可．即可判断奇偶性．【解答】解：观察所给数据可得，第22行第9个数是的第9项二项式系数，由二项式定理可知，的第9项二项式系数为：．这个数是偶数．故答案为：203490（或；偶．【点评】本题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，考查二项式定理的应用，是中档题．12．（6分）已知函数．若恒成立，则的取值范围是；的取值范围是．【分析】①根据题意可得，，进而求出的取值范围．②，当时，原式，当时，原式，令，则，或，再求取值范围即可．【解答】解：①根据题意可得，，即，所以，所以，②当时，原式，当，此时，当时，原式，令，则，或，可得或，所以或，所以或，所以或，综上可得的取值范围为：，．故答案为：，，．【点评】本题考查二次函数性质，关键是利用函数性质求取值范围，属于中档题．13．（6分）若，则的最小值为1；最大值为．【分析】把已知两边平方，把通分化成关于为自变量的函数，利用函数的单调性即可求出最值．【解答】解：若，则，，有基本不等式，（当且仅当，时“”成立），得，又由，得，令，则，令，则，，，，则，令，得或（舍去），当，时，，当，，函数，在区间当，上单调递增，在区间当，上单调递减，当时，有最大值，最大值是：，又因为，当时，，当时，，，所以，的最小值为：1故答案为：1；．【点评】本题考查了基本不等式、函数的导数与单调性的基本知识．属于难题．14．（6分）某景区内有10个景点，其平面图如图所示，当时甲在地，乙在地，若每经过一个单位时间，他们都将随机走向与之相邻的任意一个景区，记某时刻甲、乙出现在同一景区的概率为，则（2）；（3）．【分析】给每个景区编号，记时刻，第，2，3，4，5，6，7，8，9，个景点路径条数为，列举出满足的条件，结合图象对称，利用相互独立事件概率加法公式和互斥事件概率加法公式能求出（2），（3）．【解答】解：给每个景区编号，记时刻，第，2，3，4，5，6，7，8，9，个景点路径条数为，则满足以下条件：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，图象对称，（2），（3）．故答案为：，．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法、相互独立事件概率加法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．（4分）已知圆内接四边形，其中，，，，则其外接圆的半径为．【分析】连接，在、中分别用由余弦定理求，两式右边相等消去，可得，进一步求得和，利用正弦定理得直径，除以2得半径．【解答】解：连接，在中由余弦定理，得：，在中由余弦定理，得：，从而得，又，故，则，．由正弦定理可得：，解得．故答案为：．【点评】本题考查圆内接多边形，考查三角形的解法，训练了正弦定理及余弦定理的应用，考查计算能力，是中档题．16．（4分）现有三个平面向量，，，满足，，，，，则的取值范围为．【分析】根据题意作图其中，，，取的中点，得，所以，求出的取值范围即可．【解答】解：根据题意可作图①，其中，，，取的中点，得，所以，又，由余弦定理得，，所以，所以．作图②，，，，，为的中点，所以，在中，所以，解得，所以，，所以，所以，，，，不妨设，所以，，在中，，所以，所以，所以，解得，所以．故答案为：．【点评】本题考查向量模的取值范围求解，属于中档题．三、解谷题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（14分）已知函数，若关于中心对称．（Ⅰ）求可能的取值；（Ⅱ）讨论当时，函数的单调性和值域．【分析】（Ⅰ）由题意可知，求出的值即可；（Ⅱ）利用三角函数的图象和性质，即可求出函数的单调性和值域．【解答】解：（Ⅰ）函数图象关于点，成中心对称，，；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，在，上单调递减，在，上单调递增，函数在，上单调递增，在，上单调递减，又，，，函数的最大值为，最小值为，函数的值域为，．【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质，是中档题．18．（15分）如图，在正六面体中，，，，，过，，的平面截正六面体得一平面多边形．（Ⅰ）求多边形的周长和面积；（Ⅱ）求与平面所成的二面角的平面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）延长，交延长线于点，延长，交延长线于点，过作平行线，交、、于点，，，连结，，则多边形为多边形，由此能求出多边形的周长和面积．（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与平面所成的二面角的平面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）延长，交延长线于点，延长，交延长线于点，过作平行线，交、、于点，，，连结，，则多边形为多边形，由勾股定理得：，，，，，，，，，，，则多边形的周长为：，，过作平行线，交于，过作垂线，垂足为，连结，，平面，平面，平面，，又，平面，平面，，，多边形的面积为：．（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，12，，，0，，平面的一个法向量，，，平面的法向量，0，，与平面所成的二面角的平面角的余弦值为：．【点评】本题考查多边形的周长和表面积的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了学生运用数学基础知识解决实际问题的能力，是中档题．19．（15分）如图，，为抛物线上横坐标相异的两点，，的中垂线交轴于点，，其中的取值范围为．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）若，的中点的轨迹为，试判断直线是否经过定点．若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设，，，，运用中点坐标公式和垂直平分线的定义，求得直线的方程，求得的坐标，由条件可得，进而得到抛物线的方程；（Ⅱ）可得直线的方程，由中点的轨迹方程，可得，结合直线恒过定点的求法，可得所求定点．【解答】解：（Ⅰ）设，，，，则的中点，，中垂线的方程为，则，，即，，即，，因为的取值范围为，且，所以，抛物线的解析式为；（Ⅱ）直线的方程为，即，而，，则，因为，所以，可得，则，可得直线的方程为，则直线恒过定点．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线的方程和运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20．（15分）已知正项数列，满足，记等差数列的前项和为，其中，．（Ⅰ）求数列的通项公式及的表达式；（Ⅱ）试证明．【分析】（Ⅰ）令，则，推导出，列方程组求出，，由此能求出数列的通项公式及的表达式．