2021-2023年高考数学真题分类汇编专题10解三角形解答题

专题10解三角形（解答题）近三年高考真题1．（2023•天津）在中，角，，的对边分别为，，．已知，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．【解析】（Ⅰ），，，则；（Ⅱ），，，则，化简整理可得，，解得（负值舍去）；（Ⅲ），，，，则，故，所以．2．（2022•天津）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【解析】解（1）因为，，，由余弦定理可得，解得：；（2），，所以，由，可得，由正弦定理可得，即，可得，所以；（3）因为，，所以，，，可得，所以，所以的值为．3．（2022•乙卷）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）若，求；（2）证明：．【解析】（1）由，又，，，，即（舍去）或，联立，解得；证明：（2）由，得，由正弦定理可得，由余弦定理可得：，整理可得：．4．（2021•天津）在中，内角，，的对边分别为，，，且，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【解析】（1）中，，，，，．（2）中，由余弦定理可得．（3）由（2）可得，，，．5．（2021•上海）已知、、为的三个内角，、、是其三条边，，．（1）若，求、；（2）若，求．【解析】（1）因为，可得，又，可得，由于，可得．（2）因为，可得，又，可解得，，或，，因为，可得，，可得为钝角，若，，可得，可得，可得为钝角，这与为钝角矛盾，舍去，所以，由正弦定理，可得．6．（2023•新高考Ⅱ）记的内角，，的对边分别为，，，已知面积为，为的中点，且．（1）若，求；（2）若，求，．【解析】（1）为中点，，则，过作，垂足为，如图所示：中，，，，解得，，，故；（2），，，，则，①，，即②，由①②解得，，，又，．7．（2023•新高考Ⅰ）已知在中，，．（1）求；（2）设，求边上的高．【解析】（1），，，，，，，，，，即，又，，解得，又，，；（2）由（1）可知，，，，，，设边上的高为，则，，解得，即边上的高为6．8．（2021•北京）在中，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求边上的中线的长．条件①；条件②的周长为；条件③的面积为．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】（Ⅰ），由正弦定理可得，即，，当时，，即，不符合题意，舍去，，，即．（Ⅱ）选①，由正弦定理可得，与已知条件矛盾，故不存在，选②周长为，，，，由正弦定理可得，即，，，，即，，，存在且唯一确定，设的中点为，，在中，运用余弦定理，，即，，边上的中线的长度．选③面积为，，，，解得，余弦定理可得，．9．（2022•上海）如图，在同一平面上，，，为中点，曲线上任一点到距离相等，角，，关于对称，；（1）若点与点重合，求的大小；（2）在何位置，求五边形面积的最大值．【解析】（1）点与点重合，由题意可得，，，由余弦定理可得，所以，在中，由正弦定理得，所以，解得，所以的大小为；（2）如图，连结，，，，曲线上任意一点到距离相等，，，关于对称，点在劣弧中点或劣弧的中点位置，，则，则五边形面积，其中，当时，取最大值，五边形面积的最大值为．10．（2022•新高考Ⅰ）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）若，求；（2）求的最小值．【解析】（1），，．，化为：，，，，，，．（2）由（1）可得：，，，，为钝角，，都为锐角，．，，当且仅当时取等号．的最小值为．11．（2022•浙江）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的面积．【解析】（Ⅰ）因为，所以，且，由正弦定理可得：，即有；（Ⅱ）因为，所以，故，又因为，所以，所以；由正弦定理可得：，所以，所以．12．（2022•新高考Ⅱ）记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知，．（1）求的面积；（2）若，求．【解析】（1），，，，解得：，，，即，，，解得：，．的面积为．（2）由正弦定理得：，，，由（1）得，已知，，，解得：．13．（2022•乙卷（理））记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）证明：；（2）若，，求的周长．【解析】（1）证明：中，，所以，所以，即，所以，由正弦定理得，由余弦定理得，所以；（2）当，时，，，所以，解得，所以的周长为．14．（2021•新高考Ⅱ）在中，角，，所对的边长为，，，，．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解析】（1），根据正弦定理可得，，，，，，在中，运用余弦定理可得，，，．（2），为钝角三角形时，角必为钝角，，，，，三角形的任意两边之和大于第三边，，即，即，，为正整数，．15．（2021•上海）在中，已知，．（1）若，求．（2）若，求．【解析】（1）由余弦定理得，解得，；（2），由正弦定理得，又，，，，，为锐角，．由余弦定理得：，又，，，得：，解得：．当时，时；当时，时．16．（2022•北京）在中，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，且的面积为，求的周长．【解析】（Ⅰ），，又，，，，；（Ⅱ）的面积为，，又，，，，又，，，，的周长为．17．（2023•乙卷（文））在中，已知，，．（1）求；（2）若为上一点．且，求的面积．【解析】（1）在中，由余弦定理可知，，由余弦定理可得，又，，（2）由（1）知：，，，，，的面积为．18．（2023•甲卷（理））记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，求面积．【解析】（1）因为，所以；（2），所以，所以，所以，即，由为三角形内角得，面积．19．（2021•新高考Ⅰ）记的内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，．（1）证明：；（2）若，求．【解析】（1）证明：由正弦定理知，，，，，，即，，；（2）法一：由（1）知，，，，在中，由余弦定理知，，在中，由余弦定理知，，，，即，得，，，或，在中，由余弦定理知，，当时，（舍；当时，；综上所述，．法二