【高中数学】n次方根与分数指数幂课件2 2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章指数函数与对数函数4.1.1n次方根与分数指数幂课标要求

1.理解n次方根、根式的概念.2.理解分数指数幂的含义，掌握分数指数幂的运算性质．素养要求

1.从根式、分数指数幂概念的形成及拓展过程发展数学抽象素养.2.正确进行根式化简求值、根式与分数指数幂的互化及运算，提升学生的数学运算素养．22=4(-2)2=42,-2叫4的平方根.2叫8的立方根.23=8回顾旧知

为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数.在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数，记作．像这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究．新知探索乘方运算开方运算乘方和开方是互逆运算因为(±4)2=16，所以±4叫做16的平方根;因为(±3)2=9，所以±3叫做9的平方根；因为23=8，所以2叫做8的立方根；因为(-2)3=-8，所以-2叫做-8的立方根；如果x2=a，那么x叫做a的平方根；如果x3=a，那么x叫做a的立方根；类似地，

因为(±2)4=16，我们把±2叫做16的4次方根;

因为25=32，我们把2叫做32的5次方根；n次方根n次方根定义:

一般地，如果xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．n次方根定义思考:(1)

一般地，当n为奇数时，实数a的n次方根存在吗？有几个？如关于x的方程x3=a，x5=a

分别有解吗？

(2)一般地，当n为偶数时，实数a的n次方根存在吗？有几个？如关于x的方程x4=a，x6=a分别有解吗？有几个解？

当a>0，方程有两个解；当a=0，方程有一个解；当a<0，方程无解。方程有一个解。(1)当n是奇数时，

任意实数a都有n次方根，且只有一个.记作:

(2)当n是偶数时,①若a>0，则a有n次方根，且有两个.记作:②若a=0，则a有n次方根,且只有一个0，即③若a<0，则a的n次方根不存在.为什么负数没有偶次方根？n次方根

根指数根式被开方数根式的概念(1)公式1.适用范围:①当n为大于1的奇数时,a∈R.②当n为大于1的偶数时,a≥0.(2)公式2.适用范围:n为大于1的奇数,

a∈R.(3)公式3.适用范围:n为大于1的偶数,

a∈R.n次方根的运算性质【例题巩固】例

求下列各式的值：解析：先回顾一下初中时的整数指数幂，运算性质负整数指数幂转化为正整数指数幂要注意性质的逆用

观察以下式子，并总结出规律：a＞0归纳：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）

思考：当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式？如：规定：1、正数的正分数指数幂的意义为：2、正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同3、0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义

分数指数说明：1.根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是

2.由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂。0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义正分数指数幂负分数指数幂规定了分数指数幂的写法有理数指数幂的运算性质分数指数幂整数指数幂有理数指数幂

例

(1)27的立方根是

;16的4次方根是

.

(2)已知x6=2019,则x=

.

【注意】

根式概念问题应关注的