新教材2023-2024学年高中数学第1章数列1.4数学归纳法分层作业课件湘教版选择性必修第一册

第1章*1.4数学归纳法A级必备知识基础练123456789101112131.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N+),第一步验证(

)A.n=1 B.n=2

C.n=3

D.n=4C解析

由题知,n的最小值为3,所以第一步验证n=3时不等式是否成立.12345678910111213这表明,当n=k+1时,不等式也成立.由(1)和(2)可以断定,不等式对任何正整数n都成立.则上述证法(

)A.过程全部正确 B.n=1的验证不正确C.n=k的假设不正确 D.从n=k到n=k+1的递推不正确D12345678910111213解析

n=1的验证及假设都正确,但从n=k到n=k+1的递推中没有使用假设,只是通过放缩法直接证明不等式,不符合数学归纳法证题的要求.故选D.123456789101112133.一个关于自然数n的命题,如果证得当n=1时命题成立,并在假设当n=k(k≥1且k∈N+)时命题成立的基础上,证明了当n=k+2时命题成立,那么综合上述,对于(

)A.一切正整数命题成立B.一切正奇数命题成立C.一切正偶数命题成立D.以上都不对B解析

本题证明了当n=1,3,5,7,…时,命题成立,即对一切正奇数命题成立.123456789101112134.已知f(k)=k+(k+1)+(k+2)+…+2k(k∈N+),则(

)A.f(k+1)-f(k)=2k+2B.f(k+1)-f(k)=3k+3C.f(k+1)-f(k)=4k+2D.f(k+1)-f(k)=4k+3B解析

由f(k)=k+(k+1)+(k+2)+…+2k(k∈N+),可知f(k+1)-f(k)=(k+1)+(k+2)+(k+3)+…+(2k-1)+2k+(2k+1)+2(k+1)-[k+(k+1)+(k+2)+…+2k]=3(k+1).故选B.12345678910111213D.以上结论都不正确

C12345678910111213123456789101112136.用数学归纳法证明下列各式:(1)12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1·(n∈N+);(2)12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+).证明(1)①当n=1时,左边=12=1,12345678910111213这表明,当n=k+1时,等式也成立.根据①和②可以断定,对于任何n∈N+,等式都成立.(2)①当n=1时,左边=12-22=-3,右边=-3,等式成立.②假设当n=k时,等式成立,即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1),那么,当n=k+1时,12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1].这表明,当n=k+1时,等式也成立.由①和②可以断定,等式对任何n∈N+都成立.12345678910111213B级关键能力提升练C123456789101112138.在数列{an}中,已知a1=1,当n≥2时,an-an-1=2n-1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是(

)A.an=3n-2 B.an=n2C.an=3n-1

D.an=4n-3B解析

计算出a1=1,a2=4,a3=9,a4=16.可猜想an的表达式是an=n2,故选B.12345678910111213D12345678910111213解析

结合f(n)中各项的特征可知,分子均为1,分母为n,n+1,…,n2的连续自然数,共有n2-n+1个,且f(2)=.1234567891011121310.设数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的自然数n都有(Sn-1)2=anSn,通过计算S1,S2,S3,猜想Sn=

.

12345678910111213证明(1)当n=1时,左边=1,右边=2.左边<右边,不等式成立.这表明,当n=k+1时,不等式也成立.由(1)和(2)可以断定,不等式对任意n∈N+都成立.1234567891011121312.数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N+).(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;(2)用数学归纳法证明你的猜想.1234567891011121312345678910111213C级学科素养创新练13.在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N+),其中λ>0.(1)求a2,a3,a4,并由此猜想数列{an}的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.(1)解

由a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n,可得a2=λ2+22,a3=2λ3+23,a4=3λ4+24,猜想an=(n-1)λn+2n.12345678910111213(2)证明①当n=1时,a1=(1-1)λ+2=2,猜想成立.②假设当n=k时,猜想成立,即ak=(k-1)λk+2k,那么,当n=k+1时,ak+1=λak+λk+1+(2-λ)2k=λ·(k-1)λk+λ·2k+λk+1