新教材2023-2024学年高中数学第2章平面解析几何初步2.6直线与圆圆与圆的位置关系2.6.1直线与圆的位置关系课件湘教版选择性必修第一册

第2章2.6.1直线与圆的位置关系课标要求1.掌握直线与圆的三种位置关系及判定方法(几何法和代数法);2.掌握直线与圆相交弦长的求法;3.掌握直线与圆相切问题中切线方程的求法.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

学以致用·随堂检测全达标基础落实·必备知识全过关知识点直线与圆的位置关系直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断

位置关系相交相切相离公共点个数

个

个

个

判定方法几何法设圆心到直线的距离d=d

r

d

r

d

r

代数法由消元得到一元二次方程,判别式为ΔΔ

0

Δ

0

Δ

0

210<=>>=<位置关系相交相切相离图形名师点睛“几何法”与“代数法”是从不同的方面,用不同的思路来判断直线与圆的位置关系.“几何法”侧重于“形”,更多地结合了图形的几何性质;“代数法”则侧重于“数”,它倾向于“坐标”与“方程”.一般常用几何法而不用代数法,因为代数法计算复杂,书写量大,易出错,几何法则较简洁.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若一条直线被圆所截得的弦最长,则圆心一定在直线上.(

)(2)过圆上一点引直线,则该直线与圆不可能相离.(

)(3)过一点作圆的切线有两条.(

)√√×2.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是(

)A.相交 B.相切C.相离 D.无法判断B3.直线x=2与圆x2+y2=16相交于两点A,B,则|AB|=

.

解析

圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离d==1.∵d=r,∴直线与圆相切.故选B.重难探究·能力素养全提升探究点一直线与圆位置关系的判断【例1】

已知圆C的方程(x+1)2+y2=1,直线l的方程y=2x-1.试用几何法与代数法判断直线l与圆C的位置关系.分析

①将直线方程代入圆的方程,消元后根据方程根的个数判断;②求出圆心到直线的距离,根据距离与半径的大小关系判断.解

(方法1)方程(x+1)2+y2=1可化为x2+y2+2x=0,将y=2x-1代入x2+y2+2x=0,整理可得5x2-2x+1=0.由Δ=(-2)2-4×5×1=4-20=-16<0,则直线l与圆C没有交点,故直线l与圆C相离.(方法2)由题得,圆C:(x+1)2+y2=1的圆心C(-1,0),半径r=1.将y=2x-1化为2x-y-1=0.因为r=1,则d>r,因此直线l与圆C相离.规律方法

直线与圆位置关系的判断方法

方法过程结论依据几何法求出圆的半径r以及圆心到直线的距离dd与r的关系代数法联立直线方程与圆的方程组成方程组消元得到一元二次方程一元二次方程根的个数变式训练1(1)若直线l过定点P(0,1),则直线l与圆(x-2)2+(y-1)2=5的位置关系是(

)A.相交

B.相切C.相离

D.与m的值有关A(2)直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2+ax+by+c=0(a2+b2-4c>0)的位置关系是(

)A.相交B.相切C.相离D.与a,b,c的值有关C解析

将ax+by+c=0(abc≠0)代入x2+y2+ax+by+c=0,化简可得x2+y2=0,即x=y=0.点(0,0)不满足直线ax+by+c=0(abc≠0),故直线方程代入圆的方程后无解,所以直线与圆相离.探究点二直线与圆相交弦问题【例2】

已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,画出满足题意的图形,判断直线l与圆C的位置关系;如果相交,求直线l被圆C所截得的弦长.分析

根据方程与圆的形式画出图形,联立解方程组,求出直线与圆的交点坐标,利用两点间的距离公式或利用圆的几何性质求弦长.解

(方法1)直线与圆的图形如图所示.消去y,得x2-3x+2=0,解得x1=2,x2=1.把x1=2,x2=1分别代入方程①,得y1=0,y2=3.因此直线l与圆C有两个公共点,所以直线与圆相交,且两个交点坐标是A(2,0),B(1,3).规律方法

直线与圆相交弦长的求法

[提醒]过圆外一点引直线与圆相交的弦长问题的易错点过圆外一点引直线被圆截得的弦长为定值的问题中,若弦长不等于直径,则必定有两条直线,当设直线的点斜式结合已知条件列方程只求出一个斜率k时,则斜率不存在的直线必定满足题意.变式训练2过点(-4,0)作直线l与圆(x+1)2+(y-2)2=25交于A,B两点,若|AB|=8,求直线l的方程.解

由题知,圆(x+1)2+(y-2)2=25的圆心坐标是(-1,2),半径r=5.①当直线l的斜率不存在时,直线x=-4满足题意;②当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x+4),即kx-y+4k=0.探究点三圆的切线方程的求法【例3】

已知圆O:x2+y2=1,过点P(2,1)作圆的切线,求切线方程.分析

结合所给点与圆的位置关系,利用直线与圆相切时切线的几何性质,求出切线的斜率写出切线方程.故所求切线l的方程为y=1或4x-3y-5=0.变式探究1本题中,过点P(2,1)作圆O:x2+y2=1的切线,切点为Q,求|PQ|的长.变式探究2直线x-y+4=0上的一点向圆O:x2+y2=1引切线,求该点到切点距离的最小值.解

圆O:x2+y2=1的圆心坐标为C(0,0),半径为1,由直线上的点P向圆O:x2+y2=1引切线,要使切线长最小,则|PO|最小,此时规律方法

过一点求圆的切线方程的方法

点与圆的位置关系求法备注点(x0,y0)在圆上切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为

,由点斜式可得切线方程过圆上一点作圆的切线只有一条如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程y=y0或x=x0点与圆的位置关系求法备注点(x0,y0)在圆外设切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得k,即可得切线方程由于过圆外一点的圆的切线有两条,当用此法只求出一个方程时,另一个方程应为x=x0,因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况[提醒](1)经过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)经过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(3)经过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上一点P(x0,y0)的切线方程为本节要点归纳1.知识清单:(1)直线与圆的位置关系;(2)直线与圆位置关系的判断方法.2.方法归纳:几何法、代数法判断直线与圆的位置关系,两点间的距离公式或圆的几何性质求弦长、求圆的切线方程.3.注意事项:几何法、代数法判断直线与圆的位置关系相比较而言,几何法较代数法要简单;求解过一点与圆相交的相交弦长一定问题,设直线方程时不要忽视直线的斜率不存在的情况.过一点求圆的切线问题,首先判断点与圆的位置关系后,最好用几何法而不用代数法求解;过圆外一点引圆的切线有两条,若是利用点斜式设切线方程,求出一个斜率的值,则斜率不存在时的直线方程一定是圆的切线方程.学以致用·随堂检测全达标1234561.直线x-y+3=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长等于(

)D1234562.已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则(

)A.直线l与C相交B.直线l与C相切C.直线l与C相离D.以上三个选项均有可能A解析

将点P(3,0)的坐标代入圆的方程,得32+02-4×3=9-12=-3<0,∴点P(3,0)在圆内,∴过点P的直线l必与圆C相交.故选A.1234563.若过点P(4,5)且与圆(x-1)2+(y-1)2=r2(r>0)相切的直线只有一条,则r的值是

.

5解析

依题意,点P(4,5)在圆(x-1)2+(y-1)2=r2(r>0)上,因此r2=(4-1)2+(5-1)2=25.因为r>0,则r=5.1234564.已知圆(x+1)2+(y-1)2=2-a截直线x+y+2=0所得弦长为4,则实数a的值是

.

-4解析

由题可得,圆心为(-1,1),r2=2-a,则圆心到直线x+y+2=0的距离为

1234565.