新教材2023-2024学年高中数学第4章计数原理培优课两个原理的应用分层作业课件湘教版选择性必修第一册

第4章培优课两个原理的应用123456789101112131415A级必备知识基础练1.某班要从a,b,c,d,e共5个人中选1名班长,1名副班长,但a不能当副班长,不同选法的种数是(

)A.20 B.16

C.10 D.6B解析

分两类进行:第一类,当a当班长时,共有1×4=4种选法;第二类,当a不当班长时,又因为a也不能当副班长,则共有4×3=12种选法.根据分类加法计数原理,共有4+12=16种选法.故选B.1234567891011121314152.现有4种不同的颜色为一行字“严勤活实”涂颜色,要求相邻的两个字涂色不同,则不同的涂色种数为(

)A.27 B.54

C.81 D.108D解析

第一步,给“严”字涂色的方法有4种;第二步,给“勤”字涂色的方法有3种;第三步,给“活”字涂色的方法有3种;第四步,给“实”字涂色的方法有3种.由分步乘法计数原理可知,共有4×3×3×3=108种.故选D.1234567891011121314153.若一个三位数的自然数的各位数字中,有且仅有两个数字一样,我们就把这样的三位数定义为“单重数”,例如232,114等,则不超过200的“单重数”有(

)A.22个

B.24个

C.26个

D.28个D解析

依题意,当两个数字一样同为0时,有100,200,有2个;两个数字一样同为1时,有110,101,112,121,113,131,一直到191,119,共18个;两个数字一样同为2时,有122,有1个;同理,两个数字一样同为3,4,5,6,7,8,9时,各1个.综上,不超过200的“单重数”共有2+18+8=28个.1234567891011121314154.由0,1,2,3,5组成的无重复数字的五位偶数共有(

)A.36个

B.42个

C.48个

D.120个B解析

依题意,无重复数字的五位偶数分两类:第一类,若五位数的个位数是0,则可以组成4×3×2×1=24个无重复数字的五位偶数;第二类,若五位数的个位数是2,由于0不排首位,因此只有1,3,5,有3种选择,中间的三个位置有3×2×1=6种排法,可以组成3×6=18个无重复数字的五位偶数.由分类加法计数原理,可得所有无重复五位偶数的个数为24+18=42.故选B.1234567891011121314155.(多选题)某学校高一年级数学课外活动小组中有男生7人,女生3人,则下列说法正确的是(

)A.从中选2人,1人做正组长,1人做副组长,共有100种不同的选法B.从中选2人参加数学竞赛,其中男、女生各1人,共有21种不同的选法C.从中选1人参加数学竞赛,共有10种不同的选法D.若报名参加学校的足球队、羽毛球队,每人限报其中的1个队,共有100种不同的报名方法BC123456789101112131415解析

对于A,选1人做正组长,1人做副组长需要分两步:第一步,先选正组长有10种选法;第二步,再选副组长有9种选法.根据分步乘法计数原理,共有10×9=90种不同的选法,故A错误;对于B,从中选2人参加数学竞赛,其中男、女生各1人,则共有7×3=21种不同的选法,故B正确;对于C,选1人参加数学竞赛,既可以选男生,也可以选女生,则共有7+3=10种不同的选法,故C正确;对于D,每人报名都有2种选择,共有10人,则共有210=1

024种不同的报名方法,故D错误.故选BC.1234567891011121314156.如图所示的几何体是由一个三棱锥P-ABC

与三棱柱ABC-A1B1C1组合而成的,现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的涂色方案共有

种.

12解析

先涂三棱锥P-ABC的三个侧面,再涂三棱柱的三个侧面,由分步乘法计数原理,共有3×2×1×2=12种不同的涂法.1234567891011121314157.将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色.如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?123456789101112131415解

分两类进行:第一类,第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上,有5种不同的涂法;当第2个、第3个小方格涂不同颜色时,有4×3=12种不同的涂法;第4个小方格有3种不同的涂法.由分步乘法计数原理,可知有5×12×3=180种不同的涂法;第二类,第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上,有5种不同的涂法;当第2个、第3个小方格涂相同颜色时,有4种涂法;由于相邻两格不同色,第4个小方格也有4种不同的涂法.由分步乘法计数原理可知有5×4×4=80种不同的涂法.由分类加法计数原理可得共有180+80=260种不同的涂法.1234567891011121314158.在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有(

)A.512个 B.192个 C.240个

D.108个B级关键能力提升练D解析

能被5整除的四位数,可分为两类:第一类,个位为0,共有5×4×3=60个没有重复数字,能被5整除的四位数;第二类,个位为5,共有4×4×3=48个没有重复数字,能被5整除的四位数.由分类加法计数原理,共有60+48=108个没有重复数字,能被5整除的四位数.1234567891011121314159.用5种不同颜色给图中A,B,C,D四个区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不同,则不同的涂色方法种数为(

)A.120 B.160

C.180

D.240C123456789101112131415解析

分两类.第一类:若A,C的颜色相同时,第一步,涂A,C区域,有5种方法;第二步,涂B区域,有4种方法;第三步,涂D区域,有3种方法.则共有5×4×3=60种涂法.第二类:若A,C的颜色不同时,第一步,涂A区域,有5种方法;第二步,涂B区域,有4种方法;第三步,涂C区域,有3种方法;第四步,涂D区域,有2种方法.则共有5×4×3×2=120种方法.根据分类加法计数原理,共有60+120=180种方法.12345678910111213141510.如图,给7条线段的5个端点涂色,要求同一条线段的两个端点不能同色,现有4种不同的颜色可供选择,则不同的涂色方法种数为(

)A.24 B.48

C.96

D.120C123456789101112131415解析

第一类,若A,D颜色相同,先涂E有4种涂法,再涂A,D有3种涂法,再涂B有2种涂法,C只有一种涂法,共有4×3×2=24种涂法;第二类,若颜色A,D不同,先涂E有4种涂法,再涂A有3种涂法,再涂D有2种涂法,当B和D相同时,C有2种涂法,当B和D不同时,B,C只有一种涂法,共有4×3×2×(2+1)=72种涂法.根据分类加法计数原理可得,共有24+72=96种涂法.故选C.12345678910111213141511.一个三位数,其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字(735,414等),那么这样的三位数共有(

)A.240个 B.249个 C.285个

D.330个C123456789101112131415解析

∵十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字,∴当十位数字是0时,有9×9=81种结果;当十位数字是1时,有8×8=64种结果;当十位数字是2时,有7×7=49种结果;当十位数字是3时,有6×6=36种结果;当十位数字是4时,有5×5=25种结果;当十位数字是5时,有4×4=16种结果;当十位数字是6时,有3×3=9种结果;当十位数字是7时,有2×2=4种结果;当十位数字是8时,有1种结果.根据分类加法计数原理得,共有81+64+49+36+25+16+9+4+1=285个满足条件的三位数.故选C.12345678910111213141512.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,则不同的安排方法共有

种.

20解析

分三类:第一类,若甲在周一,则乙、丙有4×3=12种排法;第二类,若甲在周二,则乙、丙有3×2=6种排法;第三类,若甲在周三,则乙、丙有2×1=2种排法.根据分类加法计数原理,不同的安排方法共有12+6+2=20种.12345678910111213141513.有一项活动,需在3名教师、8名男学生和5名女学生中选人参加.(1)若只需1名参加,共有多少种选法?(2)若需教师、男学生、女学生各1名参加,共有多少种选法?解

(1)只要选出1名就可以完成这件事,而选出的1名有3种不同类型,即教师、男学生或女学生,因此要分3类相加:第1类,选出的是教师,有3种选法;第2类,选出的是男学生,有8种选法;第3类,选出的是女学生,有5种选法.根据分类加法计数原理,共有N=3+8+5=16种选法.(2)完成这件事,需要分别选出1名教师、1名男学生和1名女学生,可以先选教师,再选男学生,最后选女学生,因此要分3步相乘:第1步,选1名教师,有3种选法;第2步,选1名男学生,有8种选法;第3步,选1名女学生,有5种选法.根据分步乘法计数原理,共有N=3×8×5=120种选法.12345678910111213141514.如图所示的A,B,C,D按照下列要求涂色.(1)用3种不同颜色填涂图中A,B,C,D四个区域,且使相邻区域不同色,若按从左到右依次涂色,有多少种不同的涂色方案?(2)若有3种不同颜色,恰好用2种不同颜色涂完四个区域,且相邻区域不同色,共有多少种不同的涂色方案?解

(1)先涂A区域,有3种涂法,B,C,D区域各有2种不同的涂法,由分步乘法计数原理知,共有3×2×2×2=24种不同的涂色方案.123456789101112131415(2)若恰好用2种不同颜色涂四个区域,则A,C区域必同色,且B,D区域必同色.分两步进行:第一步,从3种不同颜色中任取2种颜色,共有3种不同的取法;第二步,用所取的2种颜色涂四个区域,