1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定+课件-【知识精讲+备课精研】高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.5.2全称量词命题与存在量

词命题的否定第

1

章集合与常用逻辑用语人教A版2019必修第一册数学A01全称量词命题的否定02存在量词命题的否定

03全称量词命题与存在

量词命题的综合应用目录学

习

目

标1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.新课导入一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，

这

一新命题称为原命题的否定。举

例(1)

56是7的倍数；

否定：

56不是7的倍数；(2)

空集是集合A={1,2,3}的真子集；否定：

空集不是集合A={1,2,3}的真子集；本节课我们来学习关于命题的否定1.全称量词命题的否定问题1

写出下列命题的否定：(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)Vx

∈R,x+|x|≥0.它们与原命题在形式上有什么变化?提示

上面三个命题都是全称量词命题，即具有“

√x∈M,p(x)”

的形式.其中命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”,也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”,也就是说，存在一个素数不是奇数；命题(3)的否定是“并非所有的x

∈R,

x+

|x

|

≥0”,

也就是说，3x

∈R,x+|x|<0.从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.原词语否定词语原词语否定词语是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有(n-1)个小于不小于至多有n个至少有(n+1)个任意的某个能不能所有的某些等于不等于常见词语的否定形式注意点：总结起来八个字“改变量词，否定结论”,从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定.一个命题和它的否定

不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假.典例1写出下列全称命题的否定：1)p:

所有能被3整除的整数都是奇数；2)p:

每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；(3)p:

对任意x∈Z,x²

的个位数字不等于3。解：1一p:

存在一个能被3整除的整数不是奇数.2)—P:

存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.3)-p:3x∈Z,x²。

的个位数字等于3.练

一练

写出下列命题的否定：(1)Vn

∈Z,n

∈Q;3n

∈Z,n#Q.(2)任意奇数的平方还是奇数；存在一个奇数的平方不是奇数.(3)每个平行四边形都是中心对称图形.存在一个平行四边形不是中心对称图形.2.存在量词命题的否定问题2

写出下列命题的否定：(1)存在一个实数的绝对值是正数；(2)有些平行四边形是菱形；(3)3x∈R,x²-2x+3=0.它们与原命题在形式上有什么变化?提示

这三个命题都是存在量词命题，即具有“3x

∈M,p

(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”,也就是说，所有实数的绝对值都不是正数；命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,也就是说，每一个平行四边形都不是菱形；命题(3)的否定是“不存在x∈R,x²-2x+3=0”,

也就是说，

Vx

∈R,x²-2x+3≠0.从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.注意点：总结起来八个字“改变量词，否定结论”,从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定.典例2

写出下列存在量词命题的否定：1)p:3x

∈R,x+2≤0;2)p:

有的三角形是等边三角形；3)P:

有一个偶数是素数.解：1)该命题否定：Vx∈R,x+2>0.2)该命题的否定：所有三角形都不是等边三角形3)

该命题的否定：任意一个偶数都不是素数练一练

写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假.(1)有的素数是偶数；命题的否定：所有的素数都不是偶数.由于2是素数也是偶数，因此命题的否定为假命题.(2)3a,b∈

R,a²+b²≤0.命题的否定：

Va,b∈R,a²+b²>0.∵当a=b=0

时

，a²+b²=0,∴命题的否定是假命题.典例3

写出下列命题的否定，并判断真假；(1)任意两个等边三角形都相似；(2)

3x

∈R,x²-x+1=0解：

(1)

该命题的否定：存在两个对边三角形，它们不相似。因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似。因此这是一个假命题。(2)该命题的否定：Vx∈R,x²-x+1≠0.

因为对任意

所以这是一个假命题。3.全称量词命题与存在

量词命题的综合应用典例4命题“存在x>1,

使得2x+a<3”

是假命题，求实数a的取值范围.命题“存在x>1,

使得2x+a<3”

是假命题，所以此命题的否定“任意x>1,

使得2x+a≥3”是真命题，因为对任意x>1,

都有2x+a>2+a,所以2+a≥3,所以a≥1.延伸探究

若把本例中的“假命题”改为“真命题”,求实数a的取值范围.由题意知"存在x>1,

使得

是真命题，故有

,所以a<1.求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题

“Vx∈M,a>y

(

或a<y)”为真的问题实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大

值(或最小值),即a>ymax(

或a<ymm).(2)对于存在量词命题“3x∈M,a>y

(或a<y)”为真的问题实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小

值(或最大值),即a>ymm(或a<ymax).课堂基础练习1.

下列说法中，正确的个数是(

)①存在一个实数xo,

使

-

2x6+xo-4=0;②所有的素数都是奇数；③至少存在一个正整数，能被5和7整除.A.

0

B.1C.

2

D.

3【答案】

B2.

设命题p:3n∈N,n²>2",

则命题p

的否定为(

)A.√n

∈N,n²>2"

B.

ヨn

∈N,n²≤2"C.√n

∈N,n²≤2"

D.3n

∈N,n²=2"【解析】

因为“日x∈M,p(x)”

的否定是

“Vx∈M,-p(x)”,

所以命题“3n∈N,n²>2”"

的否定是“

√n∈N,n²≤2”",

故选C.【答案】

C3.

判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定.(1)有一个奇数不能被3整除；(2)Vx∈Z,x²

与3的和不等于0;(3)有些三角形的三个内角都为60°;(4)每个三角形至少有两个锐角；(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.【解】

(1)是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被3整除

.(2)是全称量词命题，否定为：3xo∈Z,x6

与3的和等于0.(3)是存在量词命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60°.(4)是全称量词命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角.(5)是全称量词命题，省略了全称量词“任意”,即“任意一条与圆只有个公共点的直线是圆的切线”,否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线.4.

已知命题“3x

∈R

,x²+2x+a-2<0”

为假命题的充要条件是A.a<3

B.a≤3C.a>3

Da≥3因为命题“3x∈R,x²+2x+a-2<0”

为假命题，所以命题的否定

“Vx∈R,x²+2x+a-2≥0”

为真命题，即x²+2x+a-2≥0

恒成立的充要条件⇔△=2²-4(a-2)≤0=a

≥3.1

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165.

(多选)关于命题p:“Vx∈

R,x²+1≠0”

的叙述，正确的是A.绨p:3x

∈

R,x²+1=0B.締p:

√x∈R,x²+1=0Cp

是真命题，绨p是假命题D.p是假命题，绨p是真命题命题p:“Vx∈R,x²+1≠0”

的否定是“3x∈R,x²+1=0”所以p是真命题，绨p是假命题.1

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1656.

(多选)对下列命题的否定说法正确的是Ap:

能被2整除的数是偶数；p

的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数Bp

:

有些矩形是正方形；

p

的否定：所有的矩形都不是正方形C.p:

有的三角形为正三角形；

p的否定：所有的三角形不都是正三角形Dp

:Vn∈N,2n≤100;p

的否定：3n

∈N,2n>100“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”,故选项C错误.1

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166课堂提升练习1.下列命题的否定是真命题的为Ap₁

:

每一个合数都是偶数B.P₂

:两条平行线被第三条直线所截内错角相等C.P₃

:全等三角形的周长相等D.p₄

:所有的无理数都是实数1

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S

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162.

(多选)下列命题的否定是假命题的是A.等圆的面积相等，周长相等B.Vx

∈N,x²≥1C.

任意两个等边三角形都是相似的D.

有些梯形的对角线相等1

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G

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163.已知命题p:3x>0,x+a-1=0A.a>1

B.a≥1

C.a<1因为命题p:3x>0,x+a-1=0所以绨p:Vx>0,x+a-1≠0

即x≠1-a,所以1-a≤0,

即a≥1.所以a的取值范围为a≥1.1

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5为假命题，则实数a的取值范围是D.a≤1为假命题，是真命题，9

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12141516命题p的否定为：“任意0≤x₁

≤3,

存在-m≤x≤2

,

使

得x₁

₂

”为真命题，等价于(x)min≥(x₂)min

,所以4.已知命题p:

“存在0≤x₁

≤3,

对任意则实数m的取值范围是

使

得

<x₂

”

为假，1

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16,5.命题“

√x

∈R,3n∈N*,

使得n≥2x+1”

的否定形式是A.Vx∈R,3n∈N*,

使得n<2x+1B.Vx∈R,Vn∈N*,

使得n<2x+1C.3x∈R,3n∈N*,

使得n<2x+1D白x

∈R,Vn

∈N*,

使得n<2x+1由题意可知，全称量词命题

“Vx∈R,3n∈N*,

使得n≥2x+1

”

的否定形式为存在量词命题“3x∈R,Vn∈N*,