理学概率论与数理统计第五节

一、均匀分布区间[a,b]上的均匀分布，记做X～U[a,b].

若，则称X

服从容易验证f(x)满足密度函数的两条性质：（正定性）（归一性）均匀分布的分布函数:均匀分布的期望和方差:

即X在[a,b]内任何子区间上取值的概率与子区间的长度成正比，而与子区间所处的位置无关.均匀分布的特点：均匀分布的应用场合:如果试验是向某区间掷一个质点，X表示质点的坐标，则X服从均匀分布。具体如：乘客等车时间；在数值计算中，由于四舍五入所引起的误差。xf(x)abxF(x)ba不连续连续例1设随机变量X服从区间(1,6)上的均匀分布，求一元二次方程有实根的概率.解方程有实根.当时,所求概率为二、指数分布若X

的密度函数为则称X

服从

参数为

的指数分布，记作

，

>0为常数，（正定性）（归一性）容易验证f(x)满足密度函数的两条性质：当时当时指数分布的分布函数1xF(x)0xf(x)0不连续连续指数分布的期望和方差:若则指数分布的应用场合如“随机服务系统中的服务时间”；“无线电元件的寿命”；指数分布还常作为各种“寿命”分布的近似：“动物的寿命”等。例2某元件的使用寿命X服从指数分布,其平均使用寿命为1000小时,求该元件使用1000小时没有坏的概率.解:EX=1000例3

上题中若发现该元件使用了500小时没有损坏,求它还可以继续使用1000小时的概率.解条件概率例2某元件的使用寿命X服从指数分布,其平均使用寿命为1000小时,求该元件使用1000小时没有坏的概率.解:EX=1000所以，指数分布被称为“永远年轻”的分布。

即元件以前曾经无故障使用的时间，不影响它以后的使用寿命。

这种性质称为指数分布的“无记忆性”（无后效性）。三、正态分布

正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。德莫佛最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面。正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布。德莫佛高斯若其中为常数且，则称X服从参数为

,2的正态分布，记作X~N(,2).1.正态分布的定义可以证明证明：作变量代换左边

泊松积分显然（正定性）（归一性）验证f(x)满足密度函数的两条性质：2.正态分布的期望和方差可以证明证明：作变量代换左边显然（正定性）（归一性）验证f(x)满足密度函数的两条性质：2.正态分布的期望和方差3.正态分布的分布函数无法直接求出一般不用4.标准正态分布显然,标准正态分布的期望与方差为:

当时,正态分布称为标准正态分布.其分布函数记为:其密度函数记为：1.可导性２.奇偶性４.凹凸性５.渐近性３.单调性φ(x)的性质：1.可导性：

φ(x)具有各阶导数；2.奇偶性：

φ(x)为偶函数，其图形关于y轴对称，即3.单调性：φ(x)在内单调递增，在内单调递减，在x=0处取得最大值4.凹凸性：

φ(x)在和内凹，在内凸，为其两拐点；5.渐近性：为其水平渐近线，即标准正态分布的计算356页表3提供了标准正态分布的密度函数值表例4设求解(1)密度函数值的计算358页表4提供了标准正态分布的分布函数值表当时，(2)分布函数值的计算358页表4提供了标准正态分布的分布函数值表(2)分布函数值的计算当时，358页表4提供了标准正态分布的分布函数值表(2)分布函数值的计算①②③例5

设计算：解4.一般正态分布和标准正态分布的关系设、分别为一般正态分布和标准正态分布的密度函数；、分别为一般正态分布和标准正态分布的分布函数。则有密度函数标准化分布函数标准化随机变量标准化(1)密度函数标准化(2)作变量代换分布函数标准化(3)X~N(

,

2)的分布函数为随机变量标准化

上述三式分别称为将一般正态分布的密度函数标准化、分布函数标准化和随机变量标准化。在一般正态分布的计算中，可利用它们，然后查表解决问题。例6

设X~N(1,4),求P(0

X1.6)解分布函数标准化或:随机变量标准化例7设随机变量X服从正态分布已知求和解:0.036<0.5,即，不能从表中查到。时时时三种情况对应的面积可再做详细点例7设随机变量X服从正态分布已知求和解:0.036<0.5,即，不能从表中查到。P(X≤5.9)=0.758

联立例8设,分别求X取值于以下区间的概率：解随机变量标准化例8设,分别求X取值于以下区间的概率：解

此例说明，服从正态分布的随机变量在区间之外取值的可能性是很小的，这一性质称为规则，常用于质量管理中。正态分布的应用场合可用正态变量描述的实例非常之多：各种测量的误差；工厂产品的