5.1.2导数的概念及其几何意义（第1课时）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

人教A版（2019）高中数学选择性必修二5.1.2导数的概念及其几何意义

第一课时课程标准1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬间变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬间变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直接理解导数的几何意义。一二三学习目标据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程.培养学生数学抽象及直观想象的核心素养，提升数学运算核心素养.学习目标新课导入一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率.

这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式.下面我们用上述思想方法研究更一般的问题.前面我们研究了两类变化率问题：无限逼近无限逼近新知探究一：导数的概念1.平均变化率

对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋∆x).这时，x的变化量为∆x，y的变化量为

∆y＝f(x0＋∆x)－f(x0).我们把比值

，即叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋∆x的平均变化率.

4.函数的平均变化率为0，并不一定说明函数f(x)没有变化新知探究一：导数的概念2.瞬时变化率

3.导数的概念新知探究一：导数的概念导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.如果当无限趋近于0时，平均变化率

无限趋近于一个确定的值，即

有极限，则称_________________________，并把这个确定的值叫做______________________(也称为__________),记作_

___或____

__.用极限符号表示这个定义，

就是_

_________________________________

y＝

f(x)在x

＝

x0处可导瞬时变化率

y＝f(x)在x＝x0处的导数新知解析说明1.f′(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同；2.

f′(x0)与∆x的具体取值无关；3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称；问题

根据导数的定义，你能用导数来重述跳水运动员速度问题和抛物线切线问题的结论吗？由导数的定义可知问题1中运动员在t=1时的瞬时速度为v(1)就是函数h(t)在t=1处的导数h′(1)，即问题2中抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率k0就是函数f(x)＝x2在x＝1处的导数f′(1)，即新知解析导数的作用：导数可以描绘任何事物的瞬时变化率问题

根据导数的定义，你能归纳出求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤吗？新知解析一差、二比、三极限典例分析例1设

，求解：1.设函数

f(x)在x＝x0处可导，若，则f′(x0)=()A.1B.-1C.D.C2.设函数

f(x)在x＝x0处可导，若

()A.f′(x0)B.2f′(x0)C.-2f′(x0)D.0B跟踪练习典例分析例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第

xh时，原油的温度（单位：℃）为

计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.解：在第2h和6h时，原油温度的瞬时变化率就是f′(2)和

f′(6).

所以典例分析追问：

和

在这个实际问题中的意义是什么？

表示在第2h时，原油温度的瞬时变化率为－3℃/h.这说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降.导数(瞬时变化率)为负，体现了下降的变化趋势.

表示在第6h时，原油温度的瞬时变化率为5℃/h，这说明在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速率上升.导数(瞬时变化率)为正，体现了上升的变化趋势.1.在例2中，计算第3h与第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.解：在第3

h附近，原油温度大约以1

℃/h的速率下降；在第5

h附近，原油温度大约以3

℃/h的速率上升.课本P66巩固练习典例分析例3一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度(单位:m/s)为

y＝v(t)＝-t2＋6t＋60，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.追问1：速度与瞬时加速度的关系是什么？瞬时加速度就是速度的瞬时变化率.解：在第2s和第6s时，汽车的瞬时加速度就是

和所以因为同理，追问2：和在这个实际问题中的意义是什么？

在本题中

是t0时刻汽车的瞬时加速度，反映了速度在t0时刻附近的变化情况.

表示在第2s时，汽车的瞬时加速度是2m/s2，这说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s.导数(瞬时变化率)为正，体现了增加的变化趋势.

表示在第6s时，汽车的瞬时加速度是－6m/s2，这说明在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少6m/s.导数(瞬时变化率)为负，体现了减少的变化趋势.瞬时速度是位移的瞬时变化率，瞬时加速度是速度的瞬时变化率.典例分析课本P66巩固练习3.一质点A沿直线运动，位移y(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为y(t)=2t2+1，求质点A在t=2.7s时的瞬时速度.因此质点A在t=2.7s时的瞬时速度为10.8