2021年中考10 分式方程及其应用（解析版）(一)

专题10分式方程及其应用

专题知识点概述

1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

2.解分式方程的一样方式:解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。

（1）去分母（方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程）；

（2）按解整式方程的步骤求出未知数的值；

（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，原分式方程无解；若不等于零,

就是原方程的根。

例题解析与对点练习

【例题0（2021•哈尔滨）方程捻=£的解为（）

A.x=-1B.x=5C.x=lD.x=9

【答案解析】D

【考点解析】根据解分式方程的步骤解答即可.

【试题解答】方程的两边同乘（广5）（x-2）得：

2(x-2)=x-5,

解得x=9,

经检验，x=9是原方程的解.

【对点练习】(2021•黑龙江哈尔滨)方程，_=且的解为(

3x-lx

【答案解析】C

【试题解答】将分式方程化为，2x=3'3X-,即可求解了=苴；同时要进行验根即可求解。

x(3x-l)x(3x-l)7

2_3,

3x-lx'

2x二3(3x-l),

x(3x-l)x(3x-l)

，2x=9x-3,

・.・x_=3—；

7

将检验x=2是方程的根，

7

二方程的解为*=上

【点拨】本题考查解分式方程；谙练掌握分式方程的解法及验根是解题的关键.

【例题2】(2021•齐齐哈尔)若关于x的分式方程m9+5的解为正数，则m的取值范畴为

X-22-X

()

A.m<-10B.mW-10

C.勿》-10且赭-6D.m>-10且nrA-6

【答案解析】D

【考点解析】分式方程去分母化为整式方程，示意出方程的解，由分式方程的解为正数求出卬的范

畴即可.

【试题解答】去分母得：3x=-M5(x-2),

由方程的解为正数，得到加10>0,且加10X4,

则m的范畴为m>-10且mW-6,

【对点练习】(2021•江苏宿迁)关于x的分式方程」包2=1的解为正数，则a的取值范畴

x-22-x

是—.

【答案解析】a<5且aW3.

【试题解答】去分母得：l-a+2=x-2,

解得：x=5-a,

5-a>0,

解得：a<5,

当x—5-a—2时，a=3不合题意，

故a<5且3^3.

【点拨】直接解分式方程，进而操纵分式方程的解是正数得出a的取值范畴，进而联合分式方程有

意义的前提解析得出答案.

【例题3】（2021•长沙）随着5G网络技术的发展，市场对5G产物的需求越来越大，为满足市场需

求，某大型5G产物制作厂家更新技术后，加快了制作速度，此刻平均天天比更新技术前多制作30万

件产物，此刻制作500万件产物所需时间与更新技术前制作400万件产物所需时间一样.设更新技术前

天天制作x万件产物，依题意得（）

-4-0-0=-5-0-0400_500

x-30xXX4-30

400_500400_500

xx-30x+30x

【答案解析】B

【考点解析】设更新技术前天天制作尤万件产物，则更新技术后天天制作（x+30）万件产物，根据工作

时间=工作总量+工作效率联合此刻制作500万件产物所需时间与更新技术前制作400万件产物所需时间

•样，即可得出关于x的分式方程，此题得解.

【试题解答】设更新技术前天天制作x万件产物，则更新技术后天天制作（x+30）万件产物,

依题意，得：，瑞

【对点练习】（2021吉林长春）为建国70周年献礼，某灯具厂筹划加工9000套彩灯，为尽快完成任

务，现实天天加工彩灯的数量是原筹划的1.2倍，成果提前5天完成任务。求该灯具厂原筹划天天

加工这种彩灯的数量.

【答案解析】300套.

【试题解答】该灯具厂原筹划天天加工这种彩灯的数量为x套，则现实天天加工彩灯的数量为L2x套,

90009000u

由题意得：---------------=5

x1.2尤

解得：户300,

经检验，产300是原方程的解，且吻合题意。

【点拨】如许思量懂得容易一些：原筹划m天完成，有mx=9000,现实（m-5）天完成，有（m-5）

2x=9000.

【例题4】（2021贵州黔西南）“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜爱骑自行车出

行，也给自行车商家带来商机.某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元.今年该型自行车

每辆售价预计比去年降低200元.若该型车的销售数量与去年一样，那么今年的销售总额将比去年削

减10%,求：

（1）A型自行车去年每辆售价几元;

（2）该车行今年筹划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量

的两倍.已知，A型车和B型车的进货价钱分别为1500元和1800元，筹划B型车销售价钱为2400

元，应若何组织进货才能使这批自行车销售获利最多.

【答案解析】（1）2000元；（2）A型车20辆，B型车40辆.

【试题解答】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x-200）元，由卖出的数量一

样列出方程求解即可；

（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60-a）辆，获利y元,由前提示意出y与a之间的关系

式，由a的取值范畴就可以求出y的最大值.

【详解】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x-200）元，由题意，得

8000080000（1-10%）

x一X—200

解得：x=2000.

经检验，x=2000是原方程的根.

答：去年A型车每辆售价为2000元；

（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60-a）辆，获利y元,由题意，得

y=a+（60-a）,

y=-300a+36000.

♦.•B型车进货数量不超过A型车数量的两倍，

...60-aW2a,

/.a>20.

Vy=-300a+36000.

.♦.k=-300<0,

•••y随a的增大而减小.

/.a=20时，y展大=30000元.

.•.B型车的数量为：60-20=40辆.

当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大.

【点拨】本题考查分式方程的应用；一元一次不等式的应用.

【对点练习】（2021•广东）某社区拟建48两类摊位以搞活“地摊经济”，每个4类摊位的占地面积

比每个6类摊位的占地面积多2平方米.建1类摊位每平方米的费用为40元，建6类摊位每平方米的

费用为30元.用60平方米建4类摊位的个数恰好是用同样面积建8类摊位个数的|.

（1）求每个46类摊位占地面积各为几平方米？

（2）该社区拟建48两类摊位共90个，且8类摊位的数量不少于4类摊位数量的3倍.求建造这

90个摊位的最大费用.

【答案解析】见解析。

【考点解析】（1）设每个6类摊位的占地面积为x平方米，则每个月类摊位占地面积为（户2）平方

米，根据用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建8类摊位个数的|这个等量关系列出方程

即可.

（2）设建1摊位a个，则建6摊位（90-a）个，联合“6类摊位的数量不少于4类摊位数量的3

倍”列出不等式并解答.

【试题解答】（1）设每个6类摊位的占地面积为“平方米，则每个/类摊位占地面积为（户2）平方

米，

根据题意得：弋=空.|,

x+2x5

解得：x=3,

经检验x=3是原方程的解，

所以3+2=5,

答：每个力类摊位占地面积为5平方米，每个6类摊位的占地面积为3平方米；

（2）设建/摊位a个，则建8摊位（90-a）个，

由题意得：90-a》3a,

解得aW22.5,

•••建4类摊位每平方米的费用为40元，建6类摊位每平方米的费用为30元，

二要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造/类摊位，即a取最大值22时，费用最大，

此时最大费用为：22X40X5+30X（90-22）X3=10520,

答：建造这90个摊位的最大费用是10520元.

一、挑选题

1.（2021•黑龙江）已知关于x的分式方程2-4=二的解为正数，则〃的取值范畴是（）

X—22—X

A.-8<A<0B.4>-8且“云-2C.〃>-8且D.4<4且AW-2

【答案解析】B

【考点解析】示意出分式方程的解，根据解为正数确定出〃的范畴即可.

【试题解答】分式方程三；一4=白，

x—z,z—X

去分母得：%-4（%-2）=-〃，

去括号得：X-4A+8=-A,

解得：户等

由分式方程的解为正数，得到学>0,且一H2,

解得：在>-8且-2.

2.（2021•泸州）已知关于x的分式方程三+2=-2的解为非负数，则正整数m的所有个数为

A.3B.4C.5D.6

【答案解析】B

【考点解析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解

不等式，可得答案.

【试题解答】去分母，得：研2（A-1）=3,

移项、合并，得：户等，

•••分式方程的解为非负数，

.,.5-勿20且471,

2

解得：rW5且肾3,

・・・正整数解有1,2,4,5共4个.

3.（2021•成都）已知x=2是分式方程4+片=1的解，那么实数力的值为（）

XX-1

A.3B.4C.5D.6

【答案解析】B

【考点解析】把x=2代入分式方程计算即可求出A的值.

【试题解答】把*=2代入分式方程得：^-1=1,

解得：k=4.

4.（2021•广东省广州市）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用

的时间与乙做150个所用的时间相等,设甲每小时做x个零件，下列方程对的是（)

A120-150120_150

A.，-

XX-8x+8x

C120150120_150

'x-8xxx+8

【答案解析】

【试题解答】设甲每小时做x个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得出

方程解答即可.

设甲每小时做x个零件，可得：120=150

xx+8

5.（2021黑龙东地区）已知关于”的分式方程立二三=1的解是非正数，则加的取值范畴是（）

x-3

A.后3B.m<3C.卬>一3D.一3

【答案解析】A

【试题解答】常识点是分式方程的增根。

由红二二=1得x=m-3,

x-3

•.•方程的解是非正数,

当x-3=0即x=3时，3=m-3,m=6,

Vm=6不在mW3内，・・.inW3.故选A.

6.(2021山东淄博)解分式方程上豆=」--2时，去分母变形对的是()

x-22-x

A.-l+x=-1-2(x-2)B.l-x=l-2(x-2)

C.-l+x=l+2(2-x)D.1-x=-1-2(x-2)

【答案解析】D

【试题解答】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到成果.

去分母得：1-x=-1-2(x-2)

7.(2021•广西贵港)若分式二支的值等于0,则x的值为()

x+1

A.±1B.0C.-ID.1

【答案解析】D

2

【试题解答】化简分式工_zL=(x+LHx-l)=x-1=0即可求解。

x+1x+1

J-1（x+1）（x-1）]=0,

x+1x+1

x=1;

经检验：X=1是原分式方程的解。

8.（2021•湖北十堰）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成.现还有6000米的钢轨需要铺设，

为确保年底通车，参加现实施工时天天比原筹划多铺设20米，就能提前15天完成任务.设原筹划天天

铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是（）

A60006000—1RR600060001R

xx+20x+20x

C6000_60002QI）6000_6000

xx-15x-15x

【答案解析】A

【试题解答】考查由现实问题抽象出分式方程，关键是设出未知数以时间为等量关系列出方程.

设原筹划天天铺设钢轨x米，根据参加现实施工时天天比原筹划多铺设20米，就能提前15天完成任务

可列方程.

设原筹划天天铺设钢轨x米，可得：6000J000=

xx+20

9.（2021•山东省济宁市）天下文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自此有了5G

网络.5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网

络快45秒，求这两种网络的峰值速率.设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列

方程是（）

A.驷L-旦2=45B.驷.一旦2=45

x10x10xx

C5000_500f5D500_5000

【答案解析】A

【试题解答】由现实问题抽象出分式方程直接操纵5G网络比4G网络快45秒得出等式进而得出答案.

设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是：

500.500-15

x10x

10.（2021•江苏苏州）小明5元买售价一样的软面笔记本，小丽用24元买售价一样的硬面笔记本

（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到一样数量的

笔记本，设软面笔记本每本售价为x元，根据题意可列出的方程为（）

15241524八1524C1524

AA.—=-------nD.——=-------L.-------=——D.--------=——

xx-3x+3xx-3x

【答案解析】A

【试题解答】考查分式方程的应用，简单题型。找到等量关系为两人买的笔记本数量

,15=24

x元+3

二、填空题

11.（2021•徐州）方程2=白的解为

XX-1-------

【答案解析】x=9.

【考点解析】根据解分式方程的过程进行求解即可.

【试题解答】去分母得：

9(x-1)=8x

9x-9=8x

x=9

检验：把x=9代入x(x-l)WO,

所以x=9是原方程的解.

12.(2021•盐城)分式方程号=0的解为*=.

【答案解析】1

【考点解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分

式方程的解.

【试题解答】分式方程号=0,

去分母得：x-1=0,

解得：x=l,

经检验X=1是分式方程的解.

13.（2021•广元）关于x的分式方程E+2=0的解为正数，则小的取值范畴是

2x-l--------------

【答案解析】mV2且懵0.

【考点解析】起首解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于〃的不等式,

从而求得0的范畴.

【试题解答】去分母得：研4x-2=0,

解得：x=^,

4

•.•关于X的分式方程+2=0的解是正数，

2x-l

>0,

4

0<2,

・.・2x-1#0,

:,赭0,

・・・切的取值范畴是Z2且加W0.

14.（2021•甘肃）分式方程工=工的解为_.

x+1x+2

【答案解析】x=L

2

【试题解答】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得到分

式方程的解.

去分母得：3广6=5/5,

解得：x=L,

2

经检验x=L是分式方程的解.

2

15.（2021•山东省滨州市）方程工二至+1=旦的解是_.

x—22-x

【答案解析】x=\.

【试题解答】本题考查领会分式方程.（1）解分式方程的根基思想是“转化思想”，把分式方程转化

为整式方程求解，（2）解分式方程必然注重要验根.

去分母，得x-3+x-2=-3,

移项、合并，得2x=2,

解得x=l,

检验：当x=l时，X-2W0,

所以，原方程的解为X=1

16.（2021•湖北黄石）分式方程：——-'=1的解为―.

x2-4xx-4

【答案解析】x=-1

【试题解答】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分

式方程的解.

去分母得：4-x—^-\x,即V-3x-4=0,

解得：x=4或x=-1,

经检验x=\是增根，分式方程的解为x=-1

17.（2021四川巴中）若关于x的分式方程上+及=2勿有增根，则R的值为—.

x-22-x

【答案解析】1

【试题解答】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根.所以应先确定增根的大概值，让

最简公分母X-2=0,得到x=2,然后世入化为整式方程的方程算出0的值.

方程两边都乘x-2,得x-2m=2m（x-2）

.••原方程有增根，

.♦•最简公分母*-2=0,

解得x=2,

当x—2时，m—1

故如的值是1

18.（2021•江苏宿迁）关于x的分式方程」-+三2=1的解为正数，则a的取值范畴是_.

x-22-x

【答案解析】a<5且a#3.

【试题解答】直接解分式方程，进而操纵分式方程的解是正数得出a的取值范畴，进而联合分式方

程有意义的前提解析得出答案.

去分母得：1-出2=犬-2,

解得：x=5-a,

5-a>0,

解得：a<5,

当x=5-a=2时，a=3不合题意，

故a<5且a#3.

19.（2021•贵州省安顺市）某生态示范园筹划种植一批蜂糖李，原筹划总产量达36万千克，为了满足

市场需求，现决意改进蜂糖李品种，改进后平均每亩产量是原筹划的L5倍，总产量比原筹划增添了

9万千克，种植亩数削减了20亩，则原筹划和改进后平均每亩产量各几万千克？设原筹划平均亩产量

为x万千克，则改进后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为

36_36+9.20

［答案解析］~L5x

【试题解答】设原筹划平均亩产量为了万千克，则改进后平均每亩产量为L5x万千克，

依题意，得：36-36+9_=20.

x1.5x

故答案为：至-变坦=20.

x1.5x

20.（2021黑龙江绥化）甲乙两辆汽车同时从A地出发，开往相距200km的B地，甲，乙两车的速度之比

是4:5,成果乙车比甲车早30分钟到达B地，则甲车速度为km/h.

【答案解析】80

【试题解答】分式方程的应用。

设甲车速度为4x,乙车速度为5x,根据题意得：

4x5x2

解之，得x=20,.•.甲车速度为4x=80.

三、解答题

21.（2021•湘潭）解分式方程：,+2=9.

x-1X-1

【答案解析】见解析。

【考点解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得到分

式方程的解.

【试题解答】A+2=A

x-1x-1

去分母得，3+2（x-1）=x,

解得，x=-1,

经检验，x=-1是原方程的解.

所以，原方程的解为：x=-L

22.（2021•陕西）解分式方程：--^-=1.

xx-2

【答案解析】见解析。

【考点解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得到分

式方程的解.

【试题解答】方程三—2=1,

XX-2

去分母得：x-4x+4-3x-2x,

解得：h/

经检验户g是分式方程的解.

24.（2021•牡丹江）某商场筹办购进/,8两种书包，每个1种书包比6种书包的进价少20元，用

700元购进4种书包的个数是用450元购进6种书包个数的2倍，4种书包每个标价是90元，8种书

包每个标价是130元.请解答下列问题：

（1）A,6两种书包每个进价各是几元?

（2）若该商场购进6种书包的个数比4种书包的2倍还多5个，且4种书包不少于18个，购进4

8两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？

（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩

余的书包所有售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元.请直接写

出赠送的书包和样品中，6种书包各有几个？

【答案解析】见解析。

【考点解析】（1）设每个/种书包的进价为x元，则每个6种书包的进价为（x+20）元，根据数

量=总价+单价联合用700元购进A种书包的个数是用450元购进8种书包个数的2倍，即可