2021年云南省昆明市“三诊一模”高考数学模拟试卷（理科）（5月份）附答案解析

2021年云南省昆明市“三诊一模”高考数学模拟试卷（理科）（5月份）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.集合4={x|x-2W0},B=N,则4n8=（）

A.{1}B.{1,2}C.{0,1}D.{0,1,2}

2.如果向量优至满足|五|=1,|b|=V2,且a一石），则£和方的夹角大小为（）

A.30°B,45°C.75°D.135°

3.在复平面上，复数容=@.+可i的共钝复数的对应点所在的象限是

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.现有历史、政治、数学、物理、化学共有5本书，从中任取2本，取出的书至少有一本文科书的

概率为（）

A麟C.《D.g

5.设点P为椭圆C：1上一点，居、F2分别是椭圆C的左、右焦点，且APFiF2的重心为点G，

若IP&I：|PBI=3：4,那么AGPa的面积为（）

A.24B.12C.8D.6

6.已知数列{an}为等差数列，S”为{an}的前n项和，且及=层，则的。=（）

A.17B.18C.19D.20

7.已知函数区与冈轴和S所围成的图形的面积为M,N=0，则程序框图输出的5为（）

S

A.1B.2C.0D.0

8.已知三棱锥S-ABC的四个顶点在球。的球面上，SA=SB=SC,△ABC是边长为4的正三角形，

E,F分别是S4,4B的中点，/.CEF=90°,则球。的体积为（）

A.8乃兀B.4V67TC.2V67TD.瓜n

9.函数y=［彳的图象与函数y=2si7urx（-4<xW2）的图象所有交点的横坐标之和为（）

A.-4B.-2C.-8D.-6

10.根据统计资料，我国能源生产自1992年以来发展很快，下面是我国能源生产总量（折合亿吨标准

煤）的几个统计数据：1992年8.6亿吨，5年后的1997年10.4亿吨，10年后的2002年12.9亿吨.有

关专家预测，到2007年我国能源生产总量将达到16.1亿吨，则专家是依据下列哪一类函数作为

数学模型进行预测的()

A.一次函数B.二次函数C.指数函数D.对数函数

11.若F(c,0)是双曲线冬一2=l(a>b>0)的右焦点，过F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐

近线交于4B两点,。为坐标原点，△。48的面积为工贮，则该双曲线的离心率e=()

7

A.|B.|C.：D.|

12.定义在R上的偶函数/'(x)满足f(x+2)=/(x),且当xe[0,1]时，/(x)=x,则函数y=/(x)-

log2|x|的零点个数为()

A.2B.3C.4D.6

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.三

个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如表：

房间4房间B房间C

357n220m228m2

涂料1涂料2涂料3

16元/机218元/巾220元/机2

那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是元.

14.甲、乙两名篮球运动员在几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这几场比赛中得

分的中位数之和为.

15.如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条

绳上的拉力分别是耳，耳,且耳，耳与水平夹角均为45。，|耳|=|另|=

4&N，则物体的重力大小为N.

16.对任意旌噱，函数巽磁满足麴得重=屈虹的评£，设外=|谶喊/-煲吸数

列斯壮；的前15项的和为-究驯I，则真修=_.

幅

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.在△ABC中，角4、B、C的对边分别为a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,

(1)求角B的大小；

(2)若b=V7,a+c=4,求AABC的面积.

18.如图，四棱柱4BCD-4B1GD1中，底面4BCD是矩形，且4。=2CD=2,441=2,右=%

若。为4。的中点，且CD140.

(1)求证：4。1平面4BCD；

(2)线段8c上是否存在一点P,使得二面角D-AiA-P为”若存在，求出BP的长；不存在，说

明理由.

19.噪声污染己经成为影响人们身体健康和生活质M的严重问题，为了了解强度。(单位：分贝)与声

音能量/(单位：以"巾2)之间的关系，将测量得到的声音强度小和声音能量/&=1.2.…,10)数据

作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

10

1010

10

W（/T）2i=l

7，DWi=li=l

1=1一W）（2

一证）2-7）（Di-D）

-万）

1.04xIO-1145.7-11.51.56x10-210.516.88xIO-1】5.1

表中”=皿，讨=看旗1%

(I)根据表中数据，求声音强度。关于声音能量/的回归方程。=a+blgh

(II)当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P共受到两个声源的影响,

这两个声源的声音能量分别是人和与，且:+*=101°•已知点P的声音能量等于声音能量(与与之

*1'2

和.请根据(/)中的回归方程，判断P点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由.

附：对于一组数据(四,％),32,吟)，••・(〃2%)，其回归直线v=a+S4的斜率和截距的最小二

乘估计分别为：B=飞华清黑力a=v-pu.

%=式%—a)

声60

音50•••・

强

4度40『

30

贝

20

10

—0~~10~20~30~40~50/

声音能量，X1o"2mC苏

20.已知函数/'(x)=a/-(a+2)x+bix.

(I)当&=1时，求曲线y=/(x)在点处的切线方程；

(口)当a>0时，若f(x)在区间［l,e］上的最小值为-2,求a的取值范围；

2

(皿)若对任意与，x2>0,x^x2,有地止为〉一？恒成立，求a的取值范围.

xl~~x2

21.如图，设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为广，准线为2,过准线Lt一点M(-1,0)且斜率为k的

直线k交抛物线C于4,B两点，线段的中点为P,直线PF交抛物线C于D,E两点.

(I)求抛物线C的方程及k的取值范围;

(口)是否存在人值，使点P是线段CE的中点？若存在，求出k值，若不存在，请说明理由.

X—cos2a„

tana(a为参数，且a#g+卜兀，k6Z),

{丫―1+taMa2

以坐标原点。为极点，支轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线Q的极坐标方程；

(2)设曲线C2的极坐标方程为p=4,若直线卜y=gx与曲线G交于M,N两点，直线］与曲线C2交于

P，Q两点，P,M在第一象限，求|QM|.

b+c-a।c+a-ba+b-c

23.已知a,b,c为正数，求证:>3.

b

参考答案及解析

1.答案：D

解析：解：：A={x|xW2},B=N,

：.AC\B={0,1,2）.

故选：D.

可以求出集合4,然后进行交集的运算即可.

本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题.

2.答案：B

解析：解：由题意为J.0一石）故3•0—石）=0，即苍2=1=小3

故两向量夹角的余弦值为号=号

故两向量夹角的取值范围是45°

故选:B.

求两向量的夹角需要求出两向量的内积与两向量的模的乘枳，由题意两向量的模已知，故由两向量

的垂直这个条件求出两个向量的内积即可.

本题考点是数量积表示两个向量的夹角，考查利用向量内积公式的变形形式求向量夹角的余弦，并

进而求出两向量的夹角.属于基础公式应用题.

3.答案：B

解析：试题分析：根据题意，由于国=侬+蜥可以变形为

i-1,可知实部为-1,虚部为1，那么可知该复数对应的点在第二象限，故选B.

考点：复数的几何意义

点评：主要是考查了复数的几何意义，属于基础题。

4.答案：C

解析：分析：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式

的合理运用.

历史、政治、数学、物理、化学共有5本书，从中任取两本，基本事件总数有10种，取出的书至少有

一本文科书有7种，根据概率公式计算即可.

解：历史、政治、数学、物理、化学共有5本书，从中任取两本，

基本事件有：（历史，政治），（历史，数学），（历史，物理），（历史，化学），（政治，数学），（政治,

物理），（政治，化学），（数学，物理），（数学，化学），（物理，化学），

共10种,

取出的书至少有一本文科书有7种情况，

•••取出的书至少有一本文科书的概率p=

故选C.

5.答案：C

解析：

本题考查椭圆的性质，三角形重心的性质，考查数形结合的数学思想，考查运算求解能力，属于中

档题.

可得IPF1I+\PF2\=2a=14,|P0|=6,\PF2\=8可求得△P&F?的面积，由4P&F?的重心为点G,

得SAP%FZ=3SAGPA，即可求解.

解：•••点P为椭圆C：式+片=1上一点，

4924

又尸/2=2c=2V49-24=10.

P&F2是直角三角形，

SAP&FZ=5xP0,P「2=24,

•••△P&Fz的重心为点G.

SAPF1f'2=3s4GPF*，

.•.△GP&的面积为8,

故选：C

6.答案：C

解析：解：在等差数列｛册｝中，由%=712,得:

Qi=Si=1.

当nN2时,

22

an=Sn-Sn_i=n-(n-l)=2n-1,

n=1适合上式，

二数列｛0｝的通项公式为an=2n-1.

故的0=2x10-1=19.

故选：C.

由等差数列的前n项和求出其通项，则a1。可求.

本题考查了由数列的和求其通项，考查了等差数列的通项公式，关键是分类，是基础题.

7.答案：C

解析：试题分析：N=国，0区，0囚，所以因，又框图的功能是求0中的较

小值，故输出的值为区1.

考点：正切的二倍角公式，定积分，算法框图.

8.答案:A

解析：解：因为S4=SB=SC,A4BC是边长为4的正三角形，E,F分别是S44B的中点，“EF=90°,

取AC的中点M,连接BM,SM,则可得AC1SM,ACIBM,而SMn

BM=M,

所以AC_L面BMS,所以ACIBS,

又BS1CE,CEdAC=C,所以BS1面ACS,

可得BS-LAS,BS1CS,

将此三棱锥放在正方体中，可得正方体的面的对角线为4,所以正方体

的棱长为2VL

所以起外接球的直径2R=2V2-V3=2V6,

所以外接球的半径R=遍,

所以外接球的体积V=［兀&=9口6巫=8V6TT,

故选：A.

由题意先证明此正三棱锥为侧棱两两相互垂直，将此三棱锥放在正方体中，可得正方体的棱长为2vL

进而求出正方体的对角线的长度即是三棱锥的外接球的直径，进而求出外接球的体积.

本题考查三棱锥的棱长与外接球的关系，及三棱锥放在正方体中的性质，属于中档题.

9答案:A

解析：

本题主要考查了两个函数交点横坐标求和的计算问题，利用数形结合是解题的关键，属于中档题.

分别作出两个函数的图象，根据图象的对称性求得所有交点横坐标的和.

解：作出函数y=与函数y=2sirurx(-4WxW2)的图象，如图所示,

则函数y=的图象关于点(一1，°)对称，

同时点(一1,0)也是函数y=2sinnx(-4<x<2)的对称点，

由图象可知，两个函数在［-4,2］上共有4个交点，且两两关于点(-1,0)对称；

.­.4个交点的横坐标之和为2x(-2)=-4.

故选：A.

10.答案:B

解析：解：三组数据(1992,8.6),(1997,10.4),(2002,12.9)变换为数据(0,8.6),(5,10.4),(10,12.9),

满足函数旷=ax?+以+c,代入三点得，

c=8.6

25a+5b+8.6=10.4,

.100a+10b+8.6=12.9

解得a=0.014,b=0.29,c=8.6,

所以函数解析式为y=0.014x2+0.29x+8.6；

把x=15代入函数解析式y=0.014x2+0.29%+8.6=16.1；

故选：B.

这是一个数据拟合问题，为了方便，可以把已知的三组数据(1992,8.6),(1997,10.4),(2002,12.9)变

换为数据(0,8.6),(5,10.4),(10,12.9),用图象或代数方法易见不适合用一次函数(直线)，试用二次

函数解答即可.

此题抓住数据的特点，建立二次函数模型，运用待定系数法求得解析式，并利用解析式进一步解答

实际问题.

11.答案：C

解析：

本题主要考查双曲线的儿何性质，结合着较大的运算量，属于中档题.

求出双曲线的渐近线方程，设两条渐近线的夹角为。，由两直线的夹角公式，可得tan。=tan/40B,

求出F到渐近线y=的距离为b,即有|OB|=a,△OAB的面积可以表示为：•a•atcmO,结合条件

可得a,b的关系，再由离心率公式即可计算得到.

解：双曲线三一】=1的渐近线方程为丫=±-,

a2b2a

设两条渐近线的夹角为0,

则tan。=tanZTlOB=。%,

i+„)Q2_》2

设FB1OB,贝产到渐近线y=京的距离为d=溪*=b,

即有|。8|=y/c2—b2=a，

则4CL4B的面积可以表示为'a.atanS=聋=—,

2a2-b27

解得2=

a4

则e=£=居==±

aya2ya24

故选c.

12.答案：A

解析：解：•.・偶函数/(%)满足/(%+2)=/(%),故函数的周期为2.

当％E［0,1］时，f(x)=x,故当1,0］时，f(x)=-x.

函数y=/(%)一logzIM的零点的个数等于函数y=/(%)的图象与函数y=logzWI的图象的交点个数•

在同一个坐标系中画出函数y=/(%)的图象与函数y=logzl'l的图象，如图所示：

显然函数y=/(%)的图象与函数y=logzl'l的图象有2个交点，

故选：A.

在同一个坐标系中画出函数y=/(%)的图象与函数g(x)=log2|x|的图象，这两个函数图象的交点个

数即为所求.

本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，根据函数零点和方程的关系进行

转化是解决本题的关键.属于中档题.

13.答案：1464

解析：解：由题意得：35x16+28x18+20x20=1464,

故答案为:1464.

若涂料总费用最少，只需大面积粉刷便宜的即可.

本题考查了简单的线性规划问题，是一道基础题.

14.答案：52

解析：解：由已知中的茎叶图可得：

甲、乙两人这几场比赛得分的中位数分别为：24和28,

甲、乙两人这几场比赛得分的中位数的和为：24+28=52.

故答案是：52.

由已知中的茎叶图，分别求出甲、乙两人这几场比赛得分的中位数，可得答案.

本题考查的知识点是茎叶图，中位数，难度不大，属于基础题.

15.答案：8

解析：解：设瓦，瓦的合力为则声=耳+可，

•・•瓦，瓦的夹角为90。，

—>2—»—»r—»2—»2—»—>

F=（Fl+F2y=&+F2+2Fl•尸2=32+32=64-

|F|=8.

••・物体平衡状态.二物体的重力大小为8.

故答案为：8.

根据向量加法的平行四边形法则得到合力7=及+方，进而求出声=（元+瓦）2的值，从而得出物

体重力的大小.

本题考查了向量加法的平行四边形法则，平面向量的求模公式，考查了计算能力，属于基础题.

16.答案:|

匈

解析：试题分析：通过，滁*砥=出黑礴-心怅嘲『务二推出数列的第n项与第n+1项的嘎然后

找出规律，求出由5,然后解出〃15)=的值。解：因为步拆用十=行而t懿浮年L故有

暑

=场齐孑酶，两边平方，得］便乐唳=舞球-政和：.&M-，

即数列也"任意相邻两项相加为常数-•3，，因此可知

4

1孽？等

%=萼胭8系转赳冏=一X二副斶=一七

4W瞬

.二汽颐-舞唠=《二g=W或强=I

腑现现

"，方乐滞』=曲电7%；豺^4

43

故可知为?

考点：数列与函数的关系

点评：本题是中档题，考查数列与函数的关系，数列的递推关系式，推出数列中的规律是解题的关

键，注意验证数列的项是否在数列中，考查计算能力.

17.答案：解：(1)在△ABC中，v(2a—c)cosB=bcosC,

结合正弦定理得(2s讥4-sinQcosB=sinBcosC,

2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sinA,

.：cosB=\,.：B=60°.

(2)若b=V7,a+c=4,由余弦定理b?=a24-c2—2clecosB得,QC=3,

i.3V3

・••Sc=-acsinBD=——•

24

解析：(1)利用正弦定理、两角和差的三角公式，求得cosB的值，可得B的值.

(2)由题意利用余弦定理求得儿的值，可得△/8C的面积.

本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和差的三角公式，属于基础题.

18.答案：(1)证明：・・・/4"。=%且441=2,/。=1,

&。=J22+I2-2x2x1xcos^=V3,

22

：.Ax0+AD=AAj,

•••4］。1AD.

又4iO_LC。，且CDn4。=。，

•••Ar0，平面ABC。.

(口)解：过。作Ox〃/IB,以。为原点，建立空间直角坐标系O—xyz(如图),

则4(0,-1,0),711(0,0,73).

设P(l,zn,0)zne[-1,1],平面Ap4P的法向量为瓦=(x,y,z),

"AA^=(0,1,V3);AP=(l,m+1,0)，

且(再-44；=y+V3z=0

l布-AP=x+(Tn+l)y=0

取z=l,得汨=(g(m+1),一面,1).

又40_L平面4BCD,&0u平面占4D0i

•••平面4遇0。1，平面4BC0.

又CD1AD,且平面44叫n平面ABC。=AD,

CD1平面&ADD1.

不妨设平面4遇。劣的法向量为相=(1,0,0).

由题意得|cos(五尼＞|=?=|2*।।,

2^、3(舄771+l)z+3+1-1

解得m=1或m=-3(舍去).

二当BP的长为2时，二面角。一的值为今

解析：(1)证明为。14。，Ar01CD,利用直线与平面垂直的判定定理证明A。1平面ABCD.

(H)过。作。x〃4B,以。为原点，建立空间直角坐标系O-xyz,设P(Lm,0)me[―1,1],求出平

面41ap的法向量，平面440D1的法向量，利用二面角与向量的数量积求解m即可.

本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证

能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想.

19.答案：解：(1)令电=0/「B=咤歹吃”)=怒=io,..-ci=D-bw=160.7,

•1•D关于w的线性回归方程是：D=10w+160.7,

D关于/的回归方程是：D=lOlgl+160.7.

(11)点2的声音能量/=/1+/2，'=10】。,

•112

10-10

:/=/]+/2=10-(-+-)(/1+/2)=10(2+山+包)24x10-1。.

1112打’1

；•点P的声音强度D的预报值：D=lOlgl+160,7=10lg4+60,7>60-

二点P会受到噪声污染的干扰.

解析：(/)根据回归系数公式得出。关于w的线性回归方程，再得出。关于/的回归方程;

(〃)适用基本不等式求出+/2的范围，利用回归方程计算噪音强度.

本题考查了可化为线性相关的回归方程的解法，属于中档题.

20.答案：解：(I)由，(x)=-3x+

则1(x)=2X-3+I，

/⑴=0,/⑴=1-3=-2,

所以切线方程为y=—2；

(n)f(x)=2ax-(a+2)+《=(。弋21),

令f'(x)=0=%］=i,x2=|)

当a21时，/(x)在［l,e］上单调递增，f(x)min=f(l)=-2,

当0<aW；时，/(无)在［l,e］上单调递减，

fMmin=/(e)=ae2-(a+2)e+1=-2

=。=警>气舍)，

e2-ee'

当:<a<l时，f(x)在(1,；)上单调递减，/(x)在(，,e)上单调递增，

/。)就“</(1)=一2(舍),

综上，a>1；

(HI)令一>°，

则曾然>_2Q/(%1)+2X1>/(%2)+2小，

打一次

令9(%)=f(x)+2x,只要g(x)在(0,+8)上单调递增即可・

"g'(x)之。在(0,+8)上恒成立.

0gf(x)=ff(x)+2=2ax-a+g

2ax2—ax+1

=------------->0

x

o2ax2—ax4-1>0在(0,+8)上恒成立.

当a=0时，1>0恒成立；

当a>0时，原不等式=2/—%>—q—>—；

a8a=0VQW8

当a<0时，原不等式=2/一》〈一，左边无最大值，不合题意(舍).

综上，0WaW8.

解析：本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思

想，转化思想，是一道综合题.

(I)求出函数的导数，计算/(I),f(l),求出切线方程即可；

(U)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，得到关于a的

不等式，解出即可；

(皿)令g(x)-/(x)+2x,问题转化为2a/—ax+1>0在(0,+8)上恒成立，求出a的范围即可.

21.答案：解：(1)由已知得一晟=-1,二「=2.

••・抛物线方程为y2=4x.

，，

设k的方程为y=+1),4(*1%),B(x2,y2)'。(巧，乃)，Eg,%)

,(y=k(x+1),口

由［y2_4%，得ky2o-4y+4/c=0.

△=16—16k2>0,解得—1<kV1,注意到々=0不符合题意，

:.ke(-1,0)u(0,1).

(II)不存在々值，使点P是线段DE的中点.理由如下：

由(I)得42-4y+4fc=0,

44