2021年浙江省高考数学考前适应性试卷

2021年浙江省高考数学考前适应性试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有

一项是符合题目要求的。

1.（4分）已知集合4={Rl<x<w},8={xh>-l},则ACB=（）

A.{x|l<x）B.{x\-l<x</n}C.{x|l<x<w}D.{x\x>m}

2.（4分）已知麻R,若吗L是纯虚数，则〃?的值为（）

i

A.0B.-1C.1D.2

3.（4分）若x与y满足7+『=4,则该轨迹上的任意一点可表示为（）

A.（sinp,cosp）B.（&sinB,V2cosP）

C.（2sinP，2cos0）D.（4sin0,4cos0）

4.（4分）函数y=x”2一国在区间［-2,2］上的图象可能是（）

5.（4分）已知空间中不过同一点的三条直线/,相，m,〃共面”是加,〃两两

相交”的（）

A.充分不必要条件B.既不充分也不必要条件

C.充分必要条件D.必要不充分条件

6.（4分）已知等比数列{5}的前〃项和为S”，且满足公比加<0,则下列说法不

正确的是（）

A.S”一定单调递减B.与一定单调递增

C.式子仇-S"20恒成立D.可能满足以=SK，且

7.（4分）已知双曲线方程：^--^-=1（a>0,人>0）,A点为双曲线的左焦点，M点为

2,2

ab

双曲线的右顶点，N点的坐标为（0,-b）,尸为双曲线左支上的移动点，连接AN,MN,

MP,AP,若AMW尸为平行四边形，则双曲线的离心率为（）

A.AB.A/2+1C.2V3-1D.星

33

8.（4分）设x,_y>l,z>0,z为x与y的等比中项，则」三十鲍-的最小值为（）

21gx41gy

A-I■耳B-2后Vc-方考D.2负

9.（4分）已知函数/（尤）的导函数为/（x）,且f（x）的定义域为（0,+8）,若对于定

义域内的任意x,均满足f'6）>皿-，则下列式子中不一定正确的是（）

X

A./(2)>2/(1)B.f(3)>e•于(2)

c.f(4)>1/(3)D.f(e)>2e-f(A)

10.(4分)若实数a,b满足ln(2a)Tnb>a2+~^--l，贝Ia+6=()

_b2

A.返B.V2C.D.2A/2

22

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11.（4分）已知数列｛斯｝满足an-an.\=k（〃WN*）,ai=k,则数列｛斯｝的通项公式

为.

12.（6分）二项展开式（2x+4）5=。0+4］欠+42^2+43工3+44^4+。5/，则。1=；”0+42+44

=（可以采用指数的形式或数字的方式作答）.

13.（6分）已知sin（2CL+"看）=/，且ae（0,3-）,则sin2a=；

cos（4a-_^^-sin4a—.

42

14.（4分）对于数字1,2,3,4,5,6,现组成一个四位数，该四位数满足四个位置的数

字均不相同，且满足奇数偶数相并分布（即假设千位数是奇数，则百位数是偶数，十位

数是奇数，个位数是偶数，同理千位数是偶数，则百位数是奇数，以此类推），则能组成

上述要求的四位数的个数为.

15.（6分）己知单位向量之与芯，满足（Z+E）2=1,则之与E的夹角为；若向

量3满足3晶（2-3）b=c（3曰0,2］）,则值的取值范围是

16.(4分)已知函数,f(x)=d+//wc,g(x)=4x+工且x满足(1WXW2),则g(x)-f(x)

x

的最大值为.

17.（6分）如图所示，Fi与22是椭圆方程:=1的焦点，尸是椭圆上一动点（不含

上、下两端点），A是椭圆的下端点，8是椭圆的上端点，连接PQ,PFi,记直线方的

斜率为h.当P在左端点时，△「下］尸2是等边三角形.若△PBF2是等边三角形，则h

；记直线PB的斜率为依，则阳+1侬的取值范围

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.（14分）在三角形中，N4、NB、ZC分别对应的边为a,b,c,且满足关系式为：

tanA+tanB+tanC=-^-tanAtanB.

3

（1）求NC的大小；

（2）若c=2,求/+/的取值范围.

19.（15分）如图所示的几何体，其中底面A8CD为直角梯形，ZADC=90a,AD=CD=

1,BC=2,SA1■底面ABC。，连接SC,SB,SD.

（1）求二面角B-SA-D的角度;

（2）若SA=a,求面SAB与面SDC所成角的余弦值与a的关系，并求出余弦值的取值

范围.

20.（15分）已知正项数列｛仇｝满足bi=3,2=7且分=4"+Cn，（即是等比数歹I）,cn

是等差数列），记数列｛斯｝的前"项和为S”｛Cn｝的前〃项和为〃，若公比数q等于公差

数"'且3^2=c2,

44乙

（1）求数列｛仇｝的通项公式;

R

（2）记此为数列｛尻｝的前〃项和，求T—（心2,且〃6N*）的最小值.

n-2

21.（15分）如图所示，已知抛物线：/=2px（p>0）,F是抛物线的焦点，过F点作直线

48交抛物线于A,B两点，记A点的坐标为（xi，yi）,B点的坐标为（应，”），且存在

某一，情况满足用=Ml=2.

（1）当yi=|”|=2,求48直线的方程及p的值；

（2）设点P的坐标为（0,力，且但用<|8尸|,点C（不在原点上）在抛物线上，PC不平

行于x轴，且PC恰好与抛物线相切.若CA,C8分别与x轴相交于。，E,设△4£）「

S[■S2

△BEF和△ABC的面积分别为Si，S2，S3，求"的最大值.

33

22.（15分）已知函数f（x）^alnx+e'+b（a>0）,其中e=2.71828…是自然对数的底数.

（1）判断了（x）的单调性;

(2)令f(x)—f(x)-b-ex+lnx,记xo为函数/（x）的零点，求证：（工）"<&<1；

e

若对于xe[l,+8），机（x）W（x+1）2恒成立,求

(3)令机(x)=f(x)-a=\,

b

b的取值范围.

2021年浙江省高考数学考前适应性试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有

一项是符合题目要求的。

1.(4分)已知集合4={即<》<根},H={x\x>-I},则4nB=()

A.{x|l<x}B.{x\-l<x<zw}C.{x|l<x</n}D,{x|x>/n}

【解答】解：VA={X|1<X<TH},B={X\X>-1},

AAAB={x|l<x<w}.

故选：C.

2.(4分)已知加R,若吗L是纯虚数，则机的值为()

i

A.0B.-1C.1D,2

【解答】解：•.•QL=Gi+i)i=*L=m-i，

ii,i-1

又.../L是纯虚数，

i

zu~0.

故选：A.

3.(4分)若x与y满足7+)2=4,则该轨迹上的任意一点可表示为()

A.(sinp,cos0)B.(&sinB,V2cosP)

C.(2sinp,2cosp)D.(4sinp,4cos0)

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,(sinp,cos0),满足/+)2=1,不符合题意；

对于B，(V2sinp,V2cosp),满足》2+y=2,不符合题意；

对于C,(2sinp,2cos0),满足丁+丁=4,符合题意：

对于£),(4sinp,4cos0),满足/+。=16,不符合题意;

故选：C.

4.(4分)函数y=x”2十在区间［-2,2］上的图象可能是()

【解答】解:函数y=x・22-叫

定义域为［-2,2］关于原点对称，

且/(-x)=(-X),22'W=-f(x),

则/(x)为奇函数，图象关于原点对称，

排除CD；

由f(l)=2以及/(2)=2,

函数不单调，

排除B.

故选：A.

5.(4分)已知空间中不过同一点的三条直线/,如n.al,m,〃共面”是如〃两两

相交”的()

A.充分不必要条件B.既不充分也不必要条件

C.充分必要条件D.必要不充分条件

【解答】解：空间中不过同一点的三条直线/,m,n,

若"I,m,”两两相交”,则m,〃共面”,

反之不成立，I,如〃可能相互平行，

:.“I,m,〃共面”是al,m,〃两两相交”的必要不充分条件,

故选：D.

6.(4分)已知等比数列｛为｝的前〃项和为S”，且满足公比历＜0,则下列说法不

正确的是()

A.S”一定单调递减B.m一定单调递增

C.式子与-S"20恒成立D.可能满足以=S«,且AW1

【解答】解：由等比数列｛为｝的前“项和为S”且满足公比OVq<l,加<0,

可知："数列｛m｝每项都是负数且单调递增”，

由此可判断A8C说法都是对的、。是错的.

故选：D.

7.（4分）已知双曲线方程：4-《=1（。>0,b>0）,A点为双曲线的左焦点，M点为

双曲线的右顶点，N点的坐标为（0,-b）,尸为双曲线左支上的移动点，连接AN,MN,

MP,AP,若AMWP为平行四边形，则双曲线的离心率为（）

A.AB.V2+1C.2>/3-1D.且

33

【解答】解：依题意可得A（-c,0）;N（0,-b）,M（.a,0）,

设尸（即，，yo）,因为ANMP为平行四边形，所以菽=而，

/.(c,-b)=-xo，-yo)，

••XQ—CI-Cfyo=b,

:・P(a-Cfb),

.(a-c产b2

••11，

2,2

ab

整理可得(&+1)a=c,

，e=£=&+l,

a

故选：B.

8.(4分)设x,y>l,z>0,z为x与y的等比中项，则匹的最小值为()

21gx41gy

C

A-i■岑B-2点卷-方有D-2a

【解答】解：由z为x与y的等比中项，得z2=xy,则/gz2=/g(xy),即2/gz=/g%+/gy,

所以lgz=—Ugx+lgy),

2

11--(lgx+lgy)-^-(lgx+lgy)1111

所以‘i"+igz_=/---------+±-----------=_L(i+A§x.)+工(A^+I)=

21gx41gy21gx41gy4lgx8lgy

3Aigy+lgx

841gx81gy'

由x,y>l可知/gx>0；lgy>0,所以：原式=3+」^。+上迅-23+2、淳匚

841gx81gy8丫41gx81gy

3+返,

84

当且仅当」2agy)2=(lgx)2,即X=)肉时等号成立，所以巫

41gx81gy21gx41gy

的最小值为3+亚.

84

故选：A.

9.(4分)已知函数/(/)的导函数为，(x),且fG)的定义域为(0,+8),若对于定

义域内的任意X,均满足f'(x)>四-，则下列式子中不一定正确的是()

X

A./(2)>2/(1)B.f(3)(2)

c.f(4)>2/(3)D.fde>>2e»/(-l)

【解答】解：若对于定义域内的任意x,均满足f'

X

即叶(x)-/(X)>0在(0,+8)恒成立，

令g(x)=.f(x[_(x>0),则g'(x)=———(x)-f(X)>0,

xx2

故g(x)在(0,+8)递增，

故g(2)>g(1),g(3)>g(2),g(4)>g(3),g(e)>g(—)>

2

故必乎⑴,皿>但,皿>也,皿>土，

23243e±

2

故f(2)>2f(1),/(3)>当⑵,/(4)>4/(3)>2/(3),/(e)>2ef(A),

故A,C,。正确，3错误；

故选：B.

10.(4分)若实数a,b^J£ln(2a)-lnb>a2-tA--1>贝Ua+6=<)

_b2

A.返B.V2C.D.2V2

22

【解答】解：令g(x)=x-1-Inx,xG(0,+8),

则g'(x)=1

XX

令g'(x)>0,解得：X>1,令g'(x)<0,解得：0cx<1,

故g(x)在(0,1)递减，在(1,+8)递增，

，g(x)2g(1)=1-/nl-1=0,

・・・x-当x=l时“=”成立,

=2曳-1当且仅当。=工时”=”成立,

bb

又；丝-加至=岳⑵）-Inb,

bb

IN/”（2a）-Inh,当且仅当"=』■①，&>=1②时"="成立,

b2bb

由①②得：a=返，bE则a+b=迥,

22

故选：C.

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11.（4分）已知数列｛即｝满足an-an-\=k（neN*）,ai=k,则数列｛斯｝的通项公式为

_'O,k=0

(n€N*)_.

%[kn,k产。

【解答]解:当k=Q时，an=an-\=an-2=...=«1=0,此时｛斯｝是常数数列，斯=0,（〃eN"）；

当&W0时，即-。"一1=亿｛斯｝是以k为首项，k为公差的等差数列，an=kn,（〃eN*）；

（nb-=0

故答案为：a“='_c（nEN*）・

n[kn,k7to

2

12.（6分）二项展开式（2v+4）5=40+QIX+〃2X+43X3+Q4A4+〃/,则=2560;的+〃2+44

=3904（可以采用指数的形式或数字的方式作答）.

【解答】解：,I（2%+4）5=。0+。14+的2+。34+。杀4+。5金，

令x=l,得圆）+。|+。2+。3+。4+。5=6^=7776；①

令元=-1,得〃0-。1+。2-。3+。4-45=25=32;②

①+②，得2(的+。2+。4)=7808,

:.的+。2+。4=3904,

又ai=C：・2i・44=2560,

D

故答案为：2560,3904.

13.(6分)已知sin(2O,+^-)="1*，且a€(0,贝!]sin2acos(4a

-—)jZ^in4a=-返.

42—4―

【解答】解：因为sin（2a4）=/，且ae（0,等）,

所以2a+生€(工，旦二)，可得2a+?L=卫，解得2a=』2L,

4444612

所以sin2a=sin-!12L=sin(_2L+_2L)=sin2Lcos^-+cos-^-sin-^-X(A+2/A)

12434343222

+-近-----点------;.

4

可得4a4

所以cos(4a--^-^-sin4a=cos(72L-2E返疝卫L=C°sl”-返义(-

426426122

1x_zK71、x/2\Z

—)=-cos(——-——)-工^义(

23422

故答案为：返标；一运

44

14.（4分）对于数字1,2,3,4,5,6,现组成一个四位数，该四位数满足四个位置的数

字均不相同，且满足奇数偶数相并分布（即假设千位数是奇数，则百位数是偶数，十位

数是奇数，个位数是偶数，同理千位数是偶数，则百位数是奇数，以此类推），则能组成

上述要求的四位数的个数为72.

【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：

若千位数是奇数，则百位数是偶数，十位数是奇数，个位数是偶数，有3X3X2X2=36

个符合题意的四位数;

反之，若干位数是偶数，则百位数是奇数，十位数是偶数，个位数是奇数，有3X3X2

X2=36个符合题意的四位数;

则有36+36=72个符合题意的四位数;

故答案为：72.

15.（6分）已知单位向量之与E，满足（；+E）2=1,则之与芯的夹角为120°:若向

量3满足3；+（2-3）b=c（3€［0,2］）,则泊的取值范围是”,足

【解答】解：设；与E的夹角为。，

由单位向量a与b且满足（a+b）2=l得a・b=-L，cosO=-L，0=120°；

22

由3a+（2-co）卜=<3两边平方得《2=32+（2-co）2+2CO（2-3）a*b>

整理得：'^2=3（O2-6（JD+4,对称轴3=1,当3日0,2］时,

的最大值是3X()2.6义。+4=4,

•".|c|6[l，2].

故答案为：U，2J.

16.(4分)已知函数/(X)—ex+lnx,g(x)=4x+」■且x满足(lWx<2),则g(x)-/(x)

X

的最大值为5-e.

【解答】解：g(x)-f(x)=4X+JL--Inx,(lWx<2)

x

令h(x)=4x+---Inx,(1WXW2)

h"(x)=--^+^-,在(1,2)上单调递减,

32

xx

所以(2)<h"(x)<h"(1),

所以上「2</(x)<3-e,

2

91

所以在(1,2)上存在出，使得犷(xo)=0，BP-^y-exo+-Jy=0,

X。XQ

2।1

所以〃5H2'

x0x0

因为J<上r+-V=3,e'A^3>—匕L—'-2.33

I3I21.I31.I2

所以xoe(L1.1),

在(1,xo)上，h"(x)>0,h'(x)单调递增，

在(即，1)上，h"(x)<0,h'(x)单调递减，

所以(x)max=h'(xo)=4--ex0-^-=4---------------------=4

4Vx-4JYx-

x°0XOXOXO0

221

-2-3

x0x0X。

令v(x)=4---^7--—，xG(1,1.1),

23Y

XXA

V(X)在(1,1.1)上单调递增，

所以v(x)<v(1.1)=4--^―-―=-0.06<0,

1.I21.I31-1

所以〃（x）"皿＜0,

所以〃（x）在（1,2）上单调递减，

所以力（x）max—h（1）=4X1+A-e-ln1=5-e.

1

故答案为：5-e.

17.（6分）如图所示，为与尸2是椭圆方程：工;片=1的焦点，P是椭圆上一动点（不含

上、下两端点），A是椭圆的下端点，2是椭圆的上端点，连接尸尸PFi，记直线心的

斜率为当P在左端点时，△PF1F2是等边三角形.若△PF1F2是等边三角形，则向

=士^~:记直线PB的斜率为42,则向1+g1的取值范围是住返，+8）.

【解答】解：由题意知，若△PF1F2是等边三角形，

则尸在左端点或右端点，此时|OFi|=c,|PFi|=«=2c,\OP\=b=43c,

故点尸（-VSc,0）或点P（V3c,0）,点A（0,-2c）,

故ki=.也或^-2c-02^3,

0-（-A/3C）30-（V3c）3

22

由题意知，椭圆方程可化为'~+4~=1,

22

3Qc4Ac

不妨设〃(V3^cos0,2csin0),

则依=2csin8-(-2c)=2sin8+2依=2csin8-2c=2sin8-2

VSccos0-0VScos0Vsccos9-0yf~3cos0

则的|+陶=|2汨8知+厚n8小

y3cosv3cosW

=2+2sin8+2-2sin8_4

V31cos8|5/31cos8I

VO<|cos0|<l,，「I4…

V3|cose|3

故也|+|初的取值范围是[当巨，+8).

3

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.(14分)在三角形中，NA、NB、ZC分别对应的边为a,b,c,且满足关系式为：

tanA4-tanB+tanC=-^tanAtanB.

3

(1)求NC的大小；

(2)若c=2,求〃2+廿的取值范围.

【解答】解：(1)因为tan(A+B)=tan(n-C)=-tanC=tanA+tanB,

1-tanAtanB

所以可得tan/4+tan/?+tanC=tan/Atan^tanC,

又tanA+tanB+tanC^^-^-tanAtanB,

3

所以tanAtan5tanC=^14arL4tan8,

3

因为tanAtanB^O,

所以tanC=返，

3

因为ce(o,IT),

所以c=2L.

6

(2)因为d=J+廿-2〃Z?cosC,c=2,

所以4=/+y一返的力a1+/-4’、'+匕，,所以a2+t>2^16+8y/3>当且仅当a=b

时取等号，

又因为a1+b2,>4,

所以。2+层的取值范围是(4,16+8、®].

19.(15分)如图所示的几何体，其中底面ABC。为直角梯形，NADC=90°,AD=CD=

1,BC=2,SA_L底面ABC。，连接SC,SB,SD.

(1)求二面角B-SA-D的角度；

(2)若SA=a,求面SAB与面SOC所成角的余弦值与〃的关系，并求出余弦值的取值

范围.

【解答】解：(1)因为SA_L底面ABC。，AB,4。<=平面A8CD,

则ABJ_S4,AD1.SA,

连结BD,所以NBA。为B-SA-。的平面角，

过点A作A”_LBC,所以AH=C£>=1,BH=1,则

又因为BD=4CD2+BC2=V^AD=\,

在△A3。中，由余弦定理可得COS/&40=AB2+AD2_BD2=2+二_=二反,

2AB-AD2XV2X12

则NBAD=135°,

故二面角B-SA-D的角度为135°；

(2)以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则A(0,0,0),D(1,0,0),S(0,0,a),8(-1,1,0),C(1,1,0),

所以羽=(O,1,0),DS=(-1,0,a)，

平面ABS的一个法向量为、=(1,1,0),

设平面SCO的法向量为二=(x,y,z)，

则上=。’即（尸。

n*DS=0[-x+az=0

令x=l,贝

a

故n=(1，0，f

a

所以|cos<u

Im|InI

设面SAB与面SOC所成的角为e,

故面SAB与面SOC所成角的余弦值与a的关系为cos6=J——

12a2+2

20.（15分）已知正项数列｛劣｝满足加=3,历=7且分=斯+5,neN*（即是等比数列，.

是等差数列），记数列｛斯｝的前“项和为S”｛c“的前〃项和为T,”若公比数g等于公差

数"'且2

44乙

(1)求数列｛d｝的通项公式；

*

(2)记R”为数列｛仇｝的前〃项和，求一^(〃22,且〃€N*)的最小值.

2

n-2o

【解答】解：(1)由已知可得，

，al+cl=3,_c

ai=2a]=~2

aiq+ci+d=71

,，解得(Ci=l或5=5

q=d1

3a[q=4c]+4d[q-d-2q=d=-2

nn

o=o,Cn=l+2M-1)=2n-1,b=a+Cn=2+2n-1；

&n乙(nn

n

或an=(-2)，cn=7-2n,bn=(-2)-2n+7-

由于数列｛加｝为正项数列，所以尻=2"+2〃-1；

(2)12n

Rn=(2+2+...+2)+[l+3+...+(2n-l)]

力(叫〃

=2X(b2l+2n-l)n=22.2.

1-22

Ron+^4.n2_pn^+l

则Tn-=2_2=丫+i，

n-2n-2n-2

Qri1ry2

令/(几)=-^—，则/(〃+l)=--_--，

n-2(n+1)-2

i+1)一…)=2/2_叁=2"1(204-2211+])

(n+l)2-2n2-2[(n+1)2-2](n2-2)

-2rt4-1(n2-2n-3)

(n2+2n-l)(n^-2)

且〃eN*,.,.当”=3时，，(〃+l)-f(«)=0,

此时的最小值为也+]上3.

77

n-2

21.（15分）如图所示，已知抛物线：/=2℃（p>0）,尸是抛物线的焦点，过尸点作直线

AB交抛物线于A,B两点，记A点的坐标为（xi，yi）,8点的坐标为（如然），且存在

某一，懵况满足用=|）洌=2.

（1）当yi=|”l=2,求A8直线的方程及p的值；

（2）设点P的坐标为（0,f）,且|AR<|BF|,点C（不在原点上）在抛物线上，PC不平

行于x轴，且尸C恰好与抛物线相切.若CA,CB分别与x轴相交于O,E,设△ACE

S[•S?

△BEF和AABC的面积分别为Si，S2,S3,求°-的最大值.

>3

【解答】解：（1）由题意可得，直线AB的方程为x上,

2

将y=2和x号代入抛物线的方程，则4=2•勺，解得P=2,

故直线AB的方程为工=1；

（2）设C（X3，”），直线AB的方程为y=-r（x-1）（AO）,

y二一t（X-1）A

联立方程组，,可得y+y=,y1y9=-4>

[y=4x[

网总好

设直线PC的方程为y=fcx+f,

y=kx+t

联立方程组],可得62-4"4f=0,

、/=4x

所以△=（-4）2-4妙4/=0,解得h=l,

将上=工•代入心2-4引4f=0,解得点C的坐标为（P,2/）,

t

故点C到直线AB的距离d=l11,

Vt2+i

可得直线AC的方程为（yi+y3）y=4x+yiy3，当y=0时，解得

D4