2021年浙江省高考数学预测试卷（学生版+解析版）（5月份）

2021年浙江省高考数学预测试卷（5月份）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.（4分）己知集合4="€汽|一/+3X.0},B={x\-2<x<2},则4n〃=（）

A.{1}B.{0,1}C.[0,1,2）D.{-1,0,1}

2.（4分）若z-（2-3i）=4+i（,•为虚数单位），则在复平面内，复数z所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

X..0

3.（4分）若实数x,y满足不等式组y..O，贝Uz=x+3y的取值范围为（）

x+2y..2

A.（-oo,3]B.[2,3]C.[2,+8）D.[3,+oo）

4.（4分）函数y=xsinx+sinx在区间[-4，»]上的图象大致为（）

5.（4分）已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（)

正长图>（视图

Oi

俯视图

A.包「167r

C.------D.12zr

33

6.（4分）设〃?，〃是两条不同的直线，a,/是两个不同的平面，且直线，wu平面a,直

线“u平面?，下列命题为真命题的是（）

A.是"〃_Le"的充分条件

B.umllnn是“mH。”的既不充分又不必要条件

C.“a//夕”是um//nn的充要条件

D.是“a，£”的必要条件

7.（4分）已知各项均不相等的等比数列{/},若3%,2%，%成等差数列,设S,,为数列{4}

的前〃项和，则区等于（）

%

137

A.—B.-C.3D.1

99

8.（4分）在平面直角坐标系中，直线/:Ax-y+4Z=0与曲线y=j9-x'交于A,3两

点，且月=2,则％=（）

A.—B.—C.1D.G

32

9.（4分）已知a>6>c,下列不等式不一定成立的是（）

A.ac+b2<ab-{-beB.->——C.ab+c2>ac-\-bcD•Z?2>ac

c2+\c2+l

10.（4分）己知acR.设函数/。）=卜"2"+2。,用,1,若关于彳的不等式〃。0在/?上

x-alnx,x>1•

恒成立，则a的取值范围为（）

A.[0,1JB.[0,2]C.[0,e]D.[1,e]

二、填空题：本大题共7小题，共36分。多空题每小题4分；单空题每小题4分。

11.（4分）设S,是数列&}的前〃项和,q=T,an+l=SnSn+l,则S“=.

12.(6分)己知(」-+x)n的展开式中第四项的系数为120,所有奇数项的二项式系数之和

为512,则实数〃=,展开式中的常数项为.

Ojr-rr

13.(6分)己知cosZ-sin'a：］,ficre(0,—),则sin2«=,cos(2a+§)=.

14.(4分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,S3所成角的余弦值为工，SA与圆锥底面所成

8

角为45。，若ASM的面积为5/，则该圆锥的侧面积为.

15.(6分)已知直线/:/nr-y=1.若直线/与直线x-my-1=0平行，则机的值为；动

直线/被圆V+2x+y2—24=0截得弦长的最小值为一.

16.(6分)己知加，〃为正常数，离散型随机变量X的分布列如表:

X-101

Pm1n

4

若随机变量X的数学期望E(X)=?,则板=,P(X„0)=

17.(4分)已知1=(1,2),5=(1,1),且@与4+二夹角为锐角，则义的取值范围为.

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.(14分)设AABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且c«cosC是a«cos8与

dcosA的等差中项.

(I)求角C；

(H)设c=2,求AABC周长的最大值.

19.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，ZDAB=60。，J_平面ABCD,

PD=AD=\,点E,尸分别为和尸。中点.

(I)求证：直线AF//平面PEC；

(II)求PC与平面A3所成角的正弦值.

AEB

20.(15分)设5,是数列｛4｝的前"项和,(S„+2+35„)-(3S„+I+Sn_t)=2(n..2,ne2V*),且

4=2,%=6,ciy=12.

(1)求证:数列｛。,-4｝为等差数列:

(2)求数列他“｝的通项公式.

21.(15分)定义：平面内两个分别以原点和两坐标轴为对称中心和对称轴的椭圆片，E,,

它们的长短半轴长分别为4,4和七，%,若满足叼=。3瓦=b；(kwZ,k..2),则称E2为

耳的左级相似椭圆，已知椭圆耳：?+提=1,3为百的2级相似椭圆，且焦点共轴，4与

£,的离心率之比为2:77.

(I)求当的方程；

(II)已知P为E2上任意一点，过点尸作片的两条切线，切点分别为A(X1,y)、B(X2,%).

①证明：用在A(x/切)处的切线方程为空+岑=1；

4〃

②是否存在一定点到直线法的距离为定值，若存在，求出该定点和定值；若不存在，说明

理由.

22.(15分)已知函数/(x)=(x-；)e'+a(x+J),.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个零点，求“的取值范围.

2021年浙江省高考数学预测试卷（5月份）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.（4分）已知集合4={、€%|-/+3*.0},B={x\-2<x<2],则4「|8=（）

A.{1}B.{0,1}C.{0,1,2）D.[-1,0,1}

【解答】解：•.・A={xeN|源W3}={0,1,2,3},8={x\-2<x<2},

AQB={0,1}.

故选：B.

2.（4分）若z<2-3i）=4+4为虚数单位），则在复平面内，复数z所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解:z-（2—3i）=4+i（i为虚数单位）,

4+z（4+i）（2+3i）8-3+14;514.

z=-------=-------------------=—；----；—=11，

2-3/（2-3z）（2+3z）22+321313

则在复平面内，复数z所对应的点（得，葭）位于第一象限，

故选：A.

X..0

3.（4分）若实数x,y满足不等式组y..O,则z=x+3y的取值范围为（）

x+2y..2

A.（-co,3]B.[2,3]C.[2,+8）D.[3,+oo）

【解答】解：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分（包含边界）所示，

目标函数z=x+3y可化为y=—gx+（，作出直线^=一」彳并平移，

由图可知当直线经过点（2,0）时，在y轴上的截距最小，此时z取得最小值2,无最大值.

故选：C.

尸亭

4.（4分）函数y=xsinx+sinx在区间［-万，上的图象大致为（）

【解答】解：将x=-%,万分另ij代入y=xsinx+sinx,得到的函数值均为0,排除3，。选

项;

又因为当xf（T时，yf（T,排除C选项.

故选：A.

5.（4分）已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）

正校图他视图

05

俯视图

A.—B.8万C.—D.12%

33

【解答】解：根据三视图知，该几何体是一个圆柱，挖去一个半球和一个圆锥，

结合三视图中的数据，计算该几何体的体积为

♦1.144,

丫=%柱一%1徘一七球=乃，2-4---^--22-2-----2=8^-.

故选：B.

6.（4分）设机，〃是两条不同的直线，c,4是两个不同的平面，且直线机u平面a,直

线〃u平面£,下列命题为真命题的是（）

A.是的充分条件

B.amllnn是uml/pn的既不充分又不必要条件

C."«//尸"是",〃//〃”的充要条件

D.“机，〃”是“a_L夕”的必要条件

【解答】解：由“加，〃”推不出“也可能〃//a,故不是充分条件，故A错误,

由“相〃〃”推不出“根//尸”，也可能机u£,反之也不成立，故是既不充分又不必要条件，

故3正确，

由“a//£”推不出“加//〃”，也可能垂直，异面，不是充要条件，故C错误，

由“a，£”推不出“血」〃”，也可能平行，不是必要条件，故。错误，

故选：B.

7.（4分）已知各项均不相等的等比数列伍“｝，若3/,2%，4成等差数列，设S“为数列｛”“｝

的前几项和，则也等于（）

%

137

A.—B.-C.3D.1

99

【解答】解：设等比数列｛”“｝的公比为q,q手I,

3%，2a3，4成等差数列，

2x2%=3a24-a4,

,4a2q=3a2+/q?，化为夕？―4q+3=0,

解得q=l(舍去)或q=3.

〃。-33)

4=3时，则①■=-lz^_=U.

qq.329

故选：A.

8.(4分)在平面直角坐标系x0y中，直线/:Ax-y+4Z=0与曲线丁=的-丁2交于A,B两

点，且AO・A分=2,则后=()

A.—B.—C.1D.£

32

【解答】解：直线去一丁+4后=0,即Z(x+4)+y=0,

.•・直线/过定点P(-4,0),过圆心。作OMJ_/于用，

即荷•丽=|丽通砌2=2,AB|=2,

2

曲线丫=19-、是圆心为原点,半径厂=3的上半圆.

圆心到直线/的距离d=，丝L,

IAB\=23-cP=219-(产J=2,

解得：k=±lf

当A=-l时，直线/与曲线丫=师了无交点，舍去.

故A=1.

故选：C.

9.(4分)已知下列不等式不一定成立的是()

A.ac+b2<ab-{-beB.->——C.ab+c2>ac-\-bcD•Z?2>ac

c2+\c2+l

【解答】解：对于A,ac+b2-ab-be=a(c-b)-b(c-b)=(c-b)(a-b),

因为a>b>c,所以4—匕>0,c-b<0所以(。一/?)(。-6)<0,EPac+b1<ab-\-be故A

成立；

对于8,，一>0,a>b,所以力—>/故3成立；

c2+lc2+1c2+1

对于C,ab+c2-ac-be=a(b-c)-c(b-c)=(a-c)(b-c),

因为a>〃>c,所以a—c>0,b—c>0,所以(a—c)(b-c)>0,BPab+c2>ac+be,故C成

立；

对于£),取a=4,b=2,c=l,可得6=ac,故。不成立.

故选：D.

10.(4分)己知acR.设函数/。)=卜"2"+2。,用,1,若关于彳的不等式〃。0在/?上

x-alnx,x>1•

恒成立，则a的取值范围为()

A.[0,1JB.[0,2]C.[0,e]D.[1,e]

【解答】解：当x=l时，f(1)=l-2a+2a=1>0恒成立：

当x<l时，f(x)=x2-2ax+2aJS)o2a二•恒成立，

令

-x~(1—x—I)2(1—x)2—2(1—x)+11g[7.1-)、

g(x)A=--=；—=---；-----=--------;---------=-(1-x+----2)„-(2(1-x)•----2)=0

X-11-XI-X1-X1-xv1-X

2a..g(x)nlax=0,：.a..0.

__Y_.

当x>l时，f(x)=x-alnxS)<=>a——恒成立,

Inx

I,nx-x.1

令，则〃(尤)=

Inx.(IJnx)x="(Inx)'

当x>e时，h\x)>0,/z(x)递增，

当1cxec时，h'(x)<0,/z(x)递减,

，x=e时，〃（x）取得最小值〃（e）=e,

综上a的取值范围是[0,e].

故选：C.

二、填空题：本大题共7小题，共36分。多空题每小题4分；单空题每小题4分。

11.（4分）设5“是数列｛《,｝的前〃项和，4=-1,a=S„S„,则

n+l+1n

【解答】解：•.•加=5£+|,••.S.+「S”=5£T，

数列｛£｝是等差数列，首项为-1,公差为-1.

解得S“=-L

n

故答案为：-L.

n

12.（6分）已知（」-+x）n的展开式中第四项的系数为120,所有奇数项的二项式系数之和

X&

为512,则实数a=_J_，展开式中的常数项为45.

【解答】解：（工-+x）n的展开式的所有项的二项式系数之和为2”,且二项展开式的奇

数项和偶数项的二项式系数之和相等，

所以2"“=512,解得”=10,

展开式中的第四项为T4=C；O（-Y）7X3-

所以。温7=120,解得。=1，

所以号+x）』6+x）1°，其展开式的通项7+=百0（4）叱%也60*510,

X4X，X

令5〃-40=0,解得r=8,

所以展开式中的常数项为C；口=45，

故答案为：1；45.

13.（6分）已知cos'a-sin4a=2,且aw（0,马,则sin2a=———,cos（2a+—）=___.

32—3—3

OJr

【解答】解：•.•已知cos'a—sin4a=—=cos2a-sin2a=cos2a,且aw(0,—),则

32

sin2cr=Vl-cos22a=

216G2-V15

cos(2a+—)=cos2acos----sin2asin—=—x---------xx—=-----------

3333232

14.（4分）已知圆锥的顶点为S,母线SA,S8所成角的余弦值为工，SA与圆锥底面所成

角为45。，若A545的面积为5屏，则该圆锥的侧面积为_40应/

【解答】解：圆锥的顶点为S,母线SA,S8所成角的余弦值为2,可得

A5A8的面积为5厉，

可得1sA2sinNASB=5后,B|J-SA2x—=5715,即SA=46.

228

SA与圆锥底面所成角为45。，可得圆锥的底面半径为：变x4>6=2而.

2

则该圆锥的侧面积：-x4710^x45/5=4072^.

2

故答案为：40收7T.

15.（6分）已知直线/:）nr-y=l.若直线/与直线x-my-l=0平行，则根的值为_-1

动直线/被圆元2++/一24=0截得弦长的最小值为—.

【解答】解：•・,直线/nr-y=l即直线-1=0与直线x-my-l=0平行，

-m+1w0

直线/=1过定点P(0,-l),

圆/+2x+/-24=0化为(％+1尸+9=25,

如图:

当过P(0,-l)的直线与P与圆心的连线垂直时,

直线/被圆f+2x+/_24=0截得弦长最小，为2也5-(何=2岳.

故答案为：-1;2\/23.

16.(6分)已知〃?，〃为正常数，离散型随机变量X的分布列如表:

X-101

Pmn

4

71

若随机变量X的数学期望E(X)=五，则租〃=_而_，P(X,,0)=

+724--=1

12

【解答】解：由题意知\，解得力n=—

123

n—m=—

12

nrn=—,P(X„0)=w+—=—.

1843

故答案为：—;—.

183

17.(4分)己知d=(l,2),6=(l,l),且不与G+zlb夹角为锐角，则2的取值范围为_2>-3

K2^0_.

【解答】解：由题意可得，a»(d+A,b)>0,且&与d+4不共线,

1+2

2-工

HP6r+zld,b>0,22+2

/.5+32>0,且zlwO

解得4>—，且4w0

3

故答案为；i>—3,且/two.

3

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.(14分)设AABC的内角A,B,。所对的边分别是a,b,c,且ccosC是aecosB与

b・cosA的等差中项.

(I)求角C；

(II)设c=2,求AABC周长的最大值.

【解答】解：(1)由题，c*cosC是。*cosB与b*cosA的等差中项，

贝|J4cosB+bcusA=2ccosC，

即sinAcosB+sinBcos>4=2sinCeosC，

即sin(A+B)=2sinCcosC，

即sinC=2sinCcosC,解得cosC='，所以C=C.

23

(2)由余弦定理及基本不等式，

c2=a2+h2-2abcos—=cT+kr-ah={a+h)2-3ah..(a+b)2-3("+')。=(。+与,

324

得a+6,,4,当且仅当a=6=2时等号成立，

故AA8C周长a+b+c的最大值为6.

19.(15分)如图，在四棱锥P-45co中，底面是菱形，ZDAB=60°,PZ)_L平面

PD=AD=1,点、E,尸分别为AB和PD中点.

(I)求证：直线AF〃平面PEC；

(II)求PC与平面丛3所成角的正弦值.

【解答】解：(I)证明：悴FM"CD交PC千M.

•.•点/为中点，

FM=-CD.

2

•.•点E为/由的中点.

AE=-AB=FM,

2

又AEIIFM,

四边形AEMF为平行四边形,

:.AF//EM,

•.乂尸仁平面尸反1,EMu平面PEC,

直线4尸//平面尸比'.

(II)已知NZMB=60。,

进一步求得：DELDC,

则：建立空间直角坐标系，

则P(0,0,1),C(0,1,0),E吟,0,0),

A4,,0),B吟,1,0).

所以：AP=(--AB=(0,1,0).

22

设平面PAB的一个法向量为：n=(x,y,z),

n-AB=0

为即=0

61,

niii----xH—y+z=0

则：J22，

y=0

解得：n=(1,0,^-),

所以平面BAB的法向量为：«=(1,0,—)

2

•••PC=(0,l,-l),

设向量为和定的夹角为e,

n-PC,442

COS0=1-----1=---

\n\\~PC\14

平面所成角的正弦值为叵.

14

20.(15分)设5“是数列｛%｝的前〃项和，(S,+2+3S,,)-(3S,,M+S,I)=2(〃..2,，?eN*),且

q=2,%=6,%=12.

(1)求证：数列｛-4｝为等差数列；

(2)求数列｛〃“｝的通项公式.

【解答】解：(1)证明：当"..2时,由(S“+2+3S“)-(3S,,+S“T)=2,

得⑸+2-S.T)-3(S.+LS“)=2,

即。,,*2+。“+|+4,-3《用=2，

整理得(限-4+1)-(%-%)=2，

则数列他7-q｝从第二项起成等差数列.

因为q=2,a,=6,4=12,

所以(%-%)-(%-4)=2，符合上式，

所以数列｛/,」-4｝是等差数列.

(2)由(1)知a“*1-a“=4+2(〃-l)=2(〃+l).

当.2时，

«„=(«„-%)+(41T-”"-2)+…+(4-«!)+«!=2w+2(n-l)+-••+2x2+2=«(«+1),

又因为4=2也符合上式,

所以a“=〃(〃+1)(/7eN").

21.（15分）定义：平面内两个分别以原点和两坐标轴为对称中心和对称轴的椭圆片，

它们的长短半轴长分别为q,4和4，瓦,若满足生=崎，b2=b^keZ,k..2）,则称心为

目的k级相似椭圆，已知椭圆月：工+三=1,E?为百的2级相似椭圆，且焦点共轴，耳与

44

刍的离心率之比为2：77.

（I）求当的方程；

（H）已知P为E?上任意一点，过点P作片的两条切线，切点分别为4（%,乂）、8（々，为）•

①证明：&在A（&,y）处的切线方程为空+岑=1；

4h

②是否存在一定点到直线他的距离为定值，若存在，求出该定点和定值；若不存在，说明

理由.

【解答】解：（I）由题意可知4=2,%=4，A=b；,

22

则e：=生a-旦h4-b-

416

/=4（4飞）=’_」

16-b：4+b,27

解月=3,仇=3,

2222

故椭圆与：\+事=1上，椭圆心：器+匕=1.

2+型=1

（II）①联立椭圆与直线方程，4303/-6k4+12-4寸=0,

厂上y1

[--4-----13=1

22

点A在椭圆:'+5=1上，有3x：+4"12=0,

所以△=36x；-12（12-4y；）=12（3d+4y,-12）=0,即直线与椭圆相切，

所以过点A的切线方程为卫+型=1,

43

②由①知，过点8的切线方程为皇+&t=1,

43

设P(x0,%),则马+算=1,则9%+16¥=144,

169

x/oI-Y)=1

两条切线都经过点P,则满足方程组43

-I必％二]