弦振动的误差分析

弦振动的误差分析连续系统是由弹性体元件组成的，以下我们讨论理想弹性体的振动。所谓理想弹性体是指满足以下三个条件的连续系统模型：均匀分布各向同性服从虎克定律弹性体具有分布的物理参数（质量、阻尼、刚度），弹性体的空间位置需用无数多个点的坐标来确定。也就是说，弹性体具有无限多个自由度。通过对一些简单形状的弹性体的振动分析，将会看到：任何一个弹性体具有无限多个自然频率以及与之相应的主振型，这些主振型之间也存在着关于质量和刚度的正交性。弹性体的自由振动也可以表示为各主振动的线性叠加，对于弹性体的动响应分析主振型叠加法仍然是适用的。弦的振动波动方程设理想柔软的细弦张紧于两个固定点之间，张力为T跨长为l，弦单位长度的质量为ρ，两支点连线方向取为x轴，与x轴垂直的方向取为y轴，如图1。图1

弦振动示意图设弦的振动发生在xoy平面内，弦的运动可表示为y=

y(x,t)。并假设弦的振动幅度是微小的，即y与∂y/∂x均为小量；在这些假设下，弦的张力T可近似地看作常量。再设重力与阻尼的影响均可略去不计。在自由振动中，弦的微元dx的受力图，如图2，运动微分方程为图2弦振动示意图故有整理得亦称为波动方程。其中c就是弹性波沿弦向的传播速度。式中弦的运动还必须满足边界条件特征方程描述弦振动的函数y(x,t)可以分解为空间函数与时间函数的乘积，即其中X(t)是振型函数，它表示整个弦的振动形态，而Y(t)表征点的振动规律。将上式代入可得：要使上式对任意的x与t都成立，必然是二者都等于同一个常数。设这一常数为α，得如下两个常微分方程取α≡-ω²。于是，上述方程可改写为可解得其中C

、D为积分常数，另外，由边界条件得得这就是弦振动的特征方程。由此可确定一系列特征值与此相应，可确定一系列特征函数，亦称振型函数。与各个特征值相对应，可确定系统的各阶自然频率弦对应于各阶自然频率的主振动为而弦的任意一个自由振动都可以表示为这些主振动的叠加，即有其中各个Ai

与Bi

由运动的初始条件确定。设在初始时刻t=0有于是有利用三角函数的正交性，可得可见，张紧弦的自由振动，除了基频（最低频率）振动外，还包含频率为基频整数倍的振动。这种倍频振动亦称为谐波振动。杆的纵向振动设杆的横截面在振动时仍保持为平面并作整体运动。略去杆纵向伸缩而引起的横截面变形。取杆的纵向作为x轴，各个截面的纵向位移表示为u(x,t)，如图3。杆的微元dx在自由振动中的受力图也在图3中给出。图3

等截面细直杆的纵向振动示意图设杆单位体积的质量为ρ，杆长为l，截面积为A，材料的弹性模量为E。再设任一x截面处，纵向应变为ε(x)，纵向张力表示为P(x)；则由材料力学知而在x=dx截面处的张力则为列出杆微元dx的运动方程，得整理得其中c²=E/ρ。仍然采用分离变量法，将u=(x,t)表示为得到类似于下式的常微分方程组由此解得U(t)与X(x)：1.

两端固定的杆这一情形与上节所述弦的振动相似。边界条件为可得到2.两端自由的杆这时，杆两端的应力必须为零，故边界条件为由此得3.一端固定一端自由的杆这时，边界条件为由此得4.一端固定一端弹性支承的杆图4

一端固定一端弹性支承的杆示意图设弹性支承刚度为k。这时，边界条件为由此得从后面一个方程可得对应于给定的a值，不难找到各个固有频率ωi

的数字解。而与各个ωi

相应的振型函数为轴的扭转振动假设轴的横截面在扭转振动中仍保持为平面作整体转动。取圆轴的轴心线作为x轴，图5轴任一x截面处的转角表示为θ(x,t)。设轴长为l，单位体积的质量为ρ，圆截面对其中心的极惯量矩为Ip，材料的剪切弹性模量为G。轴的扭转应变为∂θ/∂x，作用于微元dx两截面上的扭矩分别为及图5轴扭转振动示意图列出运动微分方程，可得整理得其中c²=G/ρ。这与前面得到的波动方程形式完全一样，故解的形式也一样。弦的横振、杆的纵振与轴的扭振都导致同一形式的波动方程。它们的运动具有共同的规律，如表1。表1弦的横振、杆的纵振与轴的扭振对比表梁的弯曲振动梁挠曲线的微分方程假设梁具有对称平面，且在弯曲振动中梁的轴线（以下称为挠曲线）始终保持在这一对称平面内。取梁未变形时的轴线方向为x轴（向右为正），取对称面内与x轴垂直的方向为y轴（向上为正）。图6梁弯曲振动示意图梁在弯曲振动时，其挠曲线随时间而变化，可表示为除了理想弹性体与微幅振动的假设外，还假设梁的长度与截面高度之比是相当大的。梁挠曲线的微分方程可表示为即上式就是等截面梁在集度为q的分布力作用下的挠曲线微分方程。弯曲振动的微分方程应用达朗伯原理，在梁上加以分布的惯性力为将上式代入方程即得等截面梁自由弯曲振动的微分方程其中a²≡EI

/ρ。上式是4阶偏微分方程，也需根据梁的支承情形附加适当的边界条件。所以，在数学上这类问题常称为偏微分方程的边值问题。常见的边界条件1.固支端该处挠度与转角都为零，即有2.铰支端该处挠度与弯矩都为零，即有3.自由端该处弯矩与剪力都为零，即有边界条件的分类：几何边界条件：对挠度或转角的限制条件。力边界条件：对弯矩与剪力的限制条件。弯曲振动的微分方程的解采用分离变量法。假设等截面梁自由弯曲振动的微分方程的解可表示为将式上代人等截面梁自由弯曲振动的微分方程，得要使上式对于任何x与t值都能成立，必须使二者都等于同一个常数，和前面关于波动方程的讨论一样，只有当这一常数取负值时，才有对应于振动运动的解。故可以把这一常数记为-ω²。于是有其通解为：Y(t)=Asinωt+Bcosωt上式是一个4阶常系数线性常微分方程，它的特征方程为其特征值为故方程通