电路邱关源第五版第四章课件

第4章电路定理本章重点4.14.2叠加定理替代定理4.34.44.5*4.6*戴维宁定理和诺顿定理最大功率传输定理特勒根定理互易定理4.7*对偶原理首页?重点:熟练掌握各定理的内容、适用范围及如何应用。返回4.1叠加定理在线性电路中，任一支路的电流(或电压)可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。1i3iGGG12231.叠加定理2.定理的证明应用结点法：is1+us2–+us3–(G2+G3)un1=G2us2+G3us3+iS1返回上页下页G2uS2G3uS3iS11un1???G2?G3G2?G3G2?G3GiGi3221或表示为：is1+us2un1?a1iS1?a2us2?a3uS3(1)(2)(3)–G3+us3–

?un1?un1?un1支路电流为：?G3G2G3G2uS3G2iS1i2?(un1?uS2)G2?()uS2??G2?G32G2?G3G2?G3(1)(2)(3)

?b1iS1?b2uS2?b3uS3?i2?i2?i2G3G2?G2G3G3iS1i3?(un1?uS3)G3?()uS2?()uS3?G2?G3G2?G33G2?G3(1)(2)(3)

?i3?i3?i3返回上页下页结点电压和支路电流均为各电源的一次结论函数，均可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。3.几点说明①叠加定理只适用于线性电路。②一个电源作用，其余电源为零电压源为零—短路。电流源为零—开路。返回上页下页G1is1i2G2+us2–i3G3+us3–=G1iis1(1)2G2i(1)3G3三个电源共同作用G1i(2)2is1单独作用G1i(3)2i(2)3+G3i(3)3+us2–+us3–G3+us2单独作用us3单独作用返回上页下页③功率不能叠加(功率为电压和电流的乘积，为电源的二次函数)。④u,i叠加时要注意各分量的参考方向。⑤含受控源(线性)电路亦可用叠加，但受控源应始终保留。4.叠加定理的应用例1求电压源的电流及功率2A4?2?解画出分电路图10?70V－+I返回上页5?下页2A4?2?I(1)10?5?＋4?2?10?70V－+(2）I5?2A电流源作用，电桥平衡：两个简单电路I?070V电压源作用：I(2)(1)?70/14?70/7?15AI?I?I(1)(2)?15AP?70?15?1050W应用叠加定理使计算简化返回上页下页例2计算电压u解(1)画出分电路图3A电流源作用：u?(6//3?1)?3?9V(2)其余电源作用：i?(6?12)/(6?3)?2A(2)(2)(1)(2)6?－6V＋3?3A＋＋12V－u－1?2Au?6i?6?2?1?8Vu?u?u?9?8?17V3A＋－u(1)1?3?6?i(2)－6V＋6?＋＋u(2)－3?＋1?12V2A－返回上页下页源单独作用，也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。i2?＋5A1?计算电压u、电流i。例3＋＋u10V2i－解画出分电路图－－注意叠加方式是任意的，可以一次一个独立i（1）2?＋10V－＋1?（1）u＋(1)2i－－＋2?i(2)受控源始终保留＋5A1?＋u(2)2i(2)－－返回上页下页i（1）2?＋10V－＋1?u（1）＋＋2i(1)－－(1)2?i(2)＋5A1?＋u(2)2i(2)－－10V电源作用：i(1)(1)?(10?2i)/(2?1)

(1)(1)(2)(2)(1)i?2A(1)u?1?i?2i?3i?6V5A电源作用：(2)i??1Au?6?2?8V2i?1?(5?i)?2i?0

(2)(2)u??2i??2?(?1)?2Vi?2?(?1)?1A返回上页下页(2)例4封装好的电路如图，已知下列实验数据：当

uS?1V,

iS?1A时，

响应

i?2A当

uS??1V,

iS?2A时，

响应

i?1A求

uS??3V,

iS?5A时，

响应

i?？解根据叠加定理研究激励和响应关系的实验方法i?k1iS?k2uS＋代入实验数据：uSk1?1k2?1i?uS?iS??3?5?2Ak1?k2?22k1?k2?1－iS无源线性网络返回上页i下页5.齐性原理线性电路中，所有激励(独立源)都增大(或减小)同样的倍数，则电路中响应(电压或电流)也增大(或减小)同样的倍数。注意①当激励只有一个时，则响应与激励成正比。②具有可加性。返回上页下页例RL=2?R1=1?R2=1?us=51V，求电流i21AR1–+21V++usR2––u'=34Vs8AR1+8V–13AR23AR1+3V–5AR2ii'=1ARL2A+2V–解采用倒推法：设i'=1Aiuu51ss则?'

即

i?'i'??1?1.5Ai'usus34返回上页下页4.2替代定理1.替代定理对于给定的任意一个电路，若某一支路电压为uk、电流为ik，那么这条支路就可以用一个电压等于uk的独立电压源，或者用一个电流等于ik的独立电流源，或用R=uk/ik的电阻来替代，替代后电路中全部电压和电流均保持原有值(解答唯一)。返回上页下页ik+uk–支路ukk–+ikik+uk–R=uk/ik返回上页下页2.定理的证明ikA+支uk路–kAik+支uk路–k＋+uk–A+uk–－－uk＋证毕!uk返回上页下页例求图示电路的支路电压和电流解i1?110/?5?(5?10)//10?

?10A替代以后有：i2?3i1/5?6Ai3?2i1/5?4Au?10i2?60Vi1?(110?60)/5?10Ai3?60/15?4A＋ii32＋110Vu10?10?－－替代5?5?＋ii1i32＋110V10?－－i15?5?注意替代后各支路电压和电流完全不变。返回上页下页替代前后KCL,KVL关系相同，其余支路的u、原因i关系不变。用uk替代后，其余支路电压不变(KVL)，其余支路电流也不变，故第k条支路ik也不变(KCL)。用ik替代后，其余支路电流不变(KCL)，其余支路电压不变，故第k条支路uk也不变(KVL)。注意①替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。返回上页下页注意②替代后电路必须有唯一解。无电压源回路；无电流源结点(含广义结点)。2.5A2.5A＋＋2?＋2?＋10V10V5V5V？+1A5V5?－1.5A－？－－－③替代后其余支路及参数不能改变。返回上页下页3.替代定理的应用1例1若使Ix?I,试求Rx8解用替代：3?I1?＋80.5?10V0.5?－I1?0.5?0.5?1IxRxI–U+0.5?0.5?I1?0.5?1?=–U'+0.5?0.5?+0.5?1I8–0.5?U''+0.5?返回上页下页I1?0.5?1?–U'+0.5?0.5?0.5?1I8–0.5?U''+0.5?11.5U'?I?1?I?0.5?0.1I2.52.51.51U''???I?1??0.075I2.58U=U'+U=(0.1-0.075)I=0.025IRx=U/0.125I=0.025I/0.125I=0.2?返回上页下页例2求电流I1解用替代：3?2?6?5?1?6?+3V－2?4?＋I14AI14?+＋6V7V–－4A7V－72?415I1????2.5A62?46返回上页下页例3已知:uab=0,求电阻R解用替代：44??uab??3I?3?0?I?1A用结点法：1Aaa＋3?uC?20V3VI8?8?122??IRI++20V20Vbb－－－RRc111?20a点

(?)ua??1244ua?ub?8VI1?1AIR?I1?1?2A12R??6Ω2返回uR?uC?ub?20?8?12V上页下页例4用多大电阻替代2V电压源而不影响电路的工作4?3A＋2?4V－I0.5A2?＋10V－1+2V－I1+2V－10?10?2?5?2?解应求电流I，先化简电路。应用结点法得：111102

(??)u1???622522I1?(5?2)/2?1.5AR?2/1?2Ωu1?6/1.2?5VI?1.5?0.5?1A返回上页下页例5已知:uab=0,求电阻R

u?0ab解?iab?icd?0用开路替代，得：ab0.5A

ubd?20?0.5?10V短路替代

u?10Vac4?＋20?30?42VR10?－1A40?cd60?25?

uR?20?1?10?30V

iR?(42?30)/4?1?2AuR30

R???15ΩiR2返回上页下页4.3戴维宁定理和诺顿定理工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的电压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说，电路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等效变换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路),使分析和计算简化。戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。返回上页下页1.戴维宁定理任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压uoc，而电阻等于一端口的输入电阻（或等效电阻Req）。iai+Reqa++uAuUoc--b-b返回上页下页例10?+20V–10?Uoc+10V––baa+应用电源等效变换2A1A+–aReq5?+15VUoc-返回5?Uocbb上页下页例10?+20V–I10?Uoc+10V––ba+应用电戴维宁定理(1)求开路电压Uoc20?10

I??0.5A20aReq5?+15VUoc-

Uoc?0.5?10?10?15V(2)求输入电阻Req

Req?10//10?5Ωb注意两种解法结果一致，戴维宁定理更具普遍性。返回上页下页2.定理的证明aiaA叠加+u–bNa+u'–b替代Aa+u''–b+u–biA中独立源置零A

u?uoc'+NReq''i

u??Reqi返回上页下页

u?u?u

?uoc?ReqiiReq+Uoc-a'''+u–bN返回上页下页3.定理的应用（1）开路电压Uoc的计算戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。计算Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法，使易于计算。（2）等效电阻的计算等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的输入电阻。常用下列方法计算：返回上页下页①当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和△－Y互换的方法计算等效电阻；②外加电源法（加电压求电流或加电流求电压）；aiaNNiu++

Req?RequRequ––ibbai③开路电压，短路电流法。Req++uuoc

Req?Uoc-iscb-23方法更有一般性。返回上页下页注意①外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变(伏-安特性等效)。②当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中。a例1计算Rx分别为1.2?、4?6?RxI5.2?时的电流I解断开Rx支路，将剩余一端口网络化为戴维宁等效电路：6?b4?10V+–返回上页下页+U2-①求开路电压464??+6??+Uoc+U1--Uoc-b6?b4?6?4?10V+–IaUoc=U1-U2=-10?4/(4+6)+10?6/(4+6)=6-4=2V②求等效电阻ReqReq=4//6+6//4=4.8?③Rx=1.2?时，+–ReqUocRxbI=Uoc/(Req+Rx)=0.333ARx=5.2?时，I=Uoc/(Req+Rx)=0.2A返回上页下页例2求电压Uo解①求开路电压UocUoc=6I+3II=9/9=1AUoc=9V66II66?––++Io?+++++IIU3?9V3?9V3?UU0C0–––––独立源置零②求等效电阻Req方法1：加压求流U=6I+3I=9II=Io?6/(6+3)=(2/3)IoU=9?(2/3)I0=6IoReq=U/Io=6?返回上页下页方法2：开路电压、短路电流(Uoc=9V)6I1+3I=96I+3I=0I=0Isc=I1=9/6=1.5A③等效电路6?–I6I+IscI1+–9V3?独立源保留+6?+U09V--返回Req=Uoc/Isc=9/1.5=6?9U0??3?3V6?33?上页下页注意计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。例3求负载RL消耗的功率解①求开路电压Uoc4I150?50?+100?40V–I14I150?50?I1+100?RL5?40V50V+––返回上页下页100I1?200I1?100I1?40200I50?200I150?+1––+I1?0.1AUoc?100I1?10V②求等效电阻Req用开路电压、短路电流法50??50++40V40V––I1I1100??100+IscUoc–Isc?40/100?0.4AUocReq??10/0.4?25ΩIsc50?50?+40V–返回Isc上页下页Req25?IL+Uoc10V–5?－Uoc?5060IL???2A25?53050V＋PL?5I?5?4?20W2L例4已知开关S1A＝2A3线性+S12?2+1A+1A+含源4VUA5?V5?U网络－-－－2V＝4V求开关S打向3，电压U等于多少。解iSc?2AUoc?4VU?(2?5)?1?4?11VReq?2Ω返回上页下页任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说，可以用一个电流源和电阻的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流，电阻等于该一端口的输入电阻。4.诺顿定理A注意bb一般情况，诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到。诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明。返回上页下页i+u-aIscReqa例1求电流I解①求短路电流IscII1=12/2=6AI2=(24+12)/10=3.6A4?Isc2?2?12V12VI–1I2+–+10?10?––24V24V++Isc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A②求等效电阻ReqReq10?2?应用分流公式Req=10//2=1.67?③诺顿等效电路:4?I-9.6A1.67?I=2.83A返回上页下页例2求电压U66??6?6?aa+1A++I6?6?3?Usc3?24V–––bb解本题用诺顿定理求比较方便。因a、b处的短路电流比开路电压容易求。33??6?6?①求短路电流Isc241243Isc?????3A6//6?323//6?63?6返回上页下页②求等效电阻ReqIsc3A1Aa＋U－b6?3?6?6?6?a4?3?ReqbReq??6//3?6?//?3//6?6??4Ω③诺顿等效电路:U?(3?1)?4?16V返回上页下页注意①若一端口网络的等效电阻Req=0，该一端口网络只有戴维宁等效电路，无诺顿等效电路。②若一端口网络的等效电阻Req=?，该一端口网络只有诺顿等效电路，无戴维宁等效电路。aAReq=0b＋Uoc－aAReq=?bIsc返回上页下页4.4最大功率传输定理一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的。ReqiAi+u–负载应用戴维宁定理+Uoc–RL返回上页下页uoc2

P?RL()Req?RL对P求导：2'2ocPPmax0RL(Req?RL)?2RL(Req?RL)

P?u?04(Req?RL)

RL?Req

Pmaxu?4Req2oc最大功率匹配条件返回上页下页例RL为何值时能获得最大功率，并求最大功率解①求开路电压UocI1?I2?UR20I1?I2?2AI1?I2?1A1010??2A2A＋I1I2R++UocLUU20??RR20––++－UURR20V20V2020––bbaaUoc?2?10?20I2?20?60V返回上页下页②求等效电阻ReqI1?I2?I2U?10I?20?I/2?20IUReq??20ΩI③由最大功率传输定理得:2oc2UR2010?II2I1+UR20?_a+U–bRL?Req?20?时其上可获得最大功率PmaxU60???45W4Req4?20返回上页下页注意①最大功率传输定理用于一端口电路给定,负载电阻可调的情况;②一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大功率时,电路的传输效率并不一定是50%;③计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便.返回上页下页*4.5特勒根定理1.特勒根定理1任何时刻，一个具有n个结点和b条支路的集总电路，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足:?ukik?0k?1b功率守恒表明任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。返回上页下页定理证明：12应用KCL:4125643b?i1?i2?i4?0?i4?i5?i6?0?i2?i3?i6?0kk2313?uik?1?u1i1?u2i2???u6i6?un1i1?(un1?un3)i2?un3i3?(un1?un2)i4?un2i5?(un2?un3)i6返回支路电压用结点电压表示上页下页un1(?i1?i2?i4)?un2(?i4?i5?i6)?un3(?i2?i3?i6)?02.特勒根定理22416542331任何时刻，对于两个具有n个结点和b条支路的集总电路，当它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足:返回上页下页22412654314654233131(uk,ik)拟功率定理?k)?k,i(ukk?ui?kk?0k?1b?i?uk?1b?0返回上页下页定理证明：123对电路2应用KCL:b????i?i?i?0124?4?i?5?i?6?0?i?2?i?3?i?6?0?i????ui?ui?ui???ui?kk112266k?1????un1i?(u?u)i?ui1n1n32n33??4?un2i?5?(un2?un3)i?6(un1?un2)i??????un1(?i?i?i)?u(?i?i?i124n2456)?2?i?3?i?6)?0?un3(?i返回上页下页①R=R=2?,U=8V时,I=2A,U=2V12s12例1②R1=1.4?,R2=0.8?,Us=9V时,I1=3A,求此时的U2解把两种情况看成是结构相同，参数不同的两个电路，利用特勒根定理2由(1)得：U1=4V,I1=2A,U2=2V,I2=U2/R2=1A由(2)得:

U1?9?3?1.4?4.8V

I1?3A????I1+R1+无源U1电阻–网络返回I2R2

I2?U2/R2?(5/4)U2?Us–+U2–上页下页2A+–?+无源4V电阻–网络?b1A+2V–3A+(5/4)U2?+无源4.8V电阻––网络?U2–b+??k?U1(?I1)?U2I2

??RkI?kIkU1(?I1)?U2I2??RkIkIk?3k?3?(负号是因为U1,

I1的方向不同

)??4?3?2?1.25U2??4.8?2?U2?1

U2?2.4/1.5?1.6V返回上页下页??例2+U1–I1I1?I2?P?++I2?U2U1––2??P?+U2–??已知：U1=10V,I1=5A,U2=0,I2=1AU2?10V求U1.解U1I1?U2(?I2)?U1(?I1)?U2I2

??U1?2I1?U1?U1??U1(?I1)?U2I2

2????U1?10??U1?(?5)?10?1

2U1?1V返回上页下页?注意应用特勒根定理：①电路中的支路电压必须满足KVL;②电路中的支路电流必须满足KCL;③电路中的支路电压和支路电流必须满足关联参考方向；（否则公式中加负号）④定理的正确性与元件的特征全然无关。返回上页下页*4.6互易定理互易性是一类特殊的线性网络的重要性质。一个具有互易性的网络在输入端（激励）与输出端（响应）互换位置后，同一激励所产生的响应并不改变。具有互易性的网络叫互易网络，互易定理是对电路的这种性质所进行的概括，它广泛的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面。返回上页下页1.互易定理对一个仅含电阻的二端口电路NR，其中一个端口加激励源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。返回上页下页?情况1+uS1–b激励线性电阻网络NR电压源响应线性电阻网络NR电流aci2dai1bc+uS2–d(a)(b)则端口电压电流满足关系：i2i1

?

或

uS1i1?uS2i2uS1uS2当uS1=uS2时，i2=i1返回上页下页注意证明:即：由特勒根定理：?uk?1?bk?kik?0

ik?0

和

?uk?1?b?uk?1b?bi?

ui?ui?uik12?k12kkk?3??b?k?3b???b?

?

u1i1?u2i2??Rkikik?0

?uk?1kki?

u1i1?u2i2??ukikk?3??b?k?3??

?

u1i1?u2i2??Rkikik?0

?两式相减，得：u1i1?2

?

u1i1?u2i2

?u2i返回上页下页??将图(a)与图(b)中端口条件代入，即:u1?uS1,

u2?0

,

u1?0,

u2?uS2

?2

?

0?i1?uS2i2

uS1i1?0?ii2i1

?

或

ui?uiS11S22即：uS1uS2+uS1–b证毕！c??a线性电阻网络NR(a)ci2dai1b线性电阻网络NR(b)返回+uS2–d上页下页?情况2激励电流源响应线性电阻网络NR(b)电压ciS2daiS1b线性电阻网络NR(a)c+u2–da+u1–b则端口电压电流满足关系：u2u1?

或

u1iS1?u2iS2iS1iS2注意当iS1=iS2时，u2=u1返回上页下页?情况3激励图a图b电流源电压源ac+i2u1–bd响应图a图b电流电压c+iS1ab线性电阻网络NR(a)线性电阻网络NR(b)uS2–d则端口电压电流在数值上满足关系：i2u1?

或

u1iS1?uS2i2iS1uS2返回上页下页注意当iS1=uS2时，i2=u1应用互易定理分析电路时应注意：①互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理想电源搬移；②互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致（要么都关联，要么都非关联)；③互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下，端口两个支路电压电流关系。④含有受控源的网络，互易定理一般不成立。返回上页下页例1求(a)图电流I，(b)图电压U?1?1?+?2?442?I+6?6?12VI12V––(a)(a)+6AU–+4?4?11??6A2?2?6?6?U–(b)(b)解利用互易定理121I???1.5A1?6//62U?3?2?6V返回上页下页例2求电流I解利用互易定理8I'?2?4//2?1//28

??2A4'I1=I?2/(4+2)=2/3AI14?8V–+a1?2?b2?2?cdI4?1?I2'=I?2/(1+2)=4/3AaI2?2?c+b2?I'8VI=I1-I2=-2/3AI2d–上页下页返回例3测得a图中U1＝10V，U2＝5V，求b图中的电流Ia2A+U1–b线性电阻网络NR(a)ac+U25?I–bd线性电阻网络NR(b)线性电阻网络NR(c)返回c2A+dc2A–解1①利用互易定理知c图的?1U–ba++–下页?1?5V(开路电压）ud上页aReqb线性电阻网络NR(c)caI5?b5?+5V–d②结合a图，知c图的等效电阻：u110Req???5Ω225I??0.5A5?5戴维宁等效电路返回上页下页a2A+U1–b线性电阻网络NR(a)ac+U25?I–bd线性电阻网络NR(b)c2A+d–解2应用特勒根定理：??u1i?ui

?

u1i1?u2i2

122??10i?5?(?2)

?

5i?(?2)?u2?0

11?i?I?0.5A1返回上页下页???例4问图示电路?与?取何关系时电路具有互易性解在a-b端加电流源，解得：?I?IUcd?U?3I??

U

?(??1)?

I?3I

??(??1)??3?IS在c-d端加电流源，解得：1?–U1?–U++aIccISa1?I3?1?IS3?++?U?U––bdbdUab???

I?3I??

U?(3??)

I??(IS??

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?(??3?????)IS返回上页下页如要电路具有互易性，则：Uab?Ucd