一次方程(组)解法及应用

精锐教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课类型C(一元一次方程及二元一次方程组的解法及应用)C（一次方程(组)的应用）T（一次方程(组)的应用）授课日期及时段教学内容一、知识梳理1、一元一次方程的定义:方程中只含有一个未知数，未知数的次数为1，等号两边都是整式的方程。2、解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3)________(4)合并同类项（5）_________3、二元一次方程组的定义:含有两个方程的方程组中有两个未知数，每个未知数所在的项的次数是1，这样的方程组叫二元一次方程组。4、解二元一次方程组的方法有哪些。5、用方程（组）解决问题的一般解法步骤：审：审题，分析题中的已知量、未知量，明确它们之间的关系。找出能表示应用题全部含义的一个相等关系。设：设合适的未知数（一般情况下求什么，就设什么为x、y），或间接设未知数。列：根据找出的等量关系列出方程（组）。解：解所列出的方程组，求出未知数的值。验：检验求出的未知数的值：1、是否适合原方程（组）2、是否符合题意。答：写出答案（包括单位名称）。题型分析题型1:解方程(1)(2)答案x=答案x=-8题型2：解方程组：(1)(2)答案：答案：题型3：行程问题方法总结:行程问题涉及一个常见的数量关系：路程=速度×时间.行程问题中，重在理顺三者的内在关系，抓住其中的一条线索——路程（或时间或速度）找相等关系，这是解题的关键.1、运动场跑道周长400m,小红跑步的速度是爷爷的倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5min后小红第一次追上了爷爷.你知道他们的跑步速度吗?题目分析：（1）请填写下表你能找出问题中的等量关系吗？请你根据相等关系列出方程，并求解。时间/min路程/min爷爷x5小红5变式训练：1、如果小红追上爷爷后立即转身沿相反方向跑，几分钟后小红再次与爷爷相遇？2、一队学生去校外进行军事训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟的时候，学校要将一个紧急通知传给队长。通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度沿原路追上去，通讯员用多长时间可以追上学生队伍？2、王超从甲地到乙地，如果每小时走千米，在规定时间内到达乙地还差千米；如果每小时走千米，则比规定时间早到分钟。求规定的时间和甲乙两地的距离．⑴设规定时间为小时，可列出方程____________________．⑵设甲、乙两地的距离为千米，可列出方程____________________．变式训练、汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45千米，就要延误30分钟到达；若每分钟行驶50千米，那就可以提前30分钟到达，求甲、乙两地之间的距离及原计划行驶的时间.【思路分析】本题可通过画线段图来表示有关量的数量关系，找到相等关系.设甲、乙两地之间的距离为x千米，原计划行驶的时间是y小时.可画出示意图，发现相等关系.解：设甲、乙两地之间的距离为x千米，根据题意列方程组得解方程组得答：甲、乙两地之间的距离为450千米，原计划行驶的时间是9.5小时.点评：如果不画线段图也能发现相等关系，则不必画线段图.在解题时注意单位统一.题型4：销售问题、报税问题

商品利润相关公式商品销售类：商品利润=售价－进价；商品售价＝标价×折扣数1、某商场在销售一种皮装时，为了吸引顾客，先按进价的150%标价，再按标价的8折（标价的80%）出售，结果每件皮装仍获利160元，问这种皮装的进价为每件多少元？题目分析：问题1：这个情境中有那些已知量？那些未知量？问题2：本题含有明显的等量关系是利润=问题3：这种皮装的进价为每件x元，则标价应是元，售价为元，列方程是例题变式：某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元；而按定价的九折出售将赚20元.问这种商品的定价是多少？2、小东的爸爸将甲、乙两种股票同时卖出，其中甲种股票卖价1200元，盈利20%；乙种股票也卖1200元但亏损20%，你能帮助小东爸爸计算一下这两种股票合计是盈利还是亏呢？盈利或是亏损多少元？解：设甲种股票的买进价是x元，根据题意得，（1+20%）x=1200解这个方程，得x=1000类似的，设乙种股票的买进价是y元，根据题意得，（1-20%）y=1200解这个方程，得y=1500.所以1200×2－（x+y）=2400－(1000＋1500)=－100答:这两种股票合计亏损100元.3、国家规定个人发表文章、出版图书所得稿费的纳税计算方法是：①稿费不高于800元的不纳税；②稿费高于800元，而低于4000元的应缴纳超过800元那部分稿费的14％的税；③稿费为4000元或高于4000元的应缴纳全部稿费的11％的税。试根据上述纳税的计算方法作答：（1）若王老师获得的稿费为2400元，则应纳税多少元？若王老师获得的稿费为4000元，则应纳税多少元？（2）若王老师获稿费后纳税420元，求这笔搞费是多少元？（6分）答案：（1）224元，440元；（2）3800元。题型5：构造二元一次方程组解决问题1、已知|3x+y–2|+(2x+3y+1)=0,求x、y的值。解析：绝对值有非负性质（即不是负数），完全平方也有非负性质，如果两个非负数相加为0，那么每一个数必须是0，于是可得到：3x+y–2=0；2x+3y+1=0.把它们组成方程组，再解方程组即可得到x、y的值。解：由绝对值及完全平方的非负性质得即由①得y=-3x+2.③把③代入②，2x+3(-3x+2)=-1,解得x=1,把x=1代入③，得y=-1.所以x=1，y=-1。点评：本题是根据两个非负数和为0，那么这两个数都为0，把原来的一个等式转化为两个方程，再组合成一个方程组，从而解决问题.这种转化的方法要注意体会.2、已知与都是方程y=kx+b的解，则k与b的值为（A）（A），b=-4; （B），b=4;（C），b=4;（D），b=-4解析：根据题意可得方程组解得，b=-4; 因此选A题型6：应用二元一次方程组求待定系数或代数式的值1.已知方程组的解是，则3.解析：本题主要考查二元一次方程组的解的意义和二元一次方程组的解法.根据方程组的解的含义，把x=2，y=1代入方程组，转化为关于a、b的方程组，解出a与b的值，问题就解决了，也可应用整体思想，直接求出a+b的值.解法1：把x=2，y=1代入方程组，得解得所以a+b=3解法2：把x=2，y=1代入原方程组，得+②得3(a+b)=9，所以a+b=3点评：运用整体思想巧求代数式的值是中考常考内容，解题时，注意观察方程组的特点，灵活运用方程组的变形技巧而进行合理、正确的解答。题型7：用方程组解决生活实际问题1、根据题意列方程组:开学报到时小刚带了新版人民币50元和10元共12张240元准备交代办费,求小刚携带50元和10元的人民币各几张？题目分析：问题中包含的两个相等关系为：新版人民币50元张数+10元张数=12张；新版人民币50元总价值+10元总价值=240元解:设小刚带50元的人民币x张,带10的人民币y张,根据题意列方程组得点评列二元一次方程组的关键是找出问题中蕴涵的相等关系.三、知识收获1、学到了哪些知识点2、学到了哪些解题的方法一、专题精讲最优选择问题某地生产的一种绿色蔬菜，在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元。当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司加工的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须用15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕。为此，公司研制了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三：将一部分蔬菜进行粗加工，其余蔬菜进行精加工，并恰好用15天完成。你认为选择哪一种方案获利最多？为什么？题目分析：解：方案一：4500×140＝630000（元）方案二：90×7500＋50×1000＝725000（元）方案三：设15天内，精加工蔬菜x吨。答：选择方案三获利最多。分类讨论问题例1、某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。（1）若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，共付9万元，请你研究一下商场的进货方案。（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号电视机的方案中，哪种能使获利最大？（3）若商场准备用9万元同时购进三种不同型号电视机共50台，请你设计进货方案。【分析】（1）注意试题中的条件“若商场同时购进其中两种不同型号电视机”，并没有指明是哪两种型号，所以本题需要分情况讨论。第（3）问中列出两个方程，但是有三个未知数，所以需要用含未知数的代数式代替另一个未知数，解出方程的整数解。【答案】（1）分情况计算：i.

设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台，则解得ii.

设购进甲种电视机x台，丙种电视机z台，则解得iii.

设购进乙种电视机y台，丙种电视机z台，则解得（舍去）答：商场的进货方案有两种：一是购甲种电视机25台，乙种电视机25台；二是购甲种电视机35台，丙种电视机15台。（2）方案一：获利25×150+25×200=8750（元）；方案二：获利35×150+15×250=9000（元）；显然，选择方案二获利最多。（3）设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台，丙种电视机z台，则解得。方案一：当y=5时，x=33，z=12。方案二：当y=10时，x=31，z=9。方案三：当y=15时，x=29，z=6。方案四：当y=20时，x=27，z=3。故共有以上四种进货方案。二、专题过关1、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4扇门，其中两扇正门大小相同，两扇侧门大小也相同，安全检查中，对4扇门进行测试，当同时开启一扇正门和两扇侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一扇正门和一扇侧门时，4分钟内可以通过800名学生。（1）求平均每分钟一扇正门和一扇侧门可以通过多少名学生？（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过4扇门安全撤离。假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4扇门是否符合安全规定？请说明理由。解：设平均每分钟一扇正门能通过x名学生，则平均每扇侧门每分钟可通过（800÷4－x)名学生2[x+2(200-x)]=560x=120200-x=80答：一扇正门平均每分钟可通过120名学生，一扇侧门平均每分钟可通过80名学生（2）学生最多为4×8×45＝1440（人）4扇门同时开启1分钟可通过的学生人数为：200×2＝4005分钟可通过的学生人数是：400×5＝2000（人）因出门率的降低实际通过的人数是：2000×80%＝1600（人）∵1600＞1440∴建造的这四扇门符合安全规定。2、水源透支问题令人担忧，节约用水迫在眉睫。针对居民用水浪费现象，某城市规定了居民每月每户用水8m，超标部分加价收费。某户居民连续两个月的用水和水费分别为12m，22元；10m，16.2元，试求该户居民每户每月用水收费标准。【思路分析】若设不超过8m的水的单价为x元/m，超过8m的水的单价是y元/m，通过下面表格理顺各个量的关系。不超过8m的水费/元超过8m的水费/元用水费/元第一个月8x（12—8）y22第二个月8x（10—8）y16.2解答：设不超过8m的水的单价为x元/m，超过8m的水的单价是y元/m。根据题意列方程组得解方程组得答：该户居民每户每月用水收费标准是：不超过8m的水的单价为1.3元/m，超过8m的水的单价是2.9元/m。点评：列表可以帮助我们尽快地理解题意，我们在解题时，不要怕麻烦，分析问题的能力会逐渐提高。三、学法提炼1、专题特点：最优选择问题，分类讨论2、解题方法：列表、画图、分类讨论3、注意事项：我们在做分类讨论题的时候，一定要考虑周全，不能说想出了一种情况就认为万事大吉了，考虑所有的可能性，看有几种情况符合题意.能力培养能力培养例1、某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包的单价也相同，随身听与书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元。（1）求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少?(2)某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱。如果他只在一家超市购买看中的两样物品，你能告诉他可以选择哪一家购买？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？解：（1）设书包的单价是x元，则随身听的单价是（4x-8)元4x-8+x=452x=924x-8=360(2)A超市：购买随身听与书包各一件需花费现金：452×80%＝361.6（元）∵361.6＜400∴可以选择超市A购买B超市：先用360元购买随身听，可得到90元返券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金：360＋2＝362（元）∵362＜400∴也可以选择在超市B购买又∵362＞361.6∴在超市A购买更省钱。例题2：学校建花坛余下24米漂亮的小围栏，某班同学准备在自己教室前的空地上，一面靠墙，三面利用这些围栏，建一个长方形的小花圃。（1）请你设计一下，若长比宽多3m，求花圃的面积。（2）请你再设计一下，改变长与宽，扩大花圃的面积，看看谁设计的花圃面积最大。解：（1）当长靠墙，设宽为x米，则长为（x+3)米x+3+2x=24x=7面积为：7×10＝70平方米当宽靠墙，设宽为y米，则y+2(y+3)=24y=6面积为：6×9＝54平方米（2）欲使面积最大，若设宽为z米，则面积为z(24-2z),其值应最大，可进行讨论：当Z＝1,2，3,4，5,6，……，寻找规律，得z=6时，面积最大。二、能力点评1、分析与确定问题中的等量关系，能用方程来描述和刻画事物间的等量关系2、探索具体问题中的数量关系和变化规律，并用方程进行描述，体验方程是刻画现实世界的一种有效模型。3、学会数学思想方法进行解题课后作业1．解方程：（1）5（＋8）＝6（2－7）＋5；（2）－＝1＋；答案（1）＝11；答案