2021年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷（含解析）

2021年山东省青岛市市北区中考数学一模试卷

一.选择题（共8小题）.

1.-2021的相反数是（）

2.一个几何体的展开图如图所示，这个几何体是（）

A

A.三棱柱B.三棱锥C.四棱柱D.四棱锥

3.5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上，这意

味着下载一部高清电影只需要1秒.将1300000用科学记数法表示应为（）

A.13X105B.1.3X105C.1.3X106D.1.3X107

4.下列图案中是轴对称图形的有（）

*卷☆十

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，

不足一尺.问木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺;

将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺.”如果设木条长为X尺，绳子

长为y尺，根据题意列方程组正确的是（）

x+4.5=y（x=y+4.5

A.<vB.<v

l+1=xlf+1=x

x二y+4.5（x+4.5=y

C.<YD,<w

1

6.如图，河坝横断面迎水坡A8的坡比为1：V2-坝高8c=4〃?，则AB的长度为（

A.B.4y/~2mC.4^/3^D.6m

7.若函数y.的图象与一次函数y=fcr+2的图象有公共点，则Z的取值范围是（)

X

A.B.人》,，且ZWO

44

C.k^—,且公£0D.

44

8.如图，正方形ABCC中，E、尸分别为BC、C。边上的点，ZEAF=45°,则下列结论

中正确的有（）

①BE+DF=EF；

CT）

②tan/AMD=而；；

③BMXDt^=MNt

④若EF=1.5,△AEF1的面积是3,则正方形ABC。的面积为4.

B

A.1个B.2个C.3个D.4个

二.填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）

9.计算：铮）_（加'-2）°=---

10.儿童节期间，游乐场里有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干白球（每个球

除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得欢动世界通票一张，

已知参加这种游戏的有300人，游乐场为此游戏发放欢动世界通票60张，请你通过计算

估计袋中白球的数量是个.

11.若一个"边形的内角和是其外角和的4倍，贝ij〃=.

12.如图，反比例函数y=区的图象上有一点A,过点A作AB_Lx轴于8,SMOB=2,则％

x

13.如图，在扇形AOB中，NAOB=90°,OA=4,以OB为直径作半圆，圆心为点C,过

点C作OA的平行线分别交两弧点D、E,则阴影部分的面积为.

14.老师用10个1C/X1CTOX1C7”的小正方体摆出一个立体图形，它的主视图如图①所示,

且图中任意两个相邻的小正方体至少有一条棱（Ie”）共享，或有一面（IcmXlc机）共

享.老师拿出一张3cm义4°〃的方格纸（如图②），请小亮将此10个小正方体依主视图

摆放在方格纸中的方格内，小亮摆放后的几何体表面积最大为cm1.（小正方体

平线垂直或平行）

图①图②

三.作图题（本题满分4分）请用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹

15.青岛地铁8号线是青岛第六条建成运营的线路，地铁沿线的两个商场A、8与两条道路

MF和ME的位置如图所示，其中ME是东西方向的道路，现需要修建一个地铁口（用点

。表示），要求点O到两个商场4、B的距离相等，到两条道路MF和ME的距离也相

等，且在NFME的内部.请在示意图中作出一个符合条件的点O.

•B

MfE

四.解答题（本题共9道小题，满分26分）

（2）若关于x的方程*+4x-c=0有两个相等的实数根，求方程的解.

17.元旦联欢会上，明明和磊磊玩掷骰子的游戏.现有一枚均匀的正方体骰子，每个面上分

别标上数字1、2、3、4、5、6.游戏规则是：明明和磊磊各掷一次骰子，若两次朝上的

点数之和是3的倍数，则明明获胜，否则磊磊获胜.

（I）用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果；

（2）你认为这个游戏规则对明明和磊磊公平吗？请说明理由.

18.近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛.如图，无人机从A处观测某建筑物至高

点。时，俯角为37°；继续水平前行10米到达8处，观测点O,此时的俯角为45°,

已知无人机的水平飞行高度为45米.求这栋楼的高度是多少米.（结果精确到0.1）（参

考数据:sin37°七0.60,cos37°-0.79,tan37°20.75,我/1.41）

19.为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，各学校都在深入开展劳动教

育.某校为了解七、八年级学生一学期参加课外劳动时间（单位：小时）的情况，从该

校七、八年级中各随机抽查了20名学生进行问卷调查，并将调查结果进行整理，描述和

分析（A：0WfV20,B：20Wt<40,C：40Wf<60,D：60Wr<80,E：80Wf（100）,

下面给出了部分信息.

七年级抽取的学生在C组的课外劳动时间为：40,40,50,55.

八年级抽取的20名学生的课外劳动时间为：10,15,20,25,30,35,40,40,45,50,

50,50,55,60,60,75,75,80,90,95.

七、八年级抽取的学生的课外劳动时间的统计量

年级平均数众数中位数方差

七年级5035a580

八年级50b50560

根据以上信息，解答下列问题:

（1）直接写出a,b,机的值；

（2）根据以上数据，在该校七、八年级中，你认为哪个年级参加课外劳动的情况较好？

请说明理由（一条理由即可）；

（3）若该校七、八年级分别有学生400人，试估计该校七、八年级学生一学期课外劳动

时间不少于60小时的人数之和.

七年级抽取的学生的课外

劳加守间的焉布统计由

20.某古代石桥有17个大小相同的桥洞，桥面平直，其中三个桥洞图案如下左图所示.每

个桥洞均可抽象成抛物线形状，其最大高度为4.5%,宽度为6m.将桥墩的宽度、厚度忽

略不计，以水平方向为横轴，建立如下右图所示的平面直角坐标系，OM=6.

（1）求0AM这条抛物线的函数关系式；

（2）如图所示，若想在桥洞距水平面3米高的内壁处，安装照明灯，请计算两盏灯P、

H之间的水平距离为多少米？

（3）若想在每个桥洞距水平面3米高的内壁处都安装照明灯，则这三个桥洞最左端的灯

与最右端灯P、Q之间的水平距离为米（请直接给出答案，无需

提供求解过

程)

21.如图，已知四边形ABC。中，对角线AC,B。相交于点0,且0A=0C,OB=OD,过

。点的线段E尸，分别交A。，8C于点E,F.

(1)求证：△A0E丝△C0F；

(2)如果请判断并证明四边形BEDF的形状.

22.六一前夕，某商场采购4、8两种品牌的卡通笔袋，已知每个A品牌笔袋的进价，比每

个8品牌笔袋的进价多2元；若用3000元购进A品牌笔袋的数量，与用2400元购进8

品牌笔袋的数量相同.

(1)求每个A品牌笔袋和每个B品牌笔袋的进价分别是多少元；

(2)该商场计划用不超过7220元采购A、B两种品牌的笔袋共800个，且其中B品牌

笔袋的数量不超过400个，求该商场共有几种进货方式；

(3)若每个A品牌笔袋售价16元，每个8品牌笔袋售价12元，在第(1)(2)问的前

提下，不计其他因素，将所采购的A、3两种笔袋全部售出，求该商场可以获得的最大利

润为多少元.

23.【学习方法】

数学中，常对同一个量(图形的面积、点的个数、三角形的内角和等)用两种不同的方

法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也称做富比

尼原理，是一种重要的数学思想.

例如：

图I,将〃行“列的棋子排成一个正方形，我们用两种不同的方法计算棋子的个数：

算法I：

类比正方形面积的计算，图形可以看作〃行棋子，每行都有〃枚，因此棋子的总数是:

nXn=n2

算法H：

沿虚线将图案分割，可以发现：

第一层虚线内有一1枚棋子，

第二层虚线内有3枚棋子，

第三层虚线内有5枚棋子…

第"层虚线内有（2〃-1）枚棋子，

则棋子总数为1+3+5+7+…+2〃-1

由此可得：1+3+5+7+…+2〃-1=序

【类比尝试】

如图2,两个边长分别为a、b,c的直角三角形和一个两条直角边都是。的直角三角形拼

成一个梯形.请用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论.

算法1：

算法II：

你发现的结论是.

经过整理，这个结论恰好可以证明我们学过的重要定理.

【拓展探究】

富比尼原理给我们重要的启发：

从同一个问题的不同角度展开探究，往往会有惊喜地发现.

问题：

〃边形有〃个顶点，在它的内部再画机个点，以这（〃?+〃）个点为顶点，把〃边形剪成

若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形.可以用含〃?、〃的代数式表示y吗？

问题探究：

为了解决这个问题，我们先从简单的情况入手：

（-）研究最简单的多边形--三角形.

三角形有3个顶点，在它的内部再画机个点，把三角形剪成若干个三角形，设最多可以

剪得y个这样的三角形，那么可以用含有m的代数式来表示y吗？

方法I：关注要素--三角形内部每增加一个点，与最多可以剪得多少个三角形之间的

关系.

从〃=3,〃7=1开始研究：

当"=3,m=1时，最多可以把原三角形剪成3个三角形；

当”=3,〃?=2时，最多可以把原三角形剪成（3+2）个三角形；

当"=3,m=3时，最多可以把原三角形剪成（5+2）个三角形；

进行从特殊到一般的归纳：

对于一般的情形，在三角形内画，"个点，第一个点将三角形分成了3个三角形，三角形

内部每增加一个点，可增加个三角形.

故〃=3时，用含有，〃的代数式表示y：

y=；

方法n：关注要素--顶点数对组成三角形的作用.

三角形的三个顶点和它内部的1个点，共4个点，以这4个点为顶点，最多可以组成3

个互不重叠的小三角形.

三角形的三个顶点和它内部的2个点，共5个点，以这5个点为顶点，最多可以组成5

个互不重叠的小三角形.

三角形的三个顶点和它内部的3个点，共6个点，以这6个点为顶点，最多可以组成7

个互不重叠的小三角形.

进行从特殊到一般的归纳：

三角形的三个顶点和它内部的m个点，共（加+3）个点，以这（胆+3）个点为顶点，最

多可以组成

个互不重叠的小三角形.

以三角形的三个顶点和它内部的m个点,可把三角形最多剪成个

互不重叠的小三角形.

（-）在四边形中研究类似的问题.

四边形有4个顶点，在它的内部再画m个点，把四边形剪成若干个三角形，设最多可以

剪得y个三角形，那么可以用含有m的代数式来表示y吗？

方法I：

对于一般的情形，在四边形内画“个点，第一个点将四边形分成了4个三角形；四边形

内部每增加一个点，可增加个三角形.

故〃=4时，用含有，〃的代数式来表示y：y=.

方法II：

四边形的四个顶点和它内部的m个点，共(瓶+4)个点，以这(〃?+4)个点为顶点，最

多可以组成个互不重叠的小三角形.

问题解决：

对于一般的情形，在〃边形内画根个点，通过多角度探究、归纳猜想和算两遍方法的验

证，可得y=(用含机、〃的代数式表示).

♦♦・•

••;•9•

•1•••・•

•••

•••

・•

■••-•

••••

•

•••

•»••

图

图2

24.已知：如图，在矩形A8CD中，AB=Scm,BC=6cm.点、P从点B出发,沿BC方向匀

速运动，速度为Icm/s；点。从点C出发，沿C。方向匀速运动，速度为2a〃/s；点E从

点。出发，沿D4方向匀速运动，速度为0.5c,"/s；点P、Q、E同时出发.对角线AC的

中点为0,连接AP、PQ、QE.设运动时间为f(s)(0<fW4),解答下列问题：

(1)是否存在某一时刻f,使EQ〃AP?若存在，求出r的值：若不存在，请说明理由.

(2)连接。尸、OE,设四边形0PQE的面积为y(cm?),求y与/的函数关系式；

(3)在直线4。上作点E关于C£>的轴对称点尸，是否存在某一时刻f,使尸、Q、尸三

点共线？若存在，直接写出，的值(不需提供解答过程)；若不存在，请说明理由.

参考答案

一.选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、

C、D的四个结论，其中只有一个是正确的.每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超

过一个的不得分.

1.-2021的相反数是（）

D

A.2021B.-2021C—―--20k

,2021

【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可.

解：-2021的相反数是2021.

故选：A.

2.一个几何体的展开图如图所示，这个儿何体是（）

A.三棱柱B.三棱锥C.四棱柱D.四棱锥

【分析】通过图片可以想象出该物体由三个长方形侧面组成，底面是三角形，符合这个

条件的几何体是三棱柱.

解：如图，考生可以发挥空间想象力可得出该几何体底面为一个三角形，由三个长方形

侧面组成，故该几何体为三棱柱.

故选：A.

3.5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000K8以上，这意

味着下载一部高清电影只需要1秒.将1300000用科学记数法表示应为（）

A.13X105B.1.3X105C.1.3X106D.1.3X107

【分析】科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值210时，〃是正数；当原数的绝对值<1时，〃是负数.

解：将1300000用科学记数法表示为：1.3X106.

故选：c.

4.下列图案中是轴对称图形的有（)

*©

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可.

解：从左到右，第一、三、四个图形是轴对称图形，第二个图形不是轴对称图形,

所以轴对称图形的个数为3个.

故选：C.

5.《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之,

不足一尺.问木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺;

将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺.”如果设木条长为x尺，绳子

长为了尺，根据题意列方程组正确的是（）

x+4.5=yx=y+4.5

A.<v

I+1=X

x=y+4.5/x+4.5=y

C.<x=f-l

y节+1x

【分析】本题的等量关系是：木长+4.5=绳长；绳长+1=木长，据此可列方程组即

可.

解：设木条长为x尺，绳子长为y尺，根据题意可得，

x+4.5=y

"jv+l=x'

故选：A.

6.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：坝高8c=4团，则A8的长度为（）

B

A.2娓mB.4C.4«加D.6m

【分析】直接利用坡度的定义得出AC的长，再利用勾股定理得出AB的长.

解：•.•河坝横断面迎水坡48的坡比为1：近,坝高BC=4m,

.BC_1

..而一亚

则AC=4衣（in'）,

故AB=4AC2+BC2=J（蚯）2+42=4«（加）•

故选：C.

4

7.若函数y十的图象与一次函数）=米+2的图象有公共点，则女的取值范围是（）

A.k^—B.左》二，目ZWO

44

C.^4，且公£0D.々W一■

44

【分析】先由两解析式组成方程组，消去y得到关于x的一元二次方程收+您-4=0,

根据题意得到此方程有两个不相等的实数根，则A=22+16K》0,然后解不等式即可求解.

，二4

解：由<Vx得kx+2=—,

y=kx+2

整理得fcr+2x-4=0,

•••图象有公共点，

A=22+4乂义4妾0,

・・---.

4

：.k的取值范围是2》-金■且kWO,

4

故选：B.

8.如图，正方形A8CZ）中，E、F分别为BC、C£>边上的点，ZEAF=45a,则下列结论

中正确的有（）

@BE+DF=EF；

CD

②tan/AA7Z）=^r；

④若EF=1.5,ZsAE尸的面积是3,则正方形ABC。的面积为4.

D

BE------LC

A.1个B.2个C.3个D.4个

（分析】①将△AZ）F绕点A顺时针旋转90。使AD与AB重合，得△A8Q,根据正方形

的性质及会等三角形的性质可得答案；②根据三角形的外角性质及三角函数可得答案；

③在AQ上取一点“，使A”=4N.连接8",利用全等三角形的性质及勾股定理可得答

案；④过点4作4RLE尸于点R,根据全等三角形的性质、角平分线的性质可得AR=AB,

然后由三角形面积公式及正方形的面积公式可得答案.

解：①将△AOF绕点A顺时针旋转90°使与AB重合，得△A8Q,

二^ABQ^/XADF,

：.ZQAB^ZDAF,AQ=AF,ZABQ^ZADF,BQ=DF,

♦.•四边形488是正方形，

/.ZBAD=ZABC=ZC=90°,AB=BC=CD=AD,

VZEAB+ZDAF+ZEAF=ZBAD=90°,且NE4F=45°,

/.ZDAF+ZEAB=45a,

：.ZQAB+ZEAB=45°,

：.ZQAE=ZFAE=45°,

VZABQ+ZABE=90Q+90°=180°,

.•.点Q、B、E共线，

在△4EQ和△AEF中，，

'AQ=EF

，NQAE=NFAE，

AE=AE

/XAEQ^/XAEF(SAS)

：.EQ=EF,

・；EQ=BE+BQ=BE+DF,

:・EF=BE+DF,故①正确；

②:/AND=NEAF+NAMD=/BDC+NAFD

：.ZAMD=ZAFD,

/.tanZAMD=tanZAFD,

在中，

tanZAFD^^,

DF

.•.tanZAMD=^.,故②正确；

Dr

③在AQ上取一点“，使AH=AN.连接BH,

在△AA/H和△AMN中，

，AH=AN

-ZHAM=ZNAM=45°，

1AM=MN

...△4MH四△AMN(5AS),

:.MH=MN,

同理，△AB4丝△ADN(SAS),

：.BH=DN,NABH=NADN=45°,

NHBM=NABH+ZAB。=90°,

在RtABMH中，MH2=BH2+B1^,

：.M砧=D^+BW,故③正确；

④过点A作ARLEF于点R,

AAER名AAEF,

：.NAEB=ZAEF,

'JABVBC,ARLEF,

：.AR=AB,

•.•S^AEF^^EF-AR,

.•.3=」XI.5,AR,

2

・・・AR=4,

:.S正方*ABC£>=4〜=16,

故④错误，

二①②③正确，

故选：C.

二.填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）

9.计算：得）一〔（而_2）°=，-.

【分析】直接利用负整数指数累的性质以及零指数幕的性质分别化简，再利用有理数的

加减运算法则计算得出答案.

解：原式=3-1

=2.

故答案为：2.

10.儿童节期间，游乐场里有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干白球（每个球

除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得欢动世界通票一张,

已知参加这种游戏的有300人，游乐场为此游戏发放欢动世界通票60张，请你通过计算

估计袋中白球的数量是24个.

【分析】设袋中共有m个球，根据摸到红球的概率求出球的总个数，即可解答.

解：设袋中共有，”个红球，则摸到红球的概率P（红球）=旦，

b-4n

...6°,60

,飞-300

解得m心24,

故答案为：24.

11.若一个〃边形的内角和是其外角和的4倍，则"=10.

【分析】利用多边形的内角和公式和外角和公式，根据一个n边形的内角和是其外角和

的4倍列出方程求解即可.

解：多边形的外角和是360°,根据题意得：

180°•（n-2）=360°X4,

解得n—10.

故答案为：10.

12.如图，反比例函数y=K的图象上有一点A,过点A作A8J_x轴于B,SMOB=2,则Z

X

【分析】根据反比例函数y=Kawo）中比例系数上的几何意义得到&A°B=4IM=2,

然后根据反比例函数性质确定火得值.

解：•.,ABLx轴，

，SAAOB="^I川=2,

Vfc<0,

:.k=-4.

故答案是：-4.

13.如图，在扇形AO3中，NAOB=90°,OA=4,以03为直径作半圆，圆心为点C,过

点C作。4的平行线分别交两弧点。、E,则阴影部分的面积为为-2y.

【分析】连接0E,如图，利用0E=4,0C=2得到NCEO=30°,ZB6>£=60°,CE

=V§OC=，然后根据扇形面积公式，利用S阴影部分=5思影BOE-SAOCE一S扇形88进行

计算.

解：连接。石，如图，

*：CE//OA,

：.ZBCE=90°,

V0E=4,0C=2,

・・・CE=«0C=2«，

：.ZCEO=30°,ZBOE=60°,

；・S阴影部分=S扇形BOE-S^OCE-S扇形scz)=§0■兀■《J---X2X2^/3-9。♦兀・21=_^

36023603

2y.

故答案为［n-2

o

14.老师用10个IcmX1c机X1cm的小正方体摆出一个立体图形，它的主视图如图①所示，

且图中任意两个相邻的小正方体至少有一条棱（lc/n）共享，或有一面（IcmXla”）共

享.老师拿出一张3CMX4C〃?的方格纸（如图②），请小亮将此10个小正方体依主视图

摆放在方格纸中的方格内，小亮摆放后的几何体表面积最大为52cm2.（小正方体

摆放时不得悬空，每一小正方体的棱均与水平线垂直或平行）

图①图②

【分析】如图，10个小正方体像俯视图中这样摆放时，几何体的表面积最大.

解：如图，10个小正方体像俯视图中这样摆放时，几何体的表面积最大,

最大值=3X6+2X10+14=52(cm2),

故答案为:52.

三.作图题（本题满分4分）请用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹

15.青岛地铁8号线是青岛第六条建成运营的线路，地铁沿线的两个商场4、8与两条道路

MF和ME的位置如图所示，其中ME是东西方向的道路，现需要修建一个地铁口（用点

。表示），要求点0到两个商场A、B的距离相等，到两条道路MF和ME的距离也相

等，且在N五ME的内部.请在示意图中作出一个符合条件的点0.

【分析】连接A8,作线段A8的垂直平分线GH,作的角平分线MP,MP交直线

G”于点。，点。即为所求.

解：如图，点尸即为所求.

四.解答题（本题共9道小题，满分26分）

16.（1）化简：（I__.x；

Ux-2Jx-2

（2）若关于x的方程"+4x-c=0有两个相等的实数根，求方程的解.

【分析】（1）先算括号里面减法，再将括号外面的除法变为乘法，因式分解后约分计算

即可求解；

（2）先根据关于x的方程2?+4x-c=0有两个相等的实数根可知△=0,由△=0求出c

的值，再把c的值代入即可求出方程的根.

解：⑴原式蓝⑹

1

（2）△=扶-4ac=16+8c=0,

解得c=-2,

2

贝ij2x+4x+2=0f

解得：Xi=X2=-1.

17.元旦联欢会上，明明和磊磊玩掷骰子的游戏.现有一枚均匀的正方体骰子，每个面上分

别标上数字1、2、3、4、5、6.游戏规则是：明明和磊磊各掷一次骰子，若两次朝上的

点数之和是3的倍数，则明明获胜，否则磊磊获胜.

（1）用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果；

（2）你认为这个游戏规则对明明和磊磊公平吗？请说明理由.

【分析】（1）列表即可得出所有等可能结果；

（2）从表格中得出所有等可能结果，从中找到点数之和等于3的倍数的结果数和不是3

的倍数的结果数，求出两者的概率即可判断.

解：（1）列表得:

123456

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)

5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)

6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)

（2）不公平，理由如下:

由表可知共有36种等可能结果，其中两次朝上的点数之和是3的倍数有12种结果，不

是3的倍数的有24种结果,

242_

1>P（都觉茯胜）=

36336--3,

..1,2

,

不公平.

18.近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛.如图，无人机从A处观测某建筑物至高

点。时，俯角为37°；继续水平前行10米到达B处，观测点。，此时的俯角为45°,

己知无人机的水平飞行高度为45米.求这栋楼的高度是多少米.（结果精确到0.1）（参

考数据：sin37°弋0.60,cos37°弋0.79,tan37°^0.75,&七1.41）

【分析】通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出至高点0到直线

48的距离0C,进而求出答案即可.

解：过点0,作0CJ_A8,交A8的延长线于点C,

由题意可知，Z0AC=31°,NOBC=45°,AB=\0m,AD=45m,

设0C=x米,

在RtZiBOC中,

VZOBC=45°,

BC=OC=xm,

在RtZ^AOC中，AC=AB+BC=(10+x)m,N。4c=37°,

；.tan37°=笃=心

20.75,

AC10+x

解得x^30.0,

即0C=30.0米,

：.OE=CE-OC=45-30.0=15.0(m),

答：这栋楼的高度约是15.0米.

19.为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，各学校都在深入开展劳动教

育.某校为了解七、八年级学生一学期参加课外劳动时间（单位：小时）的情况，从该

校七、八年级中各随机抽查了20名学生进行问卷调查，并将调查结果进行整理，描述和

分析(A：0WfV20,B：20Wf<40,C：40Wf<60,D：60Wf<80,E：80<Z<100),

下面给出了部分信息.

七年级抽取的学生在C组的课外劳动时间为：40,40,50,55.

八年级抽取的20名学生的课外劳动时间为：10,15,20,25,30,35,40,40,45,50,

50,50,55,60,60,75,75,80,90,95.

七、八年级抽取的学生的课外劳动时间的统计量

年级平均数众数中位数方差

七年级5035a580

八年级50b50560

根据以上信息，解答下列问题:

(1)直接写出mb,的值；

(2)根据以上数据，在该校七、八年级中，你认为哪个年级参加课外劳动的情况较好？

请说明理由(一条理由即可)；

(3)若该校七、八年级分别有学生400人，试估计该校七、八年级学生一学期课外劳动

时间不少于60小时的人数之和.

七年级抽取的学生的课外

劳加才间的扇布统计曲

解：(1)m%=l-(10%+20%+25%+15%)=30%,艮［J，〃=30,

•••A、B时间段的人数为20X(10%+30%)=8(人)、C时间段人数为4人,

七年级中位数。=也器=45,

八年级劳动时间的众数6=50；

(2)八年级参加课外劳动的情况较好，

理由：八年级劳动时间的方差小，劳动时间更加稳定(答案不唯一)；

(3)该校七、八年级学生一学期课外劳动时间不少于60小时的人数之和为800X

20X（15%+25%）+7

300（人）.

40

20.某古代石桥有17个大小相同的桥洞，桥面平直，其中三个桥洞图案如下左图所示.每

个桥洞均可抽象成抛物线形状，其最大高度为45",宽度为6m.将桥墩的宽度、厚度忽

略不计，以水平方向为横轴，建立如下右图所示的平面直角坐标系，。例=6.

（1）求0AM这条抛物线的函数关系式；

（2）如图所示，若想在桥洞距水平面3米高的内壁处，安装照明灯，请计算两盏灯P、

〃之间的水平距离为多少米？

（3）若想在每个桥洞距水平面3米高的内壁处都安装照明灯，则这三个桥洞最左端的灯

与最右端灯P、Q之间的水平距离为（12+2\巧）_米（请直接给出答案，无需提供

求解过

程）.

【分析】（1）设（x-h）2+k,把顶点坐标为（3,4.5）代入可得解析式；

（2）将y=3代入解出x的值可得答案；

（3）根据抛物线的平移求出以C为顶点的抛物线的解析式，把y=3代入可得Q的坐标,

根据P、Q的横坐标可得答案.

解：（1）设（x-/i）?+k,

由题意得顶点坐标为（3,4.5）,

.\y=a（x-3）2+4.5,

又;函数图像经过点（6,0）,

・,.0=。(6-3)2+4.5,

.\a=-0.5,

...y=-0.5(x-3)2+4.5；

(2)当y=3时，

3=-0.5(x-3)2+45

解得：汨=3+畲，及=3-«；

：.PH^3+73-(3-V3)=2巧”;

(3)'：OM=6m,

，以C为顶点的抛物线的解析式为y=-0.5（x-15）2+4.5,

把y=3代入可得XI=15+F，及=15-J5；

所以点Q的横坐标为15+F.

:.PQ=（15+73）-（3-«）=12+273（米）.

故答案为：（12+2«）.

21.如图，已知四边形ABCZ）中，对角线AC,8。相交于点O,且OA=OC,OB=OD,过

。点的线段E凡分别交A。，BC于点E,F.

（1）求证：△AOEgACOF；

（2）如果NEBO=NCBD,请判断并证明四边形BED尸的形状.

【分析】（1）首先证明四边形ABCO是平行四边形，再利用ASA证明△AOE丝ZXCOF；

（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明.

【解答】（1）证明：；OA=OC,OB=OD,

四边形ABCD是平行四边形，

J.AD//BC,

：.NEAO=NFCO,

在△AOE和△CO/中，

，ZEAO=ZFCO

<OA=OC，

,ZAOE=ZCOF

：./\AOE^/\COF(ASA)；

（2）解：四边形BED尸是菱形,

证明：•：/\AOE^/\COF,

：.OE=OF,

'：OB=OD,

二四边形BFDE是平行四边形,

又，：ADHBC,

：.ZEDB=ZDBC,

•:/EBD=NDBC,

：.NEDB=NEBD,

：.BE=ED,

，平行四边形8a是菱形.

22.六一前夕，某商场采购A、B两种品牌的卡通笔袋，已知每个A品牌笔袋的进价，比每

个B品牌笔袋的进价多2元；若用3000元购进A品牌笔袋的数量，与用2400元购进B

品牌笔袋的数量相同.

(1)求每个4品牌笔袋和每个H品牌笔袋的进价分别是多少元；

(2)该商场计划用不超过7220元采购A、B两种品牌的笔袋共800个，且其中B品牌

笔袋的数量不超过400个，求该商场共有几种进货方式；

(3)若每个A品牌笔袋售价16元，每个8品牌笔袋售价12元，在第(1)(2)问的前

提下，不计其他因素，将所采购的A、B两种笔袋全部售出，求该商场可以获得的最大利

润为多少元.

【分析】(1)根据用3000元购进A品牌笔袋的数量，与用2400元购进B品牌笔袋的数

量相同，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；

(2)根据该商场计划用不超过7220元采购4、8两种品牌的笔袋共800个，可以得到相

应的不等式，再根据B品牌笔袋的数量不超过400个，即可得到该商场共有几种进货方

式；

(3)根据题意，可以得到利润和A种笔袋数量的函数关系式，然后根据一次函数的性质，

即可得到该商场可以获得的最大利润为多少元.

解：(1)设每个B品牌笔袋进价为x元，则每个A品牌笔袋进价为(x+2)元，

由题意可得迎粤金典，

x+2x

解得：x=8,

经检验：x=8是原方程的解

.♦.x+2=10,

答：每个A品牌笔袋和每个B品牌笔袋的进价分别是10元、8元；

(2)设购买A品牌笔袋，”个，则购买B品牌笔袋(800-/n)个，

由题意可得10w+8(800-m)-7220,

解得：机W410,

又•：B品牌笔袋的数量不超过400个，

...800-“W400,

解得〃?2400,

...400WmW410,

•.•帆是整数，

.,.w=400,401,402,…，410,

即该商场共有11种进货方式，

答：该商场共有11种进货方式；

(3)设商场可获得利润W元，

W=(16-10)m+(12-8)X(800-m)=2机+3200,

'：k=2>0,

W随机的增大而增大，

又..FOOWmWdlO,

当〃?=410时，W最大，此时W=2X410+3200=820+3200=4020,

答：该商场可以获得的最大利润为4020元.

23.【学习方法】

数学中，常对同一个量(图形的面积、点的个数、三角形的内角和等)用两种不同的方

法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也称做富比

尼原理，是一种重要的数学思想.

例如:

图1,将〃行〃列的棋子排成一个正方形，我们用两种不同的方法计算棋子的个数：

算法I：

类比正方形面积的计算，图形可以看作“行棋子，每行都有〃枚，因此棋子的总数是：

nXn=n2

算法II：

沿虚线将图案分割，可以发现：

第一层虚线内有一1枚棋子，

第二层虚线内有3枚棋子，

第三层虚线内有5枚棋子…

第"层虚线内有（2〃-1）枚棋子,

则棋子总数为1+3+5+7+…+2〃-1

由此可得：1+3+5+7+…+2〃-1=/

【类比尝试】

如图2,两个边长分别为氏c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼

成一个梯形.请用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论.

算法I：

算法n：

你发现的结论是.（返12—=£包1.

一2一2一

经过整理，这个结论恰好可以证明我们学过的重要定理“2+〃2=02.

【拓展探究】

富比尼原理给我们重要的启发：

从同一个问题的不同角度展开探究，往往会有惊喜地发现.

问题：

〃边形有〃个顶点，在它的内部再画〃？个点，以这（，"+〃）个点为顶点，把"边形剪成

若干个三角形，设最多可以剪得），个这样的三角形.可以用含，*、〃的代数式表示y吗？

问题探究：

为了解决这个问题，我们先从简单的情况入手：

（-）研究最简单的多边形--三角形.

三角形有3个顶点，在它的内部再画〃?个点，把三角形剪成若干个三角形，设最多可以

剪得y个这样的三角形，那么可以用含有m的代数式来表示y吗？

方法1：关注要素--