新教材适用2023-2024学年高中数学第5章三角函数5.3诱导公式第2课时诱导公式二素养作业新人教A版必修第一册

第五章5.3第2课时A组·基础自测一、选择题1．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α))＝eq\f(3,5)，那么sinα等于(A)A．－eq\f(3,5) B．eq\f(3,5)C．－eq\f(4,5) D．eq\f(4,5)[解析]eq\f(3,5)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)π＋α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα，所以sinα＝－eq\f(3,5).故选A.2．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))<0，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))>0，则θ是(C)A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角[解析]由于sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝cosθ<0，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))＝－sinθ>0，即sinθ<0，所以角θ的终边落在第三象限，故选C.3．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝－eq\f(1,2)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))等于(A)A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(2),2)[解析]sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝－eq\f(1,2)，故选A.4．若sin(π＋α)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－m，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＋2sin(3π－α)的值为(D)A．－eq\f(2,3)m B．eq\f(2,3)mC．－eq\f(3,2)m D．eq\f(3,2)m[解析]由sin(π＋α)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα－sinα＝－2sinα＝－m，∴sinα＝eq\f(m,2)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＋2sin(3π－α)＝sinα＋2sin(π－α)＝3sinα＝eq\f(3,2)m.故选D.5．已知sin(π＋θ)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝2eq\r(3)cos(π－θ)，则sinθcosθ－cos2θ＝(C)A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3)－1,4) D．eq\f(1－\r(3),4)[解析]由题意得－sinθ－sinθ＝－2eq\r(3)cosθ⇒tanθ＝eq\r(3)，因此sinθcosθ－cos2θ＝eq\f(sinθcosθ－cos2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tanθ－1,tan2θ＋1)＝eq\f(\r(3)－1,4).二、填空题6．化简sin(π＋α)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))cos(π＋α)＝_－1_.[解析]原式＝(－sinα)·sinα＋cosα·(－cosα)＝－sin2α－cos2α＝－1.7．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＝eq\f(\r(3),2)，且|φ|＜eq\f(π,2)，则tanφ＝－eq\r(3)_.[解析]coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＝－sinφ＝eq\f(\r(3),2)，sinφ＝－eq\f(\r(3),2)，又∵|φ|＜eq\f(π,2)，∴cosφ＝eq\f(1,2)，故tanφ＝－eq\r(3).8．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－eq\f(5,13)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2π,3)))＝－eq\f(12,13)_.[解析]因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以α＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(7π,6))).又sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－eq\f(5,13)<0，所以α＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(7π,6)))，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))))＝－eq\f(12,13).sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2π,3)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝－eq\f(12,13).三、解答题9．化简：(1)eq\f(cosα－π,sinπ－α)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))；(2)sin(－α－5π)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))cos(α－2π)．[解析](1)原式＝eq\f(cos[－π－α],sinα)·sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))·(－sinα)＝eq\f(cosπ－α,sinα)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))·(－sinα)＝eq\f(－cosα,sinα)·(－cosα)(－sinα)＝－cos2α.(2)原式＝sin(－α－π)coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))－sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))))·cos[－(2π－α)]＝sin[－(α＋π)]coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))cos(2π－α)＝－sin(α＋π)sinα＋cosαcosα＝sin2α＋cos2α＝1.10．求证：eq\f(tan2π－αcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α))cos6π－α,tanπ－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3,2)π))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2))))＝1.[证明]左边＝eq\f(－tanα·cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－α))·cosα,－tanα·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋α)))＝eq\f(－tanα·cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))·cosα,－tanα·\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))·cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))＝eq\f(－sinα·cosα,－cosα·sinα)＝1.B组·能力提升一、选择题1．(多选题)已知A，B，C是△ABC的内角，下列等式正确的是(ABC)A．sin(A＋B)＝sinCB．cos(A＋B)＝－cosCC．tan(A＋B)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))D．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(B＋C,2)))＝sineq\f(A,2)[解析]由于A＋B＋C＝π，所以eq\f(B＋C,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(A,2)，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(B＋C,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝coseq\f(A,2)，只有D不正确．2．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是(B)A．－eq\f(2a,3) B．－eq\f(3a,2)C．eq\f(2a,3) D．eq\f(3a,2)[解析]由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，得－sinα－sinα＝－a，即sinα＝eq\f(a,2)，cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－eq\f(3,2)a.故选B.3．(多选题)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝eq\f(π,2)，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－eq\f(1,4)，下列角β中，可能与α“广义互余”的是(AC)A．sinβ＝eq\f(\r(15),4) B．cos(π＋β)＝eq\f(1,4)C．tanβ＝eq\r(15) D．tanβ＝eq\f(\r(15),5)[解析]∵sin(π＋α)＝－sinα＝－eq\f(1,4)，∴sinα＝eq\f(1,4)，若α＋β＝eq\f(π,2)，则β＝eq\f(π,2)－α.A中sinβ＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosα＝±eq\f(\r(15),4)，故A符合条件；B中，cos(π＋β)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－sinα＝－eq\f(1,4)，故B不符合条件；C中，tanβ＝eq\r(15)，即sinβ＝eq\r(15)cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±eq\f(\r(15),4)，即C符合条件；D中，tanβ＝eq\f(\r(15),5)，即sinβ＝eq\f(\r(15),5)cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±eq\f(\r(6),4)，故D不符合条件，故选AC.二、填空题4．化简eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π－α))cos－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π＋α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,2)π－α)))＝_－1_.[解析]原式＝eq\f(cos\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))cosα,sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))))cos\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))))＝eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))cosα,－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))＝eq\f(sinαcosα,－cosαsinα)＝－1.5．sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋x))＝_1_.[解析]sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋x))＝sin2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋x))))＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋x))＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋x))＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋x))＝1.三、解答题6．求值：(1)coseq\f(π,7)＋coseq\f(2π,7)＋coseq\f(3π,7)＋coseq\f(4π,7)＋coseq\f(5π,7)＋coseq\f(6π,7)；(2)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°.[解析](1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,7)＋cos\f(6π,7)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,7)＋cos\f(5π,7)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3π,7)＋cos\f(4π,7)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\f(π,7)＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,7)))))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,7)＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(2π,7)))))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\f(3π,7)＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(3π,7)))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,7)－cos\f(π,7)))＋eq\b\lc\(\rc