新教材适用2023-2024学年高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念第1课时函数的概念一素养作业新人教A版必修第一册

第三章3.13.1.1第1课时A组·基础自测一、选择题1．(多选题)下列各图中，可能表示函数y＝f(x)的图象的是(ACD)[解析]结合函数的定义可知，ACD均可能，只有B是1个x对应2个y，不满足函数的定义，故选ACD.2．设函数f(x)＝ax＋b，若f(1)＝－2，f(－1)＝0，则(B)A．a＝1，b＝－1 B．a＝－1，b＝－1C．a＝－1，b＝1 D．a＝1，b＝1[解析]由f(1)＝－2得a＋b＝－2，由f(－1)＝0得－a＋b＝0，∴a＝－1，b＝－1，故选B.3．已知函数y＝f(x)，则函数图象与直线x＝a的交点(D)A．有1个 B．有2个C．有无数个 D．至多有一个[解析]根据函数的概念可知对于定义域中的任意一个自变量x都有唯一的函数值与之对应，故选D.4．函数y＝－x2＋2x的定义域为{－1,0,1,2,3}，那么其值域为(A)A．{－3,0,1} B．{－3,0,1,3}C．{y|－3≤y≤0} D．{y|－3≤y≤1}[解析]由对应关系y＝－x2＋2x有当x＝－1时，y＝－(－1)2＋2×(－1)＝－3，当x＝0时，y＝0，当x＝1时，y＝－12＋2×1＝1，当x＝2时，y＝－22＋2×2＝0，当x＝3时，y＝－32＋2×3＝－3，所以值域为{－3,0,1}．5．函数f(x)＝eq\f(x－30,\r(x－2))的定义域为(C)A．{x|x≥2} B．{x|x>2}C．{x|x>2，且x≠3} D．{x|x≥2，且x≠3}[解析]由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3≠0，,x－2≥0，,\r(x－2)≠0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠3，,x≥2，,x≠2，))∴x>2，且x≠3，故选C．二、填空题6．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的定义域为_{x|0＜x＜1或1＜x≤2}_.[解析]观察函数的图象，图象上所有点的横坐标构成的集合为{x|0＜x＜1或1＜x≤2}，即为定义域．7．已知函数f(x)＝eq\r(x－3)，f(a)＝3，则实数a＝_12_.[解析]f(a)＝eq\r(a－3)＝3，解得a＝12.8．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为_{－1,1,3,5,7}_.[解析]∵x＝1,2,3,4,5，且f(x)＝2x－3，∴f(x)的值域为{－1,1,3,5,7}．三、解答题9．已知等腰三角形ABC的周长为10，底边长y关于腰长x的函数关系式为y＝10－2x，求此函数的定义域．[解析]∵△ABC的底边长显然大于0，即y＝10－2x>0，∴x<5.又两边之和大于第三边，∴2x>10－2x，∴x>eq\f(5,2)，∴此函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(5,2)<x<5)).10．已知函数f(x)＝eq\r(x＋5)＋eq\f(1,x－2).(1)求函数的定义域；(2)求f(－4)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))的值．[解析](1)使根式eq\r(x＋5)有意义的实数x的集合是{x|x≥－5}，使分式eq\f(1,x－2)有意义的实数x的集合是{x|x≠2}，所以这个函数的定义域是{x|x≥－5}∩{x|x≠2}＝{x|x≥－5且x≠2}．(2)f(－4)＝eq\r(－4＋5)＋eq\f(1,－4－2)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\r(\f(2,3)＋5)＋eq\f(1,\f(2,3)－2)＝eq\r(\f(17,3))－eq\f(3,4)＝eq\f(\r(51),3)－eq\f(3,4).B组·能力提升一、选择题1．(多选题)下列各式中，是函数的有(ABC)A．y＝1 B．y＝x2C．y＝1－x D．y＝eq\r(x－2)＋eq\r(1－x)[解析]根据题意，依次分析选项：对于A，y＝1，是常数函数，是函数；对于B，y＝x2，是二次函数，是函数；对于C，y＝1－x，是一次函数，是函数；对于D，y＝eq\r(x－2)＋eq\r(1－x)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≥0，,1－x≥0，))不等式组无解，定义域为空集，不是函数．2．若函数f(x)＝x2＋(a－1)x＋2，且f[f(1)]＝1，那么a的值是(C)A．－eq\f(3,2) B．－1C．－eq\f(3,2)或－1 D．eq\f(3,2)或1[解析]∵f(1)＝12＋a－1＋2＝a＋2，∴f[f(1)]＝f(a＋2)＝(a＋2)2＋(a－1)(a＋2)＋2＝2a2＋5a＋4＝1.∴2a2＋5a＋3＝0，即(2a＋3)(a＋1)＝0，∴a＝－eq\f(3,2)或a＝－1，故选C．3．(多选题)下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有(AD)A．A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数的平方B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数的开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数D．A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，f：A中的数的2倍[解析]A中，可构成函数关系；B中，对于集合A中元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系；C中，A中元素0的倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，因此不是函数关系；D中，可构成函数关系．二、填空题4．一个变量y随另一变量x变化，对应关系是“2倍加1”：(1)填表.x…1234…y…_3__5__7__9_…(2)根据表格填空：x＝2α时，y＝_4α＋1_.(3)写出解析式：y＝_2x＋1_.5．已知函数f(x)＝eq\f(\r(x),x－1)，g(x)＝f(x－3)，则g(x)＝eq\f(\r(x－3),x－4)_，函数g(x)的定义域是_{x|x≥3，且x≠4}_.[解析]g(x)＝f(x－3)＝eq\f(\r(x－3),x－3－1)＝eq\f(\r(x－3),x－4)；解不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3≥0，,x－4≠0.))∴x≥3，且x≠4.三、解答题6．给定数集A＝R，B＝{x|x≤0}，方程u2＋2v＝0.(1)任给u∈A，对应关系f使方程的解v与u对应，判断v＝f(u)是否为函数；(2)任给v∈B，对应关系g使方程的解u与v对应，判断u＝g(v)是否为函数．[解析](1)由u∈R，对应关系f使方程的解v与u对应v＝－eq\f(1,2)u2，每一个u∈R，都有唯一的v≤0与之对应，故v＝f(u)是函数．(2)因为v∈B＝{x|x≤0}，由u2＋2v＝0可得u2＝－2v≥0，此时存在v，使得2个不同的u与之对应，故u＝g(v)不是函数．C组·创新拓展已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系．(1)f(x)＝eq\f(10,x)；(2)f(x)＝2x＋eq\f(20,x).[解析](1)设矩形的长为x，宽为f(x)，那么f(x)＝eq\f(10,x).其中x的取值范围A＝{x|x＞0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)