河北省石家庄市新乐市第一中学2024届高三上学期10月月考数学试题

高三月考数学试卷一、单选题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.若函数，则（）A. B.8 C. D.3.已知的展开式中各项的二项式系数之和为256，则展开式中的常数项为（）A. B. C.40 D.704.已知1，，，4成等差数列，1，，，，4成等比数列，则的值是（）A. B. C.或 D.5.已知，，且，则的最小值是（）A.6 B.8 C.12 D.166.已知函数，，的最大值为，最小值为，则（）A.4 B.C. D.7.为响应“援疆援藏万名教师支教计划”，珠海市教育局计划从某学校数学科组的4名男教师（含一名珠海市骨干教师）和英语科组的3名女教师（含一名珠海市骨干教师）中分别选派2名男教师和2名女教师，则在有一名珠海市骨干教师被选派的条件下，两名珠海市骨干教师都被选派的概率为（）A. B. C. D.8.连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点，拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用.若的图象是一条连续不断的曲线，，的导函数都存在，且的导函数也都存在.若，使得，且在的左、右附近，异号，则称点为曲线的拐点，根据上述定义，若是函数唯一的拐点，则实数的取值范围是（）.A. B. C. D.二、多选题9.下列说法正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.命题“，”的否定是“，”C.设，则“且”是“”的必要不充分条件D.“”是“关于的方程有实根”的充要条件10.下列说法正确的是（）A.两个变量，的线性相关性越强，则变量，的线性相关系数越大B.随机变量，则C.拋掷两枚质地均匀的硬币，在有一枚正面朝上的条件下，另外一枚也正面朝上的概率为D.设随机变量，，则11.设等差数列的前项和为，且，，则下列结论正确的有（）A. B.C.数列单调递减 D.对任意，有12.已知函数是上的偶函数，，当时，，则（）A.的图象关于直线对称B.4是的一个周期C.在上单调递增D.三、填空题13.计算：______.14.已知等比数列的前项和为，，且，，成等差数列，则数列的通项______.15.已知函数，函数，若存在两个不同零点，则的范围______.16.第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有______.（用数字作答）四、解答题17.已知数列，其中前项和为，且满足，.（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的通项公式及其前项和.18.已知是定义在上的偶函数，且时，（1）求的解析式：（2）若，求实数的取值范围19.已知函数是上的奇函数，当时，取得极值.（1）求的单调区间和极大值；（2）证明：对任意，不等式恒成立.20.某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成，，，，，共6组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示（单位：小时）甲班同学学习数学平均时间的频率分布直方图乙班同学学习数学平均时间的频数分布表学习数学时间区间频数251016143（1）从甲班每天学习数学的平均时间在的人中随机选出3人，求3人中恰有1人学习数学的平均时间在范围内的概率；（2）从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况，设4人中乙班学生的人数为，求的分布列和数学期望21.已知函数（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，.22.已知数列的各项均为正数，前项和为，若.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：；（3）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数的值参考答案：1.D2.C3.D4.A5.B6.A7.C8.B9.BD 10.BD 11.BCD 12.ACD13. 14. 15.或. 16.33617.（1）证明：由题意，两边同时加3，可得，∵，∴数列是以8为首项，2为公比的等比数列.（2）解：由（1）可得，则，故.18.（1）因为是定义在上的偶函数，所以，令，则，∴时，，则（2）因为时，，又函数，由函数，与函数，复合而成，函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，故函数在上单调递减，∵是定义在上的偶函数，所以，所以不等式，可化为∴，∴或.19.（1）由奇函数的定义，应有，即，∴.因此，，由条件为的极值，得，即，解得，∴，，令，则有，列表如下：2+0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表知：函数的单调递减区间是，单调递增区间是和，.（2）证明：由（1）知，的单调递减区间是，∴在是减函数，且在上的最大值为，在上的最小值为，∴对任意，恒有.20.（1）因为乙班学生的总人数为，所以甲班中学习平均时间在内的人数为，甲班中学习平均时间在内的人数为.设“3人中恰有1人学习数学的平均时间在范围内”为事件，则；（2）甲班学习数学平均时间在区间的人数为.由频数分布表知乙班学习数学平均时间在区间的人数为3，两班中学习数学平均时间不小于5小时的同学共7人，的所有可能取值为0，1，2，3.，，，，所以的分布列为0123.21.（1）由且，当，即，则，此时在上递减；当，即，则上，上，此时在上递增，上递减：综上，时在上递减；时在上递增，在上递减；（2）由（1）知：时，要证，即证，只需证在上恒成立，令且，则，当时，递减；当时，递增；所以，即在上恒