《7切线长定理》教学设计(河北省县级优课)x-九年级数学教案

题目：§3.7切线长定理参赛号码：16教材分析：这节课是北师大版九年级下册第三章第七节的内容，是直线与圆位置关系中重点内容，是在学习了切线的性质和判定的基础上，继续对切线性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次认识。体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合，为我们证明线段、角、弧、垂直关系等提供了一个基本图形和证明依据，为进一步研究圆的数量关系做好了铺垫，起着承上启下的作用。数学核心素养：主要体现在对学生直观想象、逻辑推理方面的培养数学思想或能力：转化思想、方程思想、数形结合思想、用代数方法解决几何问题的思想，合情推理能力和初步的演绎推理能力，有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力。教学目标：知识与技能目标：了解切线长的定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关的计算；在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。过程与方法目标：经历添线、猜想、证明等数学活动过程，让学生体验到知识的生成、联系及转化过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，培养学生有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力。在解题中形成解决问题的基本策略，体验问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。情感与态度目标：了解数学的价值，对数学有好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。教学重点：理解切线长定理教学难点：应用切线长定理解决问题教法：教学方法采用引导发现法，辅之以讨论法。利用“大胆添线—提出猜想—推理验证—应用拓展”的模式进行教学。本节课是概念、定理、解题的教学，因此，要把概念教学、定理教学、解题教学有机组合，完成本节课的教学。学法：研究性学习，学生在教师引导下，去思考、猜想、探索、讨论。教学流程：复习回顾总结方法，二、大胆添线猜想验证，三、学以致用自我检验，四、总结反思自我升华，五、完成作业自我巩固教学过程：教学环节教学过程设计学生活动设计目的一、复习回顾方法总结切线的判定方法：1、和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）2、到圆心的距离等与圆的半径的直线是圆的切线（d=r）（数量法）3、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（判定定理）学生在老师带领下，不仅对上节课的知识点进行复习，同时对学习过的方法、过程进行自我总结和升华。实现温故旧知并且提高的目的，同时为“知新”打下基础。二、大胆添线猜想验证、切线长定义1、提出问题：经过圆外一点P，作已知⊙O的切线可以作几条？图1图2板书：在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.2、剖析定义：（1）找出中心词，把定义进行缩句。（线段的长叫做切线长）（2）切线和切线长的定义有何区别？（二）切线长定理：1、大胆添线猜想证明在图中适当添加若干条直线、射线和线段，在组成的新图形中，你有什么发现？（1）连接OA、OB，根据图形判断：猜想图中PA是否等于PB？∠1与∠2又有什么关系？我们来探索一下，从而进入定理教学。线段相等：PA=PB；OA=OB；角相等：∠APO=∠BPO；∠AOP=∠BOP；垂直关系：OA⊥PA；OB⊥PB；三角形全等：△OAP≌△OBP.图3（2）由（1）得出定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.积极思考，回答教师的提问此处通过学生思考得出结论，再次加深学生对概念的理解，也使学生了解切线长与切线的关系，同时由这个结论教师适时引出探索问题。学生猜想两条切线长PA与PB的数量关系，∠APO与∠BPO有什么关系？并分组讨论学生在老师的引导下学生对上述过程总结，得出切线长定理，口述得到的结论，口述证明过程。使学生了解切线长的定义，并能在具体的图形中把它们识别出来。对话式的定理教学的方式有利于激发学生的自主探索，加深对定义的理解。学生通过猜想、验证，经历了一个自主探究的过程，从而激发学生的学习兴趣，发现切线长定理。证明定理是为了培养学生的数学思维能力，“知其然并知其所以然”。培养学生合情推理能力、语言表达能力。二、大胆添线猜想验证（3）、用符号语言表示定理：∵PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点，（PA、PB分别与⊙O相切于点A、B）∴PA=PB，∠APO=∠BPO.2、继续添线大胆猜想（切线长定理基本图形的研究）（1）连接AB，如图4，与OP交于点C，在本图中，你又有什么发现？猜想：OP垂直与AB，OP平分AB你能证明吗？师生共同完成证明（2种方法）E事实上，在本图中OP所在的直线是圆O的对称轴，所以本图当中会有相等的线段、角、也会有等腰三角形及全等三角形。（PPT展示本图中所包含的综合知识）EDDFF图4图5（2）过圆上一点D，做⊙O的切线EF，如图5分别交PA、PB于E、F点，讨论△PEF的周长跟切线长有关系？结论：△PEF的周长=PE+ED=PA=2PAEE（3）做⊙O的切线EF，如图6，切点为C，则⊙O是△PEF的内切圆,如果已知EF=3，PE=4，PF=5cm，求AE的长.已知EF=a，PE=b，PF=c，则⊙O的半径。结论：r=1/2（a+b-c）EECCDFDFGFGF图6图7（4）做⊙O的切线FG，如图7，交⊙O于点D，则四边形PEFG是⊙O的外切四边形，那么他的两组对边有怎样的关系？结论：圆外切四边形两组对边的和相等口述几何应用形式并记录。大胆添线，提出猜想。每添加一条切线，能提出自己的猜想，并能根据刚学的切线长定理，结合方程思想和用代数方法解决几何题的思想，验证自己的猜想，从而得出结论。三角形的内切圆的定义学生不难理解，而例题中求AF、BD、CE的长，学生可能会无从下手．因此让学生分组讨论解题思路，并由部分学生说出解题思路。能进一步明确定理的题设和结论，正确应用定理，并为规范证明过程打下基础。随着一环紧扣一环的探索问题的深入，学生通过自主地发现问题、信息搜集与处理、表达与交流等探索活动，获得知识、技能，并获得积极的、深层次的体验，从而促进学生探究能力的发展。在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。真正做到“以参与求体验，以创新求发展”。三、学以致用自我检验1.已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C.（1）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的全等三角形.（3）如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长.2.已知：如图,PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA,PB于E,F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长.3.（德化·中考）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB=∠DCE．(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论.(2)若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径.学生尝试，运用所学知识解决实际问题，提高升华。发展应用意识，在数学活动中体验策略的多样性，发展实践能力与创新精神。通过练习，强化学生主动参与、合作交流的意识，从中获取知识，并会举一反三。教师通过练习，及时发现问题，评价教学效果。四、总结反思自我升华通过本节课的学习，1、你在知识上有什么收获？2、你在方法上有什么收获？3、你从周围同学那里，得到什么收获？学生回忆交流完成培养学生归纳概括能力，把知识纳入系统，便于学生存储、提取和应用。五、完成作业自我巩固1、作业本：A组同学：习题3.9第1、2、3、4题B组同学：习题3.9第1、2题2、练习册：p72A组同学：基础巩固和拓展提升部分B组同学：基础巩固部分根据学生情况，分类布置作业，强化本节知识点。六、微型教案板书设计*§3.7切线长定理1、切线长的定义2、切线长定理：因为PA、PB是⊙O的两条切线．所以PA=PB，∠OPA=∠OPB．3、线段相等、角相