含夹杂非均质材料扩展有限元数值模拟的改进

含夹杂非均质材料扩展有限元数值模拟的改进

有限元法是一种基于网格单元的数值计算方法。在这种方法中，单元的形状函数必须连续，材料的性能不能改变。因此，有限元法用于处理混合问题，元素的边界必须位于混合和基本元素之间的界面处。为了验证有限元法在非均质材料数值模拟中的应用效果，通过扩展有限元法和传统有限元法，我们无法严格遵循结构中几何或物理界面的边界，而是使用有限元法。在这项工作中，我们使用了有限元法，并使用了传统的有限元法，以计算包含各种圆形混合的单轴拉板的位移场，并对模拟结果进行了比较分析。1界面工艺性分析水平集法是一种可以跟踪界面的数值方法.该法将界面函数表示成了比其高一维的水平集函数.例如,二维平面R2中一维移动界面Γ(t)R2可表示成式中:φ(x,t)——水平集函数;x——考察点的坐标;t——时间.对于夹杂问题,由于界面静止,水平集函数不随时间变化.例如,圆形夹杂的水平集函数可表示为式中:nc——圆形夹杂数;xci——第i个孔洞的中心坐标;rci——第i个孔洞的半径.2扩展限制方法2.1单元处遇aj,型定义为了在传统有限元法的位移模式中考虑材料界面对位移分布的影响,需要对界面周围的结点自由度进行修正.设考察区域被分割成有限个单元,结点有m个,结点的集合为M,则任意一点的位移逼近为式中:I,J——单元结点编号;NI(x),NJ(x)——传统有限元的形函数;uI——结点位移值;ψ(x)——富集函数;aJ——改进结点的附加自由度;Mg——这些单元所处结点的集合.富集函数ψ(x)用于改进与界面相交单元的结点的位移.考察区域中任意一点的水平集函数可通过有限插值方法得到,即φI为I结点处水平集函数的值,采用文献所选取的富集函数ψ(x)=|φ(x)|,则改进单元中任意一点的改进函数为2.2扩展有限元分析的整体分析框架类似于传统有限元法,根据虚功原理导出扩展有限元法的支配方程.以结构的结点位移列阵δ为基本未知量的扩展有限元整体分析的支配方程为式中:K——整体劲度矩阵,由单元劲度矩阵ke集合而成;R——整体荷载列阵,由单元荷载列阵集合而成.单元劲度矩阵其中2.3单元应力分量的计算按上述方法求出各结点的位移后,可以计算出相应各结点的应力.若单元的结点位移列阵为δe,弹性矩阵为D,应变转换矩阵B为则应力分量的表达式为3单元刚度矩阵的计算传统有限元法的每个单元里只能有一种材料,而扩展有限元法由于网格划分时没有考虑材料类型,其一个单元里可以有几种材料.因此,需利用水平集函数φ对结点的形函数进行改进.为此,先找出那些结点所在的单元.对于任一单元,如果存在某条边上的2个结点nI,nJ使得φIφJ<0,可认为该单元与界面相交,这些单元的集合记为T,需要改进的结点集Mg由集合T中所有单元的结点组成.那些2条边与界面重合的结点不需要改进,其计算可采用传统有限元法.对单元刚度矩阵,可采用2种不同的积分方法:(a)先建立子单元与材料类型间的联系,然后用高斯积分法或其他积分法对每个单元进行积分;(b)先根据φ(x)的符号确定任一点的材料类型,然后利用高斯求积和辛普森规则或其他规则进行积分.为了能将第1种积分方法应用于二维问题,将与界面相交的单元划分为几个子三角形单元.用水平集函数φ确定界面位置.假设单元被界面上的微线段PQ分割为2部分.其中P,Q为线段与单元边的2个交点(图1).对特定边界[nIe,nJe]而言,φIeφJe<0,则交点xP可由下式确定:为了便于积分,将2个子域的形心点分别与该子域内的各个顶点相连,以形成子单元.如果离散后的界面微线段与某单元边界重合,则说明该单元未被分解.夹杂界面切割单元的方式可能有多种,图2所示是一个含椭圆夹杂的典型子单元.值得指出的是,扩展有限元法的单元分解与网格细分有着本质的区别,主要的区别表现在以下2个方面:a.单元分解的目的是为了数值积分,在离散空间中并不引入额外自由度.b.由于基函数与结点相关联,它们维系在母单元而不是分解得到的子单元上,因而通过分解得到的子三角形单元的形状对扩展有限元计算的结果没有影响.4圆形夹夹板的设置对于夹杂随机分布的复合材料,先采用随机投放方式形成夹杂随机分布的计算模型,然后再对各个模型进行网格划分,这样,工作量非常大.采用扩展有限元法,网格划分时无需考虑夹杂的具体分布,可利用十分简单的网格进行数值模拟计算.图3所示为一块含多个圆形夹杂(黑色颗粒)的单位厚度板,受竖向均布荷载,σ=1GPa.板尺寸为100mm×100mm.圆形夹杂的空间位置及半径在一定条件下随机分布.夹杂的弹性模量E=60GPa,泊松比v=0.2;基体的弹性常数为E=30GPa,泊松比v=0.25.采用扩展有限元法模拟计算时的网格如图4(a)所示(其中圆周为夹杂的几何界面,非网格线),单元总数为10000,结点总数为10201,单元剖分十分简单.采用传统有限元法模拟计算时的网格如图4(b)所示,单元总数为15006,结点总数为15195,单元剖分严格按夹杂边界进行.由图4可以看出,采用扩展有限元法,计算网格极为简单,可以极大地简化数值模拟的前处理工作.图5和图6为2种数值方法计算得到的竖向位移等值线.由图5和图6可以看出,2种数值方法得到的竖向位移等值线基本相同.扩展有限元法和传统有限元法计算得到的板的最大竖向位移分别为2.996mm和2.912mm,两者相差甚微.5数值模拟前处理内部的几何边界本文分别用扩展有限元法和传统有限元法模拟计算了一块含多个圆形夹杂的单轴受拉的板的位移场,并得到了