教版9年级数学第2章命题与证明2 2

2.2命题

下面所说的事情是真，还是假？

说一说（1）和（3）是真的，（2）和（4）是假的.

（1）太阳从东边出来； （2）雪是黑的；（3）3加5等于8； （4）3乘2等于5.结论

叙述一件事情的句子(陈述句)，如果要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命题.

如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题.

如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题．下列命题的叙述方式有什么共同点？1.如果a=b且b=c，那么a=c．观察2.如果ab=0，那么a=0或b=0．3.如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等

它们的叙述方式都是“如果……，那么……”结论

在“如果……，那么……”形式的命题中，“如果”连接的部分是条件，“那么”连接的部分是结论．

有的命题表面上看不具有“如果……，那么……”的形式，但是可以写成这种形式.例如，

“等腰三角形的两底角相等”可以写成：“如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等”．做一做1.命题“如果a是正实数，那么a有且只有两个平方根”，它的条件是

，结论是

．2.命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，它的条件是

，结论是

．a是正实数a有且只有两个平方根在直角三角形中有一个锐角是30°它所对的直角边等于斜边的一半举例例

判断下列命题是真还是假？说出理由．（1）如果a是有理数，那么a是实数；解

如果a是有理数，根据实数的定义：

“有理数和无理数统称为实数”，得出a是实数.因此命题(1)为真．（2）如果a是实数，那么a是有理数．解

是实数，因此命题(2)为假．但是不是有理数.结论

像此例的第(1)题那样，从一个命题的条件出发，通过讲道理(推理)，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫作证明.

像此例的第(2)题那样，找出一个例子，它符合命题的条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题为假，这个过程叫作举反例.（1）如果a是有理数，那么a是实数；解

如果a是有理数，根据实数的定义：“有理数和无理数统称为实数”，得出a是实数.因此命题(1)为真．（2）如果a是实数，那么a是有理数．解

是实数，因此命题(2)为假．但是不是有理数.结论

在此例中，命题(2)的条件和结论分别是命题(1)的结论和条件，这样的两个命题称为互逆的命题，其中的一个叫作另一个的逆命题.（1）如果a是有理数，那么a是实数；解

如果a是有理数，根据实数的定义：“有理数和无理数统称为实数”，得出a是实数.因此命题(1)为真．（2）如果a是实数，那么a是有理数．解

是实数，因此命题(2)为假．但是不是有理数.结论

从此例看到，命题(1)为真，但是它的逆命题为假.这表明一个命题为真不能保证它的逆命题为真，逆命题是否为真需要具体问题具体分析．（1）如果a是有理数，那么a是实数；解

如果a是有理数，根据实数的定义：“有理数和无理数统称为实数”，得出a是实数.因此命题(1)为真．练习1.说出下列命题的条件和结论，并且指出它是真命题还是假命题：（1）如果△ABC为等边三角形，那么它的每个内角都为60°；（2）如果△ABC的每个内角都为60°，那么△ABC

是等边三角形．答：真命题答：真命题2.第1题中的命题(2)是不是命题(1)的逆命题？答：是（1）如果△ABC为等边三角形，那么它的每个内角都为60°；（2）如果△ABC的每个内角都为60°，那么△ABC是等边三角形．3.判断下列命题是真还是假？说出理由．答：真命题（1）如果m是自然数，那么m是整数；（2）如果m是整数，那么m是自然数．答：假命题4.第3题中的命题(2)是不是命题(1)的逆命题？答：是（1）如果m是自然数，那么m是整数；（2）如果m是整数，那么m是自然数．课堂小结

叙述一