2022-2023学年北京市昌平区实验学校高二上学期期中考试数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat12页2022-2023学年北京市昌平区实验学校高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．设i为虚数单位，复数，，则在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】先求得，由此求得对应的点的坐标，进而求得对应点所在的象限.【详解】，在复平面内对应的点为，在第三象限.故选：C.【点睛】本小题主要考查复数减法运算，考查复数对应点所在的象限.2．如图，在长方体中，化简（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】解：如图：，故选：A.3．已知是直线，、是两个不同平面，下列命题中是真命题的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】C【分析】根据线面平行的性质及面面位置关系判断A，由线面平行的性质及面面垂直的性质判断B，由线面平行的性质及线面垂直的性质，结合面面垂直的判定定理判断C，由线面平行的性质和面面平行的性质判断D.【详解】对于A，若，，则或，错误；对于B，若，，则或或与相交（含），错误；对于C，若且，则存在过的平面，有，于是，所以，正确；对于D，若，，则或，错误.故选：C.4．设，，则的中点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用中点坐标公式直接得解.【详解】，，的中点的坐标为故选：C5．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由直线方程求出斜率，再由斜率求出直线的倾斜角【详解】解：设直线的倾斜角为，由直线可知其斜率为，所以，因为，所以，故选：B【点睛】此题考查由直线方程求直线的倾斜角，属于基础题.6．已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根据直线平行求出斜率，在代入点斜式方程求解即可.【详解】因为直线与直线平行，所以直线的斜率为，又直线经过点，所以直线的方程为，即.故选：D.7．直线与直线间的距离等于（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接由平行线间的距离公式求解即可.【详解】直线即为，直线即为，因为两直线平行，所以距离，故选：B.8．圆：与圆：的位置关系是（

）A．内含 B．内切 C．相交 D．外切【答案】B【分析】根据两圆的圆心距与两圆半径和差的比较即可判断两圆位置关系.【详解】因为圆：的圆心，半径为，圆：的圆心，半径为，所以两个圆的圆心距，又两个圆的半径差为，所以圆与圆的位置关系是内切.故选：B.9．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依题意可得，即可求出、，再根据，即可求出，从而求出双曲线方程，最后求出渐近线方程；【详解】解：依题意，所以，又，所以，所以双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为；故选：C10．已知椭圆：的离心率，短轴的右端点为，为线段的中点，则椭圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由点的坐标求得，通过离心率求得，即可求解椭圆方程.【详解】因为为线段的中点，且，所以，又椭圆的离心率，所以，所以，所以椭圆的标准方程为.故选：B.

二、填空题11．已知直线：，：，若，则实数【答案】【分析】根据已知条件结合直线垂直的性质列式求解即可.【详解】因为直线：，：，且，所以，解得.故答案为：.12．点到直线：的距离是【答案】【分析】直接代入点到直线的距离公式求解即可.【详解】点到直线：的距离是.故答案为：.13．圆上的点到原点距离的最小值等于．【答案】【分析】先求得圆的圆心到原点距离，再减半径即可.【详解】圆的圆心到原点距离为：，又圆的半径为1，所以圆上的点到原点距离的最小值等于，故答案为：14．已知双曲线C：的渐近线方程为，则C的离心率为.【答案】【分析】由题意可得，然后由可求得结果.【详解】因为双曲线C：的渐近线方程为，所以，所以离心率，故答案为：15．设分别为椭圆：的左、右焦点，点为椭圆的左顶点，点为椭圆的上顶点，且，，则椭圆的标准方程为【答案】【分析】根据题意列出基本量满足的等式化简即可.【详解】因为，故，又，故，，解得，故椭圆的标准方程为.故答案为：三、解答题16．在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值【答案】（1）B=60°（2）【详解】（1)由正弦定理得【考点定位】本题主要考查三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理17．已知的三个顶点坐标分别为、、(1)求边所在直线的方程；(2)求边的垂直平分线所在直线的方程【答案】(1)(2)【分析】（1）利用斜率公式求出直线的斜率，代入点斜式即可求解；（2）利用中点坐标公式求出的中点坐标，然后利用相互垂直的直线斜率关系求出斜率，代入点斜式即可求解.【详解】（1）直线的斜率为，且，所以边所在直线的方程为，即.（2）因为、，所以的中点为，又直线的斜率为，所以边的垂直平分线所在直线的斜率为，所以边的垂直平分线所在直线的方程为，即.18．已知圆：(1)求过点与圆相切的直线方程(2)若直线与圆交于两点，求弦的长【答案】(1)或(2)【分析】（1）讨论切线斜率是否存在设方程，利用相切时圆心到直线的距离等于半径列关系计算即得结果；（2）计算到直线AB的距离d，再利用弦三角形的勾股定理，即得弦长.【详解】（1）圆方程可化为，则圆心，半径为1，由，可得点在圆外，当过点的直线斜率存在时，设切线的方程为，即，则圆心到切线的距离为，解得，所以切线方程为，即，当过点的直线斜率不存在时，切线方程为，此时直线与圆相切，所以切线方程为或；（2）直线方程为，则圆心到直线的距离，直线与圆相交，所以.19．如图，在长方体中，，，点在上，且

(1)求直线与所成角的余弦值(2)求点到平面的距离【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与直线所成角的余弦值.（2）先求出平面的法向量，然后利用向量法求得点到平面的距离.【详解】（1）由题意，建立如图所示空间直角坐标系，

，设直线与直线所成角为，则.（2）由题意，设平面的法向量为，则，令，可得，又，所以到平面的距离为.20．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点(1)求证：(2)求直线与平面所成角的正弦值(3)求平面与平面的夹角的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标公式计算得向量垂直，从而证明线线垂直；（2）利用空间向量线面角公式进行求解即可；（3）利用面面角的向量求法进行求解即可；【详解】（1）因为底面，且四边形是矩形，所以，，两两垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则、、、、、，所以，，所以，所以，得证；（2）设平面的法向量为，，，由，取，可得，又，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）易知平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.21．已知椭圆：的一个顶点为，且离心率为(1)求椭圆的方程(2)已知点坐标为，直线与椭圆交于两点，求的面积(3)若直线：与椭圆交于、两点，且，求的值【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据椭圆的顶点求得，再根据离心率及求解，由此求出椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求出弦长，再利用点到直线的