课题：用向量法求点到平面的距离

用向量法求点到平面的距离1^1教材版本：北师大学科：数学年级：高二册别：选修2-1章节：第二章第六节一、 教学目标1、 知识目标：通过本节的教学使学生理解立体几何中点到平面的距离的概念，掌握利用向量法计算点到平面的距离。2、 能力目标：培养学生观察、探索、分析、转化、发散思维能力。3、 情感目标：采用师生、生生互动的学习方法，激发学生学习立体几何的积极性。二、 教学重点与难点重点：用向量法求点到平面的距离。难点：向量法求点到平面的距离的步骤（引入）。三、 教学方法：讲授法、讨论法、启发法四、 利用多媒体辅助教学五、 教学过程（一） 回忆以前学过的求点到平面的距离方法。方法一：直接找点在平面内的射影。方法二：转化为过这点的直线与平面的距离。方法三：利用等体积法。（二） 直接点出新课，怎样利用向量法求点到平面的距离呢？（师生互动）［投影］已知平面。与平面a外一点A作图：过A点作AA'L平面^，则AA是点A到平面。的距离，怎样计算呢？①已知A（x,），乙），在平面a内0 0 0

任取一点P(X,y,z)；1 1 1②求平面Q的一个法向量/AP-v③AP-y=1API・IyI-cos<AP-y>，IAPIcos<AP-y>=——；—IyI④点A到平面a的距离d=!此史IyI应用举例(出示投影)例1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求点A到平面A1BD的距离。师生互动，在黑板上写出解题过程。DA=(1,0,0),DB=(1,1,0),DA]=(1,0,1)。解:如图建系，DA为x轴，DC为y轴，DD］为Z轴，A(1,0,0)，DA=(1,0,0),DB=(1,1,0),DA]=(1,0,1)。设平面A]BD的一个法向量y=(1,y,z)，DB-y=0=(1+y=0^p=T，<DA1.y=0n[1+z=0n[z=T，TOC\o"1-5"\h\z …、 IrA；/i1 5y=(1,-1,-1)，点A到平面A1BD距离d=1DA.•yI=上=£IyIv3 3方法二：切割，利用等体积法Vqabd=匕-ABD1 1

方法三：直接找A点在平面A1BD内的射影，通过解三角形，求点A到平面A1BD的距离。一1一1、 …如,。,。），E"），C"1），（四）课内练习1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E、F分别为BB］、DD］的中点。求点D1到平面AEC1F的距离。方法一：利用向量法求解。解：如图建系，DA为］轴，DC为y轴，DD1为z轴， 一…1、 . . "时，叫=（O,％）,FE=顷）,AC广（-顷），设平面AEC1F的一个法向量为§=3,>,1），f FE-y=0<——-八nAz〔A*y=0

Az・H二（1，-1，i），d=四H22 IyI1 _<6114="6"+—+1\44方法二：利用等体积匕-1 _<6114="6"+—+1\44方法二：利用等体积匕"AEFC1=VD__AEF+匕*=Jf+VE*F解法三：连结D]B、A1C1交于O点，连结Aq；EF交于G点，连OG。VD1B1//EF,AD1BEF交于G点，连OG。..•点D1到平面AEC1F的距离，转化为D1B1到平面AEC1F的距离，即O点到平面AEFC1（解题过程课后完成）切割编题：已知四棱维D-AECF底面边长为W的菱形，DA二巨，DF=1，DC=1，DE=31 1 2 1 1 2 11 1 2求D1到平面AEC1F的距离。起到化难为易的效果?注：一个几何体往往是以标准的几何体为载体，通过补形，构造图形，起到化难为易的效果?（五）课堂小结1、 用向量化求点到平面距离的步骤已知A3,y,z），在平面内找点P（x,y,z），计算AP；0 0 0 1 1 1求平面a的一个法向量y；③公式d=IAP・y|。I