2023-2024学年河南省济源市第六中学高一上学期9月月考数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat12页2023-2024学年河南省济源市第六中学高一上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知复数是纯虚数（i是虚数单位），则实数a等于（

）A．−2 B．2C． D．−1【答案】C【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，根据复数的概念，列出方程，即可求解.【详解】根据复数的运算法则，可得，因为复数是纯虚数，所以且，解得.故选：C．2．下列说法正确的是A．若与共线，则或者B．若，则C．若中，点满足，则点为中点D．若，为单位向量，则【答案】C【详解】分析：由与共线可得，错误；由与可以同垂直于可得错误；由向量加法法则可得正确；由单位向量方向不确定得错误.详解：由与共线得，故“若与共线，则或者”不正确，错误；由与可以同垂直于可得“若，则”不正确，错误；由平面向量加法法则可得“若中，点满足，则点为中点”正确，正确.由单位向量的方向不确定得“若，为单位向量，则”不正确，错误，故选C.点睛：本题主要考查平面向量的基本概念与基本运算，意在考查学生对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.3．已知复数满足，则复数的共轭复数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先利用复数的乘法化简复数，再求其共轭复数即可.【详解】依题意得：，故，故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法运算，涉及共轭复数的求解，属基础题.4．已知点，，，且满足，若点在轴上，则等于A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得，∴．设点的坐标为，∵，∴，∴，解得．故选：C．5．在△ABC中，，则边AC上的高为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由点B向AC作垂线，交点为D，设AD＝x，则CD＝4﹣x，利用勾股定理可知和中分别用勾股定理求，建立方程求解的值，再利用勾股定理求得BD.【详解】由点B向AC作垂线，交点为D.设AD＝x，则CD＝4﹣x，∴，解得.故选：B.【点睛】本题主要考查了三角形中勾股定理的应用.属基础题.6．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC等于（）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，，所以.故选C.7．已知向量，其中，且，则向量和的夹角是（

）A． B． C． D．π【答案】A【分析】先根据垂直关系计算得到，再根据夹角公式计算夹角.【详解】由题意知，∴.设向量和的夹角θ，则，又所以θ＝.故选：A8．在锐角三角形中，分别是内角的对边，设，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【详解】由正弦定理得：，为锐角，即，且为锐角，,所以，即，，则的取值范围是，故选A.二、多选题9．已知集合，其中为虚数单位，则下列属于集合的元素是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】先求得集合，然后结合复数运算对选项逐一计算，由此确定正确选项.【详解】依题意，，A错误，，B正确，，C正确，，D错误.故选：BC.10．设是两个非零向量，则下列描述正确的有（

）A．若，则存在实数使得B．若，则C．若，则在方向上的投影为D．若存在实数使得，则【答案】AB【分析】若，则反向，从而；若，则，从而可得；若，则同向，在方向上的投影为若存在实数使得，则共线，但是不一定成立.【详解】对于选项A，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得；对于选项B，若，则，,可得；对于选项C，若，则同向，在方向上的投影为;对于选项D，若存在实数使得，则共线，但是不一定成立.故选：AB.【点睛】本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.三、单选题11．在中，若，则该三角形的形状是(

)A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】利用对数的运算法则可求得，利用正弦定理求得,根据余弦定理求得的表达式进而建立等式，整理求得,判断出三角形为等腰三角形.【详解】，,由正弦定理可得，，，整理得，的形状是等腰三角形，故选A.【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.12．已知向量，满足，，若不等式对任意实数恒成立，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，设与的夹角为，分析可得恒成立，变形可得恒成立，结合二次函数的性质分析可得，即，结合的范围分析可得答案．【详解】解：根据题意，设与的夹角为，若不等式对任意实数恒成立，即恒成立，即恒成立，又，,则有恒成立，必有，故有，即，又由，则；故选：C．四、填空题13．已知平面向量，满足，，与的夹角为，则的值为.【答案】【分析】计算，得到答案.【详解】，故.故答案为：.【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.14．在△ABC中，已知C＝120°，sinB＝2sinA，且△ABC的面积为，则AB的长为．【答案】【解析】由正弦定理可得，，代入三角形的面积公式可求，，然后由余弦定理可求．【详解】解：，由正弦定理可得，，，，，由余弦定理可得，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的简单应用，属于基础题．15．已知的面积为，且，，则的长为.【答案】【分析】求得的值，利用三角形的面积公式求得，结合余弦定理可求得的值，即为所求.【详解】在中，，所以，由，，由余弦定理得，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积公式以及同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于中等题.16．在中，，，，，，，则的值为.【答案】4；【分析】运用向量的数量积的定义和向量的三角形法则，结合向量的平方即为模的平方，注意运用平面向量基本定理，将所有向量统一为、的式子，计算即可得到．【详解】解：由，，，即有，则．故答案为：4．【点睛】本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．五、解答题17．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求的值.【答案】【分析】在△CBA中根据余弦定理得，再利用正弦定理求解即可【详解】在△CBA中，AB=40，AC=20，∠BAC=，由余弦定理得由正弦定理得，，18．为何实数时，复数在复平面内所对应的点（1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）位于第四象限．【答案】（1）（2）（3）【详解】试题分析：（1）根据复数概念得虚部为零，解得值，（2）根据复数概念得实部为零，解得值，（3）根据复数几何意义得实部大于零，虚部小于零，解得.试题解析：（1）若复数所对应的点在实轴上则，则；（2）若复数所对应的点在虚轴上则，则；（3）若复数所对应的点在第四象限19．在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，记△ABC的面积为S，若（1）求角A的大小；（2）若c=7，cosB=，求a的值.【答案】（1）；（2）5.【分析】（1）运用面积公式及向量的数量积，得到，从面求出；（2）由题意求出，再用正弦定理求出.【详解】（1）由，得因为，所以因为，所以（2）中，，所以，所以.由正弦定理，得，解得20．已知向量，，．（1）若，求，的值；（2）若向量满足，，求的坐标．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）由结合已知条件可得，从而可求出，的值；（2）设，求出，的坐标，再由‖和，列方程组，从而可求出的值，进而可得的坐标【详解】解：（1）向量，，，由，所以，所以，解得；（2）设，则，，由‖，且，所以，解得或，所以或．21．在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若．（1）求角A；（2）若的面积为，求的周长．【答案】（1）；（2）12.【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得sinAsinB=sinBcosA，求得tanA=，结合范围A∈（0，π），可求A=．（2）利用三角形的面积公式可求bc=8，由余弦定理解得b+c=7，即可得解△ABC的周长的值．【详解】（1）由题意，在中，因为，由正弦定理，可得sinAsinB=sinBcosA，又因为，可得sinB≠0，所以sinA=cosA，即：tanA=，因为A∈（0，π），所以A=；（2）由（1）可知A=，且a=5，又由△ABC的面积2=bcsinA=bc，解得bc=8，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得：25=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc=（b+c）2-24，整理得（b+c）2=49，解得：b+c=7，所以△ABC的周长a+b+c=5+7=12．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．