2023-2024学年湖南省岳阳市第十三中学高一上学期入学考试数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat17页2023-2024学年湖南省岳阳市第十三中学高一上学期入学考试数学试题一、单选题1．下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据已知条件，结合二次根式的运算法则，以及三角函数的特殊角的取值，即可求解．【详解】对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C错误；对于D，，D错误．故选：B2．将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行线的性质，结合三角板的特征进行求解即可.【详解】如图所示：因为，所以所以，故选：C．3．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据完全平方公式求解即可．【详解】因为，所以，故选：C4．世界近代三大数学难题之一哥德巴赫猜想于年由哥德巴赫在给欧拉的信中提出：任一大于的偶数都可写成两个奇素数之和这个猜想至今没有完全证明，目前最前沿的成果是年我国数学家陈景润证明了“”，即他证明了任何一个充分大的偶数，都可以表示为两个数之和，其中一个是素数，另一个或为素数，或为两个素数的乘积，被称为“陈氏定理”我们知道素数又叫质数，是指在大于的自然数中，除了和它本身以外，不能被其他自然数整除的数请问同学们，如果我们从不大于的自然数中任取两个不同的数，这个两个数都是素数有多少种不同的情况？（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，分析可得有个符合题意的素数，由列举法可得答案.【详解】根据题意，在不大于的自然数中，素数有、、、，共个，则取出个数都是素数的取法有,,,,,共6种，故选：A．5．下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()A． B． C． D．【答案】C【分析】根据中心对称图形，轴对称图形的定义，结合选项即可得解．【详解】由中心对称图形，轴对称图形的定义可知，选项C符合题意，其他选项均不符合．故选：C6．中，若：：：：，为的重心，则面积：面积：面积（

）A．：： B．：： C．：： D．：：【答案】D【分析】由重心的性质判断．【详解】如图所示，延长三条线分别交三角形三边于三点，由重心的概念知其为各边的中点，则的面积的面积，的面积的面积，所以，同理可证明．所以面积：面积：面积：：．故选：D7．如图，在平行四边形中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，则阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】过点作，求出，再结合扇形面积公式，即可求解．【详解】解：过点作，如图所示：，则，,则梯形AECD的面积，扇形ADE的面积所以阴影部分面积为．故选：B．8．在某种浓度的盐水中加入“一杯水”后，得到新的盐水，它的浓度为，又在新盐水中加入与前述“一杯水”的重量相等的纯盐后，盐的浓度变为，那么原来盐水的浓度为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据溶液浓度溶质，可得到两个方程，解方程组即可．【详解】解：设原盐水溶液为克，其中含纯盐克，后加入“一杯水”为克，依题意得：，解得，故原盐水的浓度为，故选：B．9．一条抛物线的顶点为，且与轴的两个交点的横坐标为一正一负，则、、中为正数的（

）A．只有 B．只有 C．只有 D．只有和【答案】A【分析】根据有两根和顶点坐标的符号确定，的符号，再根据韦达定理确定的符号．【详解】解：因为与轴有两个交点所以时，，即，设两根为，因为顶点为，所以，所以，．又因为与轴的两个交点的横坐标为一正一负，所以，因为，所以．故选：A10．反比例函数与一次函数在同一坐标系中的图象只能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用反比例函数与一次函数的性质，对分类讨论，判断符合的选项.【详解】当时，，反比例函数在上应有，且单调递减，而一次函数的斜率大于，故此时，A、B、C、D都不可能．当时，，反比例函数在上应有，且单调递增，而一次函数的斜率满足，故只有B成立．当时，，反比例函数在上应有，且单调递增，而一次函数的斜率满足，故此时，A、B、C、D都不可能，故选：B．11．如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第个图形需要根小木棒，拼第个图形需要根小木棒，拼第个图形需要根小木棒若按照这样的方法拼成的第个图形需要根小木棒，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】拼第个图形需要根小木棒，拼第个图形需要根小木棒，拼第个图形需要根小木棒，从而拼第个图形需要根小木棒，由此能求出．【详解】解：拼第个图形需要根小木棒，拼第个图形需要根小木棒，拼第个图形需要根小木棒，则拼第个图形需要根小木棒，解得．故选：B．12．如图所示，已知三角形为直角三角形，为圆切线，为切点，，则和面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接OC,过点B作于M.利用几何关系证明出，得到，即可求解.【详解】如图,连接OC,过点B作于M.∵BC是⊙O的切线,OC为半径,∴,即.∵DE是⊙O的直径,.又∵，∴.∵∴∴∴.故选：B.二、填空题13．已知实系数一元二次方程的两根分别为，且，则实数m的值为.【答案】【分析】利用韦达定理求出，再根据即可得解.【详解】由题意可得，解得或，，则，解得.故答案为：.14．对于实数，，定义符号，其意义为：当时，；当时，例如：，若关于的函数，则该函数的最大值为．【答案】【分析】根据符号的意义，结合函数图像求解即可．【详解】在平面直角坐标系中画出和的图像，根据符号的意义可知，截取交点及其下方的图像，得到函数的图像：联立方程，解得．所以函数最大值为.故答案为：．15．火车匀速通过长米的铁桥用了秒，如果它的速度加快倍，通过米长的铁桥就只用了秒，求这列火车的长度为．【答案】米【分析】根据速度、时间、路程之间的关系进行求解即可.【详解】解：火车以原来的速度通过米长的铁桥，要用秒，火车原来的速度为米秒，火车的长度为米．故答案为：米．16．如图，是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点.连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF.连接AF，EF，DF，则周长的最小值是.【答案】/【分析】由已知条件可得，则得，作点关于的对称点，连接，设交于点，则当三点共线时，取得最小值，再结合已知条件可求出周长的最小值【详解】点为高上的动点.将绕点顺时针旋转得到，且是边长为6的等边三角形，，，点在射线上运动，如图，作点关于的对称点，连接，设交于点，则，在Rt中，，则，则当三点共线时，取得最小值，即，，，在中，，周长的最小值为.故答案为：.三、解答题17．计算：(1)；(2)解方程：．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据零次幂的性质、算术平方根的意义、特殊角的余弦值、负整数幂的运算性质进行求解即可；（2）根据绝对值的性质分类讨论进行求解即可.【详解】（1）；（2）当时，，解得，故，当时，，解得，故，综上所述，原方程的解为或．18．某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”的活动，推出了以下四种选修课程：绘画；唱歌；演讲；十字锈学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图请结合统计图中的信息，解决下列问题：(1)这次学校抽查的学生人数是_____；(2)将条形统计图补充完整；(3)求扇形统计图中，课程部分的圆心角的度数；(4)如果该校共有名学生，请你估计该校报的学生约有多少人？【答案】(1)人(2)图见解析(3)(4)人【分析】由条形统计图和扇形统计图的概念与频率公式求解．【详解】（1）人，这次学校抽查的学生人数是人；（2）样本中选择课程的人数为：人，补全条形统计图如下：（3），即课程部分的圆心角的度数为；（4）人，即该校名学生中报的大约有人．19．通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散学生注意力指标数随时间分钟变化的函数图象如图所示越大表示学生注意力越集中当时，图象是抛物线的一部分，当和时，图象是线段．(1)当时，求注意力指标数与时间的函数关系式；(2)一道数学竞赛题需要讲解分钟，问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于．【答案】(1)，；(2)可以.【分析】（1）设出二次函数的解析式，利用待定系数法求出注意力指标数与时间的函数关系式.（2）根据（1）中的函数解析式，求出学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于的值，即可得到结论．【详解】（1）当时，设抛物线的函数关系式为，而其图象经过点，，，因此，解得，，；所以注意力指标数与时间的函数关系式为，（2）观察图象知，当时，，当时，设，显然函数图象过点，即有，解得，则当时，，当时，令，得，解得，当时，令，得，解得，显然有，所以老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于时，讲授完这道竞赛题.20．阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”如图所示，它揭示了为非负数展开式的各项系数的规律．根据上述规律，完成下列问题：(1)直接写出_____．(2)的展开式中项的系数是_____．(3)利用上述规律求的值，写出过程．【答案】(1)(2)8(3)答案见解析【分析】（1）由杨辉三角规律求解，（2）由二项式定理求解，（3）转化为展开后求解．【详解】（1）由杨辉三角图可得（2）由杨辉三角的性质可得的展开式二项式系数可知展开式中项的系数为；（3）21．如图，内接于，为的直径，与相交于点，的延长线与过点的直线相交于点，且．(1)求证：是的切线；(2)已知，且与，分别相交于点，，若，，，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）欲证明是的切线，只需证明．（2）由∽，得，根据条件即可求出，再由∽，得，根据条件即可求出，，，，再通过计算发现，进而可以证明，求出即可得出答案．【详解】（1）连接，如图所示：是直径，，即，，，，，是的切线．（2），，

，，∽，，即，又，，，，∽，，，，在中，，，在中，，，，即，，，，，，∽，，即，．【点睛】关键点睛：本题的关键是利用相似三角形的判定定理和性质.22．在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点在点的左侧，与轴相交于点，连接．(1)求点，点的坐标；(2)如图，点在线段上点不与点重合，点在轴负半轴上，，连接，，，设的面积为，的面积为，，当取最大值时，求的值；(3)如图，抛物线的顶点为，连接，，点在第一象限的抛物线上，与相交于点，是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)1(3)存在，【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点，的坐标；（2）由点，，的坐标可得出，，的长度，由点的坐标及，可得出，，的长，利用三角形的面积计算公式，即可找出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可找出当取最大值时的值；（3）存在，设点的坐标为，连接，过点作轴于点，过点作轴，过点