高二数学（江苏,理科）（新高三）暑期作业复习方法策略讲-第讲四招搞定函数及全国通用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精．第2讲四招搞定“函数及其性质"的复习概念的学习是学习数学的起点和基础，清楚概念的来历,准确地表述概念，深刻地理解概念，明白与其他概念的区别与联系，会使用概念进行辨别和解决问题是复习数学概念的基本要求．1．要理解函数的概念,关键是理解函数的“三要素”．函数描述了变量间的依赖关系，其实质是一个非空数集的任意一个元素到另一个非空数集的取唯一值的对应．如非空数集A＝｛1，2,3}，B＝｛1，2｝,从A到B可以建立8个不同的函数，分别是下图的1～8，定义域都是A＝｛1,2,3}，1~6的值域都是｛1，2｝，7的值域是{1｝,8的值域是{2｝．定义域、值域、对应法则是函数的三要素，其中，定义域、对应法则决定了值域，对应法则是函数的核心．函数符号“y＝f(x），x∈A”形象地揭示了函数的三要素，突出了对应法则，即“对任意的x∈A,在确定的对应法则f的作用下,得到唯一的y。【温故知新1】已知集合P＝{x｜0≤x≤4｝,Q＝｛y|0≤y≤2},从P到Q的对应法则是f，则下列对应是以P为定义域，Q为值域的函数的是________．①f：x→y＝eq\f（x,2)②f：x→y＝eq\f(x,3）③f：x→y＝eq\f(3,2)x④f:x→y＝eq\r（x）【温故知新2】（1)已知f(x）＝x2＋2x＋1，求f(x＋1)；(2）已知f(2x＋1)＝4x2＋2x＋1,求f（x)．（3)如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，求f（f(3））的值．2．对函数的性质的复习要紧扣“三性”-—单调性、奇偶性、周期性．（1)单调性单调性是函数最重要的性质，反映了函数的局部变化特点,刻画了量的不等关系，是研究函数的零点、极值、最值、值域的有力工具．若函数f（x）在区间M上是增函数，对任意的x1,x2∈M,x1<x2⇔f（x1）<f（x2），图象是上升的，任意不同两点的连线斜率总大于零，即f（x）在区间M上是增函数⇔eq\f(f（x1)－f（x2）,x1－x2）>0，其中x1，x2∈M,且x1≠x2.若函数f（x）在区间M上是减函数,也有类似的结论．（2）奇偶性函数的奇偶性反映了函数的整体特征，刻画了量的相等关系，其意义在于定义域内互为相反数的两个数的函数值可以相互转化．若函数具有奇偶性，其定义域关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．若函数f(x）是奇函数且当x＝0时有定义,则f（0）＝0.若函数f（x)是偶函数,则f（x）＝f(|x｜)．函数的奇偶性与单调性相辅相成，奇函数在原点两侧且关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数则相反．（3)周期性周期性的本质是一种递推关系，相差整数倍周期的两个数的函数值相等，相互转化．由周期函数的定义，在定义域内总有f（x＋T)＝f(x）(T≠0）,这里T为它的一个周期．函数的对称性与周期性有着密切的联系，关于这一点在正弦函数、余弦函数中有着充分的体现．比如,如果函数有两条对称轴，那么它一定是周期函数，也一定有另外无数条对称轴．3．要以“数形结合”的数学思想方法研究函数函数的解析式从“数”的角度表示了变量间的对应法则,函数的性质隐于其中．函数的图象从“形”的角度揭示了变量间的依赖关系，直观反映了性质．性质决定图象，图象反映性质，这是二者的辩证关系，运用数形结合的思想是数学问题的重要方法．4．构建函数与相关知识的联系,提升函数的应用能力．在高中全部必修课本与选修课本的框架下形成函数的知识网络．比如：函数的单调性与不等式的联系，与直线斜率的联系,与导数的联系等；单调性与奇偶性的联系；函数的对称性与周期性的联系等．例1如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t＝0时与l2相切于点A,圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y＝cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y＝f（t)的图象大致为______．（填图象序号)解后反思1．确定函数图象，首先要清楚y为什么是t的函数，明确定义域，根据题设确定变量之间的对应法则，写出解析式，然后再结合性质作出图象；2．识别函数图象，也可以不列出变量之间的函数关系式，定性分析变量之间的对应规律,或定性分析与定量计算的方法结合．可以看出，在一定范围内，随着t的增大，x增大，而cosx减小，可定性的看出,在原点右侧附近，函数是减函数．能排除①、④两项，但还不能确定②、③孰对孰错．如果再利用特殊值t＝eq\f（1，2），就排除了③。例2已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间0，＋∞）上单调递增．若实数a满足f（log2a）＋f（logeq\f（1,2)a）≤2f（1),则a的取值范围是__________．解后反思1．求解参数的取值范围，首先要确定参数所满足的不等关系．根据奇偶性，将三个函数值间的关系转化为两个函数值的大小关系，再利用单调性，将函数值的大小关系转化为变量值的大小关系，从而得到了参数的不等式；2．函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性都是转化思想的体现和应用．函数单调性使变量值与函数值的大小相互转化，奇偶性使互为相反数的两变量的函数值相互转化，对称性使对称的两变量的函数值相互转化,周期性使相差整数倍周期的两数的函数值相互转化．自觉地发现、使用性质是解决问题的方向；3．数形结合是处理函数问题的重要方法．由f(log2a)≤f(1），及f（x）在0，＋∞）上递增,得到｜log2a｜≤1，就是数形结合的结果．利用一个特殊的符合条件的函数来拟合，如y＝x2,如图，显然－1≤log2a≤1。当然也可以利用偶函数性质f(x）＝f(｜x|）来转化:f(log2a)＝f(｜log2a｜），由于｜log2a｜≥0,再利用f(x)在0，＋∞)上递增，得到|log2a|≤1.例3已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4）＝－f(x),且在区间0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m〉0)，在区间－8,8］上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________．解后反思1．对于客观题型（填空题）的抽象函数，往往利用特殊化方法,选择一个符合题设的具体函数来分析，利用数形结合思想解决;2．利用函数已有性质，探索发现隐含的性质,使函数清晰明朗起来，使函数图象扩展开来；3．由f(x－4)＝－f(x)可知函数f（x）的周期为T＝8，但f(x－4)＝－f（x)与T＝8不是等价关系．f(x－4)＝－f(x）的本质是：两个相差为4的数的函数值互为相反数．总结感悟1．函数的对应法则是函数的核心，准确抓住变量之间的对应法则是解决问题的关键;2．问题解决的过程，就是由已知向未知逐步转化的过程，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性都是转化思想的体现和应用；3．数形结合是处理函数问题的重要方法；4．正确运用数学对象的已知性质或发现、挖掘数学对象的隐含的性质去解决问题,这种“由已知想性质”是解决问题的一般策略．【误区警示】1．(a，b）与{x|a〈x<b}不同．(a,b）表示非空数集｛x|a<x<b｝，一定有a〈b;当a〈b时，｛x｜a<x<b｝才是(a，b),当a≥b时，{x|a〈x〈b}＝∅.2．单调区间一般不要写出并集．如y＝eq\f(1，x）的单调减区间为（－∞，0），（0，＋∞），不能说y＝eq\f（1,x）的单调减区间为（－∞，0）∪(0，＋∞)．A级1．下列四组函数中，表示同一函数的是________．①y＝x－1与y＝eq\r（（x－1）2）;②y＝eq\r(x－1）与y＝eq\f(x－1,\r（x－1));③y＝4lgx与y＝2lgx2；④y＝lgx－2与y＝lgeq\f（x,100）。2．已知函数f(x)的定义域为(－1，0），则函数f(2x＋1)的定义域为________．3．定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函数的个数是________．4．设f（x）是R上的偶函数，且在0，＋∞)上单调递增,则f（－2），f(－π）,f(3)的大小顺序是______________．5。设函数y＝f（x)是偶函数，它在0，1]上的图象如图．则它在－1,0]上的解析式为________．6．（2016·江苏）函数y＝eq\r(3－2x－x2)的定义域是________．B级7．设函数D（x）＝eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（1,x为有理数,，0，x为无理数，））则下列结论判断正确的是________．①D（x）的值域为｛0，1}；②D（x)是偶函数；③D（x）不是周期函数；④D（x)是单调函数．8．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为________．①y＝x＋1②y＝sinx③y＝eq\f(1,x)④y＝x｜x｜9．(2016·四川)若函数f(x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x〈1时,f（x）＝4x，则feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（5,2））)＋f（2）＝________．10．已知f（x）,g（x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x)－g（x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g（1)＝______．11．已知定义在R上的偶函数f(x）在0,＋∞)上单调递增,且f(1）＝0，则不等式f（x－2）≥0的解集是____________________．12．已知函数y＝eq\f（|x2－1|，x－1)的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，求实数k的取值范围．

第2讲四招搞定“函数及其性质”的复习复习指导【温故知新1】①④解析对②,当y＝2时，x＝6。在集合P中没有元素与之对应，所以2不是函数值，即集合Q不是值域；对③，当x＝4时，y＝6，在集合Q中没有元素与之对应．所以③不符合题意．经检验①④满足题意．【温故知新2】解（1）由f(x）＝x2＋2x＋1＝（x＋1)2，得f（x＋1）＝（x＋1)＋1］2＝x2＋4x＋4；（2）方法一4x2＋2x＋1＝(2x＋1)2－2x＝（2x＋1）2－（2x＋1）＋1，即f(2x＋1)＝（2x＋1）2－(2x＋1）＋1，故f(x）＝x2－x＋1.方法二设t＝2x＋1，则x＝eq\f(t－1,2)，则f(t)＝4x2＋2x＋1＝4(eq\f（t－1,2）)2＋2eq\f(t－1，2)＋1＝t2－t＋1,故f(x)＝x2－x＋1。（3)据图象知f（3)＝1，∴f（f(3)）＝f（1)＝2.题型分析例1②解析当t＝0时，y＝cos0＝1，否定①、④。当t＝eq\f(1，2)时，l2上方弧长为eq\f(2，3）π。y＝coseq\f(2，3）π＝－eq\f(1，2）。∴否定③，只能填②.例2eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)，2）)解析由题意知a>0,又logeq\s\do9(\f(1，2))a＝log2a－1＝－log2a。∵f（x)是R上的偶函数，∴f（log2a）＝f(－log2a)＝f（logeq\s\do9（\f(1，2)）a)．∵f（log2a）＋f（logeq\s\do9（\f(1,2))a)≤2f（1）,∴2f（log2a）≤2f(1),即f（log2a)≤f（1）．又∵f(x)在0，＋∞)上递增．∴｜log2a｜≤1，－1≤log2a≤1，∴a∈eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)，2）)。例3－8解析因为定义在R上的奇函数，满足f（x－4)＝－f（x),所以f(4－x）＝f(x）．因此，函数图象关于直线x＝2对称且f（0）＝0，由f（x－4）＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f（x）在区间0，2]上是增函数，所以f(x）在区间－2,0］上也是增函数，如图所示，那么方程f（x)＝m(m>0）在区间－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1〈x2<x3<x4。由对称性知x1＋x2＝－12,x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8。线下作业1．④2.（－1,－eq\f（1,2）)3．24.f(－π）〉f(3)>f（－2）5．f（x)＝x＋2解析由题意知f(x)在－1，0]上为一条线段,且过(－1,1）、(0，2),设f(x)＝kx＋b,代入解得k＝1,b＝2，所以f（x）＝x＋2。6．－3，1]解析要使原函数有意义,需且仅需3－2x－x2≥0.解得－3≤x≤1。故函数定义域为－3,1]．7．①②解析考查分段函数的奇偶性、单调性、值域等，解决本题利用定义、图象等解决．若当x为无理数时，x＋T也为无理数，则D（x＋T)＝D（x）;故D（x）是周期函数，故③错误；若x为有理数，则－x也为有理数,则D(－x)＝D(x）；若x为无理数，则－x也为无理数，则D（－x）＝D（x）；故D（x）是偶函数，故②正确;结合函数的图象，①D（x）的值域为｛0，1}，正确；且D(x)不是单调函数,④错误．8．④解析本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，解题的突破口为单调性的定义、奇偶性的定义与函数图象的对应法则．若函数为单调增函数，其图象为从左向右依次上升；若函数为奇函数，其图象关于原点对称．经分析，①函数的图象不关于原点对称，不是奇函数，排除；②函数不是增函数,排除；③函数在（－∞,0）、(0，＋∞)上为单调减函数，排除．其实对于④，我们也可利用x>0、x＝0、x〈0分类讨论其解析式，然后画出图象，经判断符合要求．9．－2解析∵f（x)周期为2，且为奇函数，已知(0，1)内f(x）＝4x，则可