2021年中考数学04 二次根式的运算（解析版）

专题04二次根式的运算

专题常识回顾

1.二次根式：形如式子右(。20)叫做二次根式。(或是说，示意非负数的算术平方根的式子，叫

做二次根式)。

2.二次根式有意义的前提：被开方数》0

3.二次根式的性质：

(1)匡邕是非负数;

(2)(4a)2=a(a>0)；

「a(a>0)

(3)籽=同=_o(q=0)；

J-Q(a<0)

(4)非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，

即宿=雇•冶(a20,b》0)。

(5)非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即

治於

--—(a》0,b>0)o反之，

a

Vax7^=4ab(a0,/J>0)=^(-b>0)

4.最简二次根式：必须同时满足下列前提：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式;

⑵被开方数中不含分母;⑶分母中不含根式。

5.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数一样，则这几个二次根式就是同类二次

根式。

6.分母有理化：分母有理化就是通过度子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的

过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一样都是通过度母有理化而进行的。

7.分母有理化的方式：分子分母同乘以分母的有理化因式。

8.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，参加它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式

互为有理化因式。

9.找有理化因式的方式:

（1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母自己带根号的部分。如：①〉育的有理化因式为

〉白②〉高的有理化因式为〉直

（2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分。即〉鱼的有理

化因式为>詹，>1■的有理化因式为>1指,的有理化因式为

if

10.二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。

一样地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行:

（1）将每一个二次根式都化简成最简二次根式

（2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式联合成一组

（3）合并同类二次根式

11.二次根式的乘法

两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即

=二］（斌R,陪20）。

两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即

专题典型题考法及解析

【例题1】（2021湖南常德）下列运算对的是（）

A.M+yRfB.g=3&c.J77y2=-2D.隼=叵

【答案解析】D

【试题解答】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的

乘除运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能联合问题特点，机动运用二次根式的性质,

挑选恰当的解题途径，往往能事半功倍.

根据二次根式的加减法对｛进行判断；根据二次根式的性质对从C进行判断；根据分母有理化和二次

根式的性质对〃进行判断.

4原式=遂+2,所以/选项错误；

占.原式所以力选项错误；

C原式=2,所以「选项错误；

〃原式=率之^=叵，所以〃选项正确.

76X^63_

【例题2】（2021•山东威海）计算（J适-3）°+V27-<--）’的成果是（）

3

A.l+—y/3B.1+273C.V3D.1+4加

3

【答案解析】D

【试题解答】分别根据零次基、：次根式的性质以及负指数基化简即可求解.

原式=1+W5+F=1+4V^.

【例题3】（2021•山东省滨州市）计算：（-*）-2|+源+相=

【答案解析】2+似质.

【试题解答】根据二次根式的混合计算解答即可.

原式=4-2+晒+3>/^=2+4愿，

故答案为：2+4«.

【例题4】（2021•广东）先化简，再求值：［二——匚］+二=，其中产&.

（x-2x-2；x2-4

【答案解析】1+V2

【试题解答】原式=旦十*

x-2X2-4

_x-1(x+2)(x-2)_x+2

---------------z\------------------------------------------------------------

x-2x(x-l)x

西6母+22+2-r-

当户42,原式=历=---=1+42.

专题典型练习题

一、挑选题

1.（2021•四川省达州市）下列判断对的是（）

A.1＜0.5B.若aZ?=0,则a=2）=0

2_

C.夫=强D.3a可以示意边长为a的等边三角形的周长

【答案解析】D.

【试题解答】根据实数的大小对照法则、二次根式的乘除法法则、列代数式的一样步骤判断即可.

42＜旄＜3,

二工〈返二_＜1,本选项错误；

22

B.若ab=0,则a=0或6=0或a=Z?=0,本选项错误；

c当心0,。＞0时，夫=*，本选项错误；

3a可以示意边长为a的等边三角形的周长，本选项正确。

2.（2021•湖北省随州市）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方式，如：上”=

2-^/3

,2+/£+4=7+44,除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无

（2--x/3）（2+-x/3）

理数，如：对于“3+“5-13-d5,设外］3+"5-13-“5,易知＜3+，5＞，3-＜5,故x

>0,由%=(,3+由5-,3-,5)2=3+/+3-/-2'/(3+周5)(3-十5)=2,解得肝0即

13+V5-<3-小他.根据以上方式，化简、?-J+/6-3。3-根+30诟的成果为()

73+72

A.5+3^B.5+JC.5-<5D.5-3^

【答案解析】D

【试题解答】设产3/一,+34，且j6+3l＞\/6-3存

二x*3瓜-2J(6-3e)(6+34)+6+3瓜,

/.A12-2X3=6,

AJF-V/6,

6—EL

♦••通+能=5-2谆

原式=5-2、石-

=5-3通

3.（2021•山东省济宁市）下列计算对的是（）

A.\（一3）2=累B.返=我C.V36=±6D.-Vo736=-0.6

【答案解析】D.

【试题解答】直接操纵二次根式的性质以及立方根的性质解析得出答案.

斤=3,故此选项错误；

B.浜=-相，故此选项错误；

C.保=6,故此选项错误；

D.-No_36=-0.6,正确•

4.（2021•广东）化简#的成果是

A.-4B.4C.±4D.2

【答案解析】B

【试题解答】公式存=同.

5.(2021•甘肃)使得式子有意义的X的取值范畴是)

V4-x

A.x24B.x>4C.xW4D.x<4

【答案解析】I）

【考点解析】直接操纵二次根式有意义的前提解析得出答案.

使得式子x有意义,则：4-x>0,

V4-x

解得：x<4,

即x的取值范畴是：x<4.

6.（2021•甘肃庆阳）下列整数中，与后最接近的整数是)

A.3B.4C.5D.6

【答案解析】A.

【试题解答】因为9V10V16,于是互10与9的间隔小于16与10的间隔，可得答

案.

V32=9,42=16,

•,•3<V10<4,

10与9的间隔小于16与10的间隔,

二与S5最接近的是3.

7.（2021•山东省聊城市）下列各式不成立的是（）

C.退警=爪+«=5D.号友二«

【答案解析】C.

【试题解答】根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、除法法则计算，判断即可.

岳-患=3a-等=半，4选项成立，不吻合题意；

而得=患=2噌，8选项成立，不吻合题意；

屈逗=2；但免返=殳但，「选项不成立，吻合题意；

222

/l必、哗r-、=M-五,〃选项成立，不吻合题意。

V3+V2（V3+V2）（V3W2）

8.（2021湖南益阳）下列运算对的是（）

=

A.4（.2）2=-2B.（2-\/3）~=6C.,\/2+A/3=A/5D.A/2^V3V6

【答案解析】D

【试题解答】根据二次根式的性质以及二次根式加法，乘法及乘方运算法则计算即可.

A.4（-2）2=2,故本选项错误;

&（2炳）2=12,故本选项错误；

C我与、门不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；

〃.根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确.

9.（2021•云南）要使也以有意义，则x的取值范畴为（）

2

A.后0B.才与一1C.杉0D.后一1

【答案解析】B.

【试题解答】根据二次根式有意义的前提即可求解.

要使立亘有意义，则被开方数x+1要为非负数，即x+120,：.x>-\,故选B.

2

10.（2021•湖北省荆门市）-、月的倒数的平方是（）

A.2B.工C.-2D.

22

【答案解析】B.

【试题解答】根据倒数，平方的定义以及二次根式的性质化简即可.

-血的倒数的平方为：（古产弓.

二、填空题

11.（2021•江苏扬州）计算：（加-2）2021（V5+2）2必的成果是.

【答案解析】旄+2.

【试题解答】先根据积的乘方得到原式=［（、而-2）（代+2）了必.（、而+为,然后操纵平方差公式

计算.

原式=［（加-2）（V5+2）了必.（遥+2）

=（5-4）叽（或+2）

=旄+2

故答案为V5+2.

12.（2021•四川省绵阳市）单项式与2护y是同类项，则/=.

【答案解析】1

【试题解答】山题意知-|%11=/=20,

•,.a=l,b=l,则a"=（l）』，故答案为：1.

13.（2021贵州遵义）计算3方-而的成果是

【答案解析】V5

【试题解答］3A/5-V20=3V5-275=75

14.（2021•南京）计算芳-屈的成果是

【答案解析】0

【试题解答】先分母有理化，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可.

原式=2-26=0.

15.（2021宁夏）计算：（―3尸+卜一血卜.

【答案解析】-五

【试题解答】（_；尸+|2-0]=_2+2_0=_0.

16.（2021•广东广州）代数式7L有意义时，x应满足的前提是.

【答案解析】48.

【试题解答】直接操纵分式、二次根式的定义求出x的取值范畴.

代数式_^有意义时，

Vx-8

^-8>0,

解得：x>8.

故答案为：x>8.

17.（2021江苏镇江）计算："5-6=.

【答案解析】6.

【试题解答】本题考查了二次根式的加减运算，解答时应先化简二次根式，然后合并同类二次根，

因为疝-6=2百一百=百，是以本题答案为6.

18.（2021•山东临沂）一样地，参加x"=a（a20）,则称x为a的四次方根，一个正数a的四次

方根有两个.它们互为相反数，记为土垢，若/=1。，则於--------•

【答案解析1±10

【试题解答】操纵题中四次方根的定义求解.

*=1。，

/.m=±10.

故答案为：士10

19.（2021•湖南益阳）察看下列等式：

①3-2后=（四-1）；

②5-2行=（百一拉）；

③7-2加1=（7^—百）：

请你根据以上规律，写出第6个等式.

【答案解析】13-2742=（V7-V6）2.

【试题解答】第n个等式左边的第1个数为2K1,根号下的数为n（/?+l）,操纵完全平方公式得到

第〃个等式右边的式子为（而1一行）的整数）.

写出第6个等式为13-2742=（V7-V6）2.

故答案为13-25/42=（5/7-5/6）3

20.（2021山东枣庄）察看下列各式：

其成果为

【答案解析】20212211.

2019

【试题解答】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可.

2巳32018201“

=1+(1-工)+1+(―-—)+•••+1+(2。」

223

=2021+1-工+工-工+工-工+…+―I---1—

2233420182019

=2O21Z°.L3.

2019

21.(2021•山东青岛)计算：返欧返-(V3)°=.

V2

【答案解析】2«+1.

【试题解答】根据二次根式混合运算的法则计算即可.

瘴返■-(虫)°=2壮2-1=2心1

V2

三、解答题

22.(2021•湖北省仙桃市)计算：(-2)J|-3|+&X&+(-6)°

【答案解析】6

【试题解答】先计算乘方、取绝对值符号、计算二次根式的乘法及零指数暴，再计算加减可得。

原式=4-