2021年中考数学冲刺训练 《中考数学观察归纳题型》测试卷【含答案】

《中考数学观察归纳题型》测试卷、练习卷（答案及解析）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.将正整数按下表的规律排列：

123456789

101112131415161718

192021222324252627

**•

平移表中涂色部分的方框，方框中的4个数的和可能是（）

A.2010B.2014C.2018D.2022

2.在平面中，如图，两条直线最多只有1个交点，三条直线最多有3个交点……若〃

条直线最多有55个交点，则〃的值为（）

3.将全体自然数按下面的方式进行排列：

If25f6

f|IfI

Q3—►।47—>>...—►⑷।②—>■

按照这样的排列规律，2018应位于（）

A.A位B.B位C.C位D.£>位

4.如图，OAX=4遇2，。入2=^2^31。43=4344->^-OAyA2=/.OA2A3=Z-OA3A4=

・••=90。，如此继续，能构造出多个等腰直角三角形形成的“海螺图”，当构造的

直角三角形的斜边第一次落在射线。4上时，停止构图，这时的海螺图的面积等于

2040,贝IJOa的长为（）

A

()4

<4i/lj

A.2V2B.4C.4V2D.6

5.如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去,第10个这样的图案

需要黑色棋子的个数为（）

①②

A.148B.152C.174D.202

6.某个数值转换器的原理如图所示：若开始输入x的值是1,第1次输出的结果是4,

第2次输出的结果是2,依次继续下去，则第2020次输出的结果是（）

A.1010B.4C.2D.1

7.如图,过点&（。,1）作y轴的垂线交直线/：y=乐于点小,过点小作直线,的垂线，

交y轴于点4,过点力作了轴的垂线交直线/于点4,…，这样依次下去，得到△

40241A2，△其面积分别记为4,S2,S3,…，则510（）为（）

A.（苧）i。。B.（3V3）100C.3V3x4199D.3A/3X2395

1111

8.已知%=1-垃，=1一9，。3=1-0，…，an=1-KSn=«1-a21-On-

则Sio=（）

A.1B.|C.If口盘

9.计算（1一a_3一专）x（专+专+专+专）一（1一专一强一白一京）x（3+春+

3）的结果等于（）

A.；B.在C.更D.在

2532

10.如下图，△ABC称为第一个三角形，其周长为1,连接△ABC各边的中点所组成的

△DEF称为第二个三角形，其周长为也……，以此类推，第2020个三角形的周长

为（）

C

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.观察以下等式

第1个等式:7=T+T

第2个等式：；=;+J

oZo

第3个等式:|=抖专

第4个等式：；=；+^

//Zo

第5个等式:|=升福

按照以上规律，写出你猜想的第〃个等式：.（用含”的等式表示）.

12.如图所示，n+1个边长为1的等边三角形，其中点A,G，C2,C3,…金在同一条

直线上，若记ABICIDI的面积为Si，ZkB2c2。2的面积为S2，△B3c3D3的面积为53,

…，△BnG20n的面积为Sn,则Sn=.

13.按一定规律排列的一列数依次为：—9，?，一?，吟，...（a#0）,按此规律排列

下去，这列数中的第〃个数是.（n为正整数）

14.海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录.如图是黎锦上的图

案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图

案，则第5个图中有个菱形，第〃个图中有个菱形（用含〃的代数式

表示）.

O

第1个图第2个图第3个图第4个图

三、解答题（本大题共7小题，共58.0分）

15.观察下列式：。2—1）十（％-1）=》+1；

（X3-1）-r（X—1）=x24-X+1；

（x4—1）4-（%-1）=%3+%24-%+1；

(X5-1)-T-(%—1)=X4+X3+X2+X+1;

(1)猜想：炽7-l)+(X-l)=；(27-1)4-(2-1)=

(2)根据①猜想的结论计算：1+2+22+23+24+25+26+27.

16.符号“7表示一种运算，它对一些数的运算如下：/(1)=1+p/(2)=1+|,

/⑶=1+|,/(4)=1+、.

(1)利用以上运算的规律写出/(町=；(n为正整数)

(2)计算：/(1)'/(2)"(3)...f(100)的值.

17.阅读下面问题：

上=产(叱)=a-i

1+V2(V2+1)(V2-1)

；==乘一2。

V5+2(V5+2)(V5-2)

试求：

(1)专分母有理化的结果是嬴分母有理化的结果是_;

(2)焉访分母有理化的结果是一；5?0)

(3)求(诟7+用方+而而+…+正嬴赤石)(近两十1)的值，

18.先观察下列各式的规律，再解答问题.

第1个式子:嗯=】♦

第2个式子：羡=泻；

第3个式子：左

(1)由上面的规律可得出结论：而而

(2)已知|。6一2|+|(1-1]=0,求专+(a+i：(b+i)+…+(a+2019：(b+2(H9)的值•

19.对于正数X,规定/(x)=W

例如：m)=i7i=r八2)=专=4±

2

(1)求值：/(3)+f(以=；/(4)+fG)=.

(2)猜想：/(%)+/6)=,并说明理由.

(3)求:f(2021)+f(2020)+…+/(2)+/(I)+/g)+-+/岛)+(岛)的

值.

20.给定下面一列分式：一念，一品，一品，一渭"，.・.(其中aK1).

(1)请写出第6个分式；

(2)当3a—4b=3时，求寻一品的值・

21.平面内两条直线的位置关系有两种：相交和平行.

(1)如图，直线机、〃相交于点4,点P是4BAC内部一点，试判断NBPC、"BP、

乙ACP、484c之间的数量关系，并说明理由;

B,

(2)如图，直线m〃n，点尸是直线〃之间的一点，且满足NBPC=80。，BA、

CA分另ij平分NOBP、NECP交于点A,求NA的度数;

(3)如图，直线m〃n，点尸是直线机、〃之间的一点，且满足NBPC=80。，Ba、

BF2分别平分NGBP、乙HCP交于一点FI；BF2、CF2分另I平分NGB&、4HC&交于点F2；

・・・・・・；以此类推，直至交于点尸2。21.直接写出立尸2021的度数是.

答案和解析

I.A

解：从表中正整数的排列情况来看，每一行是9个数，也就是每一列下面的数减去上面

的数是9.

随着方框向下平移，可表示出这4个数其变化规律的表达式为：

2+9n,3+9n,4+9n,5+9n,

将这4个数相加为：2+9n+3+9几+4+9几+5+9九=36n+14,

这4个数向下移再向左移相加为36九+14-4=36兀+10,

这4个数向下移再向右移一个格相加为36n+14+4=36n+18,

这4个数向下移再向右移二个格相加为36n+14+8=36n+22,

这4个数向下移再向右移三个格相加为36n+14+12=36n+26,

这4个数向下移再向右移四个格相加为36n+14+16=36n+30,

36x55+30=2010,

二平移表中涂色部分的方框向下移55个格再向右移4个格，方框中的4个数的和为2010,

其余三个答案中的数代入36n+14,36n+10,36n+18,36n+22,36n+26,36n+30

来尝试，〃均不是整数.

故选：A.

每一行是9个数，也就是每一列下面的数减去上面的数是9.随着方框的平移，可表示出

其变化规律的表达式为：2+9n,3+9n,4+9n,5+9n,向下移则将这4个数相加

为36n+14；向下移再向左移则这4个数相加为36n+14-4；向下移再向右移则这4

个数相加为36n4-14+4或这4个数相加为36n+14+8或这4个数相加为36n+14+

12或这4个数相加为36n+14+16,将四个答案中的数来尝试，"为整数，即可.

本题主要考查了数字的变化类，根据题意用含整数〃的表达式表示出移动的四个数是解

题的关键，然后求和判断哪个选择项可满足n的条件即可.

2.C

【试题解析】

解：2条直线相交最多有1个交点；

3条直线相交最多有1+2个交点；

4条直线相交最多有1+2+3个交点；

5条直线相交最多有1+2+3+4个交点；

所以〃条直线相交最多有1+2+3+4+5+…+(n—1)=in(n-1)个交点；

:.|n(n—1)=55,

解得n1-11,n2-—10(舍去),

则〃值为11.

故选：C.

从简单情形考虑：分别求出2条、3条、4条、5条直线相交时最多的交点个数，找出规

律即可解答.

此题考查图形的变化规律，解答此题的关键是找出其中的规律，利用规律解决问题.

3.C

解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，

•••2018是第2019个数，

•••2019+4=504余3,

2018应位于第505循环组的第3个数，在©位.

故选：C.

观察图形不难发现，每4个数为一个循环组依次循环，因为2018是第2019个数，所以

用2019除以4,再根据商和余数的情况确定2018所在的位置即可.

本题是对数字变化规律的考查，观察出每4个数为一个循环组依次循环是解题的关键,

要注意2018是第2019个数.

4.8

【分析】

本题考查图形的变化规律和勾股定理.根据题意得出规律是解题的关键.

先求出各个直角三角形的直角边，再根据面积和得出方程，即可解答.

解：设04=a,

v0Ar=ArA2yOA2—A2A3fOA3=A3A4...,Z.OA1A2=^.OA2A3=Z.0A3A4=•­•=90°,

22

:.OA2=JOA1+A1A2=V2a»OA3==2a»OA^=

I78

22

JOA3+A3A4=2V2a>­•■->OA8=(V2)a=8V2a,OAg=(V2)a=16a

当构造的直角三角形的斜边第一次落在射线O①上时，最后一个三角形斜边为。内，

贝咛a?+1xV2axV2cz+-+|x8y/2ax8V2a=2040

a2+2a2+■■■+U8a2=4080

255a2=4080

a=4

故选8

5.C

【分析】

本题考查了规律型：图形的变化类，观察图形，发现棋子的规律是解题的关键.

观察各图可知棋子数量的规律，然后写成第〃个图案的通式，再取n=10进行计算即可

求解.

解：根据图形，第1个图案有12=2(1+2+3)+2x0枚棋子，

第2个图案有22=2(1+2+3+4)+2x1枚棋子，

第3个图案有34=2(1+2+3+4+5)+2*2枚棋子，

第4个图案有48=2(1+2+34-4+5+6)+2X3枚棋子，

第n个图案有2(1+2+…+n+l+n+2)+2(n—1)枚棋子，

故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为2(1+2+-...+11+12)+2x

(10-1)=174(枚).

故选：C.

6.B

解：由题意可得，

开始输入，%=1,

第一次输出的结果是4,

第二次输出的结果是2,

第三次输出的结果是1,

第四次输出的结果是4,

第五次输出的结果是2,

第六次输出的结果是1,

第七次输出的结果是4,

第八次输出的结果是2,

第九次输出的结果是1,

第十次输出的结果是4,

2020+3=673...1,

则第2020次输出的结果是4,

故选：B.

根据题意和题目中的数值转换器可以写出前几次输出的结果，从而可以发现数字的变化

规律，进而求得第2020次输出的结果.

本题考查数字的变化类-规律型，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化

特点，求出相应的数字.

1.D

解：•••点Ao的坐标是

•••OAQ=1,

•••点4在直线y=%上，

**,OA1—2,AQA^=

**•。％2=4,

・•・OA3=8,

:.0A4=16,

n

得出O4n=2,

n

・•・AnAn+1=2-V3,

0498=2198,498/199=2198•W,

-51=1(4-1)-V3=|V3,

^2^1/M200^199»

,*,△40Al人2~^^198^199^200»

.Si。。_W士屋2

**V（^/^），

.-.S=2396.亭=3V3X2395

故选：D.

本题需先求出0&和04的长，再根据题意得出。4口=2%把纵坐标代入解析式求得横

坐标，然后根据三角形相似的性质即可求得Si。。.

本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线

段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用.

8.D

略

9.B

【分析】

此题主要考查二次根式的混合运算.找出规律是解题的关键.把（1-专-专-和

6+3+—看成一个整体进行计算即可解答.

解：原式=。_美_专——x（美+春+*）+（1_+_专_5*京_（1_专_

专一百）x（%+翥+蠢）+3，（专+%+弓）

1（111111\

=而'（1一正一看一"+亚+石

=±X1

V5

=阻

s

故选8.

10.C

【分析】

本题考查中位线定理，图形规律有关知识，主要是找出每一个新的三角形周长是原三角

形周长的:的规律，解决问题.根据三角形的中位线定理，找出每一个新的三角形周长

是上一个三角形周长的共K律.

解：△ZBC的周长为1,新的三角形的三条边为△ABC的三条中位线,

根据中位线定理，三条中位线之和为三角形三条边的也

所以第2个三角形周长为热

第3个三角形的周长为击

以此类推，第"个三角形的周长为贵；

所以第2020个三角形的周长为嬴.

故选C.

]1--=-1----

2n-lnn(2n-l)

解：第1个等式：Y=1+7

第2个等式:|

第3个等式:2+专

第4个等式:号抖点

第5个等式:那+,

第"个等式为：悬=；+思不

故二一=-+--—

2n-lnn(2n-l)

根据已知等式得出规律即可.

本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出的规律，并熟练加以运

用.

-ir\y/3n

",4(71+1)

解：由题意可知,

=S^B2DIC1=-ShAC1B2=~ShAC1B1，

S2=S&B3102c2=3^A7tc2F3=&SAAQ8J

S

S3=SAB403c3=^^AC3B4=^AXCIB]'

所以Sn=公SfCiBi，

Sn=

首先求出Si，S2,S3,…,探究规律后即可解决问题.

本题考查相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的

关键是学会从特殊到一般的探究方法，学会利用规律解决问题，属于中考常考题型.

【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用

联想是解决这类问题的方法.

先确定正负号与序号数的关系，再确定分母与序号数的关系，然后确定a的指数与序号

数的关系，即可得解.

解：第1个数为(―

Z.2X3-1

第2个数为(一1)2.妥］，

第3个数为(—1)3.寡;，

,,3X4-1

第4个数为(—1)4.5^,

3n-i

所以这列数中的第"个数是(-l)n.

n2+l

故答案为(-1)叫\".

14.41；2n2-2n+1

【分析】

本题主要考查图形的变化类，解题的关键是根据已知图形得出第"个图中菱形的个数为

n2+(n-I/的规律.根据已知图形得出图形中菱形的个数为序数的平方与序数减一的

平方的和，据此求解可得.

解：・•・第1个图中菱形的个数1=仔+。2,

第2个图中菱形的个数5=22+仔，

第3个图中菱形的个数13=32+22,

第4个图中菱形的个数25=42+32,

二第5个图中菱形的个数为52+42=41,

第"个图中菱形的个数为?I?+(n—I)2=n2+n2—2n+1=2n2—2n+1,

故41；2n2—2n+1.

15.(l)x6+%5+x4+x3+x2+%+1；26+25+24+23+22+2+1；

(2)根据①猜想的结论计算：1+2+22+23+24+25+26+27=(28-1)+(2-

1)=28-1=255.

解：

(l)(x7-1)-T-(X-1)=X6+X5+X4+X3+X2+X+1；

(27-1)(2-1)=26+2s+24+23+22+2+1；

故”+x5+x4+x3+x2+x+l;26+25+24+23+22+2+1；

(2)1+2+22+23+24+25+26+27=(28-1)4-(2-1)

=28-1

=255.

【分析】(1)直接利用已知等式变化规律进而得出答案；

(2)直接利用(1)中所求，进而得出答案.

此题主要考查了整式的除法运算，正确利用己知式子变化规律分析是解题关键.

16.解：(1)1+；；

(2)/(1)"(2)"(3)•..."(100)

22222

=+#++•.(1+痂)

3456102

=—X—X—X—X...X-------

1234100

101x102

1X2

=5151.

【试题解析】

【分析】

此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混

合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行

计算；如果有括号，要先做括号内的运算.

⑴根据f⑴、”2)、/(3)、/'(4)的运算方法,写出f(n)的表达式即可.

(2)根据(1)中求出的/(X)的表达式，求出f(1)"(2)"(3)•..."(100)的值是多少即可.

解：⑴⑴=1+彳，/(2)=1+|,/⑶=1+:/(4)=1+..

•••/(n)=1+：.

故1+-n；

(2)见答案.

17.(1)V7—V6;

(2)Vn+1—Vn;

(3)解：原式=(V2-1+V3-V2+V5-V4+...+V2020-72019)(72020+1)

=(V2020-1)(72020+1)

=2020-1

=2019

【分析】

本题考查的是分母有理化，数式规律有关知识.

(1)利用分母有理化进行计算；

(2)利用分母有理化进行计算；

(3)先分母有理化，然后合并即可.

解⑴专著，焉=后会给旷位一阮

故答案为苧，V7-V6.

⑵--f==7]—―=Vn+1—Vn.

'7Vn+l+Vn(x/n+1+Vn)(vn+1-Vn)

故答案为Vn+1—Vn.

(3)见答案.

(2)v\ab-2|+|a-1|=0ah-2=0,a-1=0，a=1,b=2二专+g+jb+i)+

▲•*'II(▲4XXXXA

----------------------=------十-----十***十--------------=I——+-----------+••,+”-----------------------

(a+2019)(b+2019)1x22X32020x202122320202021

1_2020

2021—2021

略

19.解：(1)1；1；

(2)1.

1

理由：/(x)+f(3)=三+4=三+工=L

八/J\xJX+l-+1x+1x+1

X

(3)：由(2)可得/(吗+/@=1,

•.・原式=[/(2。21)+f(嬴)]+[f(2020)+/(募)]+…+『⑵+fg)]+/(1)=

2020+-=2020-.

22

略

20.解：⑴一普-湍，-&，…(其中”1)

・•・第6个分式为：-品

4bAh6b28b46b28b

(2)由3a-4b=3可得：a-l=刀，把a-1=刀，代入得-一在

27_81_27

832-32

略

21.解：（1）连接AP并延长,

•••KBPG,NCBP分别是A