2021年中考数学二轮复习 13 反比例函数中的直角三角形问题(解析版)

专题13反比例函数中的直角三角形问题

1、如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数>=人的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于

x

点C,连结BC.若△ABC的面积为2.

(1)求k的值；

(2)x轴上是否存在一点D,使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

m

2、如图，在平面直角坐标系中，一次函数丫=10^^(k/0)的图象与反比例函数y=7(m*0)的图象交于A、

B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为(n,6),点C的坐标为(-2,0),且tanNACO=2.

(1)求该反比例函数和一次函数的解析式：

(2)求点B的坐标；

(3)在x轴上求点E,使AACE为直角三角形.(直接写出点E的坐标)

6

【答案】(1)y=；,y=2x+4；(2)B(-3,-2)；(3)Ei(1,0),E2(13,0)

3、如图，一次函数）=履+6（原0）与反比例函数丫=且（”翔）的图象在第一象限交于A,8两点，A点的

x

坐标为（相，6）,B点的坐标为（2,3）,连接过8作BC，y轴，垂足为C.

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）在射线CB上是否存在一点O,使得AA。。是直角三角形，求出所有可能的。点坐标.

解：（1）•:点B（2,3）在反比例函数y=包的图象上,

X

・・“=3x2=6,

二反比例函数的表达式为v=g，

X

・・,点A的纵坐标为6,

•••点A在反比例函数y=且图象上，

x

Z.A（1,6）,

.[2k+b=3

"lk+b=6

.fk=-3

-lb=9'

；•一次函数的表达式为y=-3x+9；

（2）如图,①当/O£）iA=90。时，

设BC与AO交于E,则E（仔,3）,

:.AE=OE=DiE=J^~,

2

,:E(4,3),

2

•••G的坐标为（丝巨.3）；

2

②当NOA£)2=9()°时,

可得直线AD2的解析式为：y=-5x+W工,

-66

当y=3时，x=19,

；.。2的坐标为（19,3）,

综上所述，当AA。。是直角三角形，。点坐标为（上△③■,3）或（19,3）

2

4、如图1,在平面直角坐标系xOy中，函数丫=里（根为常数，m>\,x>0）的图象经过点P（〃?，1）和

x

Q（1,切），直线尸。与x轴，y轴分别交于C,O两点.

（1）求NOCC的度数:

（2）如图2,连接OQ、OP,当N£）OQ=NOC。-NPOC时，求此时机的值；

（3）如图3,点A,点8分别在x轴和y轴正半轴上的动点.再以OA、。8为邻边作矩形OA例B.若点

M恰好在函数y=&（加为常数，机>1,x>0）的图象上，且四边形B4P。为平行四边形，求此时。人

X

。8的长度.

km+b=1

解：(1)设直线P。的解析式为y="+b,则有

k+b=m

k=-l

解得

b=m+l

•\y=-x+/?7+1,

令x=0,得到y=/n+l,

•'•D(0,/n+l)，

令y=0,得至ljx=m+l,

C(m+1,0),

：,OC=OD,

VZCOD=90°,

：.ZOCD=45°.

(2)如图2,过。作QM_Ly轴于M,过P作PALLOCTM过。作。H_LCD于",

图2

VP(m,1)和Q(1,m),

MQ=PN=1,0M=ON=m,

/OMQ=NONP=96。,

:./XOMQqAONP(SAS),

AOQ=OP,NDOQ=NPOC,

VZDOQ=ZOCD-ZPOC,ZOCD=45°,

ZDOQ=NPOC=ZQOH=ZPOH=22.5°f

：.MQ=QH=PH=PN=1,

VZOCD=ZODC=45°,

：./\DMQ和^CN尸都是等腰直角三角形，

:.DQ=PC=&,

OC=OO="7+1,

•*-CD=\p2pC=yj^2.(m+1)»

•：CD=DQ+PQ+PC,

V2(m+1)=2亚+2,

・・・/〃=我+1;

(3)如图3,

・・・四边形BAPQ为平行四边形，

：.AB//PQfAB=PQ,

，N048=45。，

*/乙4。8=90。，

：.OA=OBf

I.矩形OAM8是正方形，

•・,点M恰好在函数y=^("为常数，加>1,x>0)的图象上,

x

M/\/ji)f即OA—0B=

*：AB=PQ,

,,V2m=V(m-l)2+(l-m)'

解得：山=过逅或三近.(舍)，

22

_代+1

...OA=OB=4=『*=5+普

~2~

5、如图，反比例函数），=5的图象经过点A（-2匾，1），射线AB与反比例函数的图象的另一个交点为8

（-1.a）,射线AC与x轴交于点E,与y轴交于点C,NBAC=15。,ADLy轴，垂足为D

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求。C的长；

（3）在x轴上是否存在点P,使得△APE与△ACO相似，若存在，请求出满足条件点P的坐标，若不

存在，请说明理由.

解：（1）•.•反比例函数的图象经过点A（-2炳，1），

:.k=-2^/3,

反比例函数的解析式为：y二^巨；

X

（2）过点B作于M,把8（-1,«）代入y二^巨得a=2«，

X

：.B（-1,2F），

：.AM=BM=2y/2-h

，N8AM=45。，

VZBAC=75°,

AZDAC=75°-45°=30°,

彖2；

CD=AD9tanZDAC=2XyP2X

（3）存在,

如图，：OC=C£>-00=1,

:.OE=MDC=M，

①当AP_Lx轴时，&APE〜XCDA、贝lj：0Pi=AZ）=2«,

：.P\（-2瓜0）,

②当AP_LA£时，△APE~XDCA,"：AP\=\,ZAPzP\=^°-30°=60°/.

P2P1=AP14-tanZAP2P1=14-

则P2=（邛，°），

乙o

综上所述，满足条件点P的坐标为（-2«,0）,（-二返，0）.

3

6、如图①，直线产-与反比例函数尸上（x>0）的图象交于A（2,6）,B（a,3）两点，BC//x

2x

轴（点C在点8的右侧），且BC=〃?，连接OC,过点C作CO_Lx轴于点£>,交反比例函数图象于点E.

（1）求b的值和反比例函数的解析式;

(2)填空：不等式-m+6>K的解为_______；

2x

(3)当0C平分/B0力时，求需•的值；

(4)如图②，取BC中点F,连接。F,AF,BD,当四边形A8QF为平行四边形时，求点F的坐标.

2

(1)将A(2,6)代入丁=-5什6得，-3+0=6,

解得：b=9,

将A(2,6)代入y=K得，k=12,

X

...反比例函数的解析式为：y=—；

X

19

(2)当y=3时，3=*,

x

解得：元=4,

：.B(4,3),

由图象可知不等式-gx+%>K的解为：2<xV4,

2x

故答案为：2VxV4；

1919

(3)将B(6z,3)代入得，—=3,

xa

解得：4=4,

OC平分/BO。，

：.ZBOC=ZCODt

•・・BC〃x轴，

:・/BCO=/COD,

:・/BOC=NBCO,

：.OB=BC,

•:B(4,3),

・•・OB=BC=5,

：.C(9,3),

4

：.E(9,-1),D(9,0),

445

：.DE=—CE=3,

3f33

_5

・CE=Z=1

••丽―1―I

-3

(4)作4H_L8C于H,则“(2,3),

：.AH=3fBH=2,

•・・四边形ABDF为平行四边形，

:・AB〃DF、AB=DF,

：./CFD=/CBQ,

,：ZAHB=ZDCF=90°,NABH=/CBQ,

:.NCFD=NABH,

.,.△ABH丝△OFC(A4S),

:.CF=BH=2,

是BC中点，

：.BF=CF=^-BC=2,

2

,：B(4,3),

：.F(6,3).

7、定义：在平面直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移2个单位的平移称为一次斜平移.已

知点A(1,0)，点A经过〃次斜平移得到点B,点M是线段AB的中点.

图1图2

(1)当〃=3时，点B的坐标是，点M的坐标是

(2)如图1,当点M落在y=9的图象上，求”的值；

x

(3)如图2,当点M落在直线/上，点C是点8关于直线/的对称点，8c与直线/相交于点N.

①求证：AABC是直角三角形；

②当点C的坐标为(5,3)时，求的长.

解：(1)根据平移的性质，点A(1,0)经过"次斜平移得到点3的坐标为(1+%2/7),

...当〃=3时;点8的坐标是(4,6),

二•点M是线段A8中点，

...点M的坐标是(2.5,3),

故答案为：(4,6),(2.5,3)

(2)由题意，A(1,0),B(1+〃，2”)，

线段AB中点M(野，”)，

4.

•・•点M落在的图象上，

x

・•・史葭?=4,

2

解得几=2或〃=-4(舍去)，

.*.n=2；

(3)①连接CM,如图I,

图1

是AB的中点，

：.AM=BM,

由轴对称可知：BM=CM,

：.ZMAC=ZACM,ZMBC=ZMCB,

'：ZMAC+ZACM+ZMBC+ZMCB^180°,

.../ACM+/MCB=90°,即NACB=90°,

...△ABC是直角三角形；

②丁点C的坐标为(5,3),点A(1,0),

AC=V(5-1)2+(3-0)2=5,

•.•点C是点B关于直线/的对称点，

:.BN=CN,

•点M是线段A8的中点.

：.AM=BM,

15

：.MN^—AC=—.

22

8、如图(1),正方形ABC。顶点A、B在函数y=K(^>0)的图象上，点C、。分别在x轴、y轴的正半

x

轴上，当上的值改变时，正方形ABC。的大小也随之改变.

(1)若点A的横坐标为5,求点D的纵坐标;

(2)如图(2),当k=8时，分别求出正方形AbCD的顶点4、用两点的坐标；

(3)当变化的正方形ABCD与(2)中的正方形AECO有重叠部分时，求大的取值范围.

解：(1)如图，过点4作轴于点E,则NAE£>=90。.

图⑴

:四边形A5CZ）为正方形,

：.AD=DC,N4OC=90°,

：.ZODC+ZEDA=W°.

,：ZODC+ZOCD=90°,

：.ZEDA=ZOCD,

在^AED和4DOC中

"ZAED=ZDOC

<ZEDA=ZOCD>

AD=DC

/.△AED^ADOC(AAS),

：.OD=EA=5,

...点。的纵坐标为5；

(2)作AM_L)，轴于M,8WJ_x轴于点M

图⑵

设0。=。，OC'=b,

同理可得4B'C'N^△C'D'O^△A'D'E,

：.C'N=OD'=A'M=a,B'N=C'O=D'M=b,

'.A'(a,a+b),B'(a+b,Z>)»

•.•点1、房在反比例函数丫=旦的图象上，

X

•**ci(a+b)=8,b(。+。)=8,

，解得〃=。=2或。=6=-2(舍去)，

・・・4、用两点的坐标分别为(2,4),(4,2)；

（3）设直线Ab的解析式为y=mr+〃，

把4（2,4）,B1（4,2）代入得

（2m+n=4

14m+n=2

解得

In=6

/.直线A'9解析式为y=-A+6,

同样可求得直线C。'解析式为），=-x+2,

由（2）可知△OCD是等腰直角三角形，

设点A的坐标为（.m,2/”），点。坐标为（0,机），

当4点在直线CO上时，则2m=-m+2,解得m=2,

3

此时点A的坐标为（2,1）,

33

・••^K—-—2X—4_—8—;

339

当点。在直线A0上时，有〃?=6,此时点4的坐标为（6,12）,

・・k=6x12=72；

综上可知：当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A夕。。有重叠部分时，k的取值范围为苴人72.

9

9、如图，如图，一次函数y=-x+匕与反比例函数y上的图象交于点A（〃［，1）和B(1,-3).

（1）填空：一次函数的解析式为,反比例函数的解析式为

（2）点尸是x轴正半轴上一点，连接AP,BP.当AA8P是直角三角形时，求出点尸的坐标.

解：(1):点ACm,1)和3(1,-3)在反比例函数y=K的图象上,

X

:・k=\x(-3)=-3,k=mxl,

.*.771=-3,

・,•点A(-3,1),

...反比例函数解析式为：丫=二3；

X

•・•一次函数y=-x+b过点B(1,-3),

.*•-3=-1+儿

：.b=-2,

上一次函数解析式为：y=-x-2；

故答案为：y=-x-2,y=^-；

X

(2)如图1,当乙48尸=90。时，过点P作。。_Lx轴，过点A作AC_LDC于G过点8作Z?O_LC£＞于Q,

设点P的坐标为（X,0）,

，AC=x+3,CP=\,PD=3,BD=x-1

,//AP8=90。，

/.ZAPC+ZBPD=W0,

又：ZAPC+ZCAP=90°,

：.ZCAP=ZBPD,

又,.•NC=/B/）P=90°,

：./\ACP^^PBD,

•.•一AC—=PC,

PDBD

•・•一x+3—二_1’,

3x-l

***X]=*\/7-1，X2=~I-V7（舍去），

:.点P（-1+V7-0）：

当NABP=90。时,

,/直线y=-x-2与x轴交于点C,与y轴交于点D,

...点C(-2,0),点。(0,-2),

；.OC=2,OD=2,CD=2近,8c=3加,

PC_BC

tanNOCD=CD=CP

2_372

272=CP

；.CP=6,

;点C(-2,0),

.•.点P(4,0),

综上所述：点P的坐标为(-l+x/7.0)或(4,0).

10、如图，一次函数y=-x+3的图象与反比例函数y=K(原0)在第一象限的图象交于A(1,〃)和8两

x

点，与X轴交于点C.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)若点P在x轴上，且AAPC的面积为5,求点P的坐标；

(3)若点尸在y轴上，是否存在点尸，使△A8P是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有

符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)把点A(l,a)代入y=-"3,得〃=2,

・"(1,2),

把A(1,2)代入反比例函数y上,

X

・•4=1x2=2；

...反比例函数的表达式为y=2;

X

(2)♦・♦一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点G

：.C(3,0),

设尸(x,0),

：.PC=\3-x\,

•'-5APC=—\3-x|x2=5,

A2

.'.x=-2或x=8,

J尸的坐标为(-2,0)或(8,0)；

(3)存在，

'y=-x+3

理由如下：联立｛_2，

=lfx1=2

解得：Xl或《，

y1=2y1=l

二8点坐标为(2,1),

•.•点尸在y轴上，

二设尸(0,m),

/MB=V(l-2)2+(2-l)2=^2'4/>=V(l-0)2+(2-m)2,Pfi=V(2-0)2+(l-m)2,

若BP为斜边，

:.BP2=AB2+AP2,

即—(2-0)22)2=2+(7(l-0)2+(2-m)2)2,

解得：加=1,

・・.尸(0,1)；

若AP为斜边，

即a(l-0)2+(2-m)2)2=(4(2-0)2+(1-。2)2+2,

解得：m--1,

：.P(0,-1)；

综上所述：P(0,1)或P(0,-1).

11、如图，直线y=-3x+6与反比例函数)，=区(x>0)分别交于点£)、A(AB<AC),经探索研究发现:

4x

结论A5=C。始终成立.另一直线(/M>0)交线段8C于点E,交反比例函数y=K(x>0))图

x

象于点F.

(1)当BC=5时:

①求反比例函数的解析式.

②若8E=3CE,求点尸的坐标.

(2)当BE：CD=\：2时，请直接写出《与加的数量关系.

解：(1)①针对于直线y=-3X+6,令X=0,则y=6,

4

・・・A(0,6),

：・OA=6,

令y=0,则0=——x+6,

4

：.D(8,0),

。。=8,

ZMD=10,

U

：BC=59

:・AB+CD=AD-BC=5,

♦：AB=CD,

2

过点B作轴于G,

：.NAGB=90°=NAO8,

'：ZBAG=ZDAO,

：.^ABG^ADO,

.AGBGAB

"OA"OD"AD'

5_

.AGBG7

•----==---,

6810

：.AG=^-,BG=2,

2

，OG=OA-AG=9,

2

：.B(2,—

2

•.•点8在反比例函数、=区(x>0))图象上,

X

.•/=2x_l=9,

2

...反比例函数的解析式为y=2；

X

②・.・8C=5,

:,BE+CE=5,

,;BE=3CE,

：.AE=AB+BE=—,

过点E作轴于从

.•.NA，E=90°=NAO8,

'：ZHAE=ZOAD,

：.AHAE^/\OAD,

•.A•-H=-E--H=:-A--E,

OAODAD

25

•-AHBG丁

,-----=-----=-----，

6810

①，BG=5,

：.OH=OA-AH=^~,

：.E（5,且）,

4

直线OE的解析式为y=9.

'x=-2遥x=2泥

联立，>解得，，9J5（舍）或，外而，

y~xy=_77TY=^~

720A"lu

•"（2代,

（2）,:BE：8=1：2,

:,BE=a,则C£>=2a,

：.AB=CD=2af

.'.AE=AB+BE=3〃，

过点E作E4_Ly轴于从

同(1)的方法得，△H4ES/\0AQ,

.AHEHAE

"OA"OD'AD"

.AHEH3a

••-二—二一,

6810

Q19

：.AH=—a,EH=—a.

55

g

..OH=OA-AH=6-—a

5f

将点E坐标代入直线(m>0)中，解得-看4,

•・•C，,l_-io,

4m+3

将点E的坐标代入反比例函数)，=K(x>0)中，

X

解得，k=^-a(6-9。)=逝4(10-3a)=-^_x^2_(10--J^L)=9'(4m+?

5525254m+34m+3(4m+3)3

13、如图，已知直线y=2x+2与x轴交于点4,与），轴交于点C,矩形4CBE的顶点B在第一象限的反比例

函数y=R图象上，过点B作BFLOC,垂足为F,设。尸=八

x

（1）求NAC。的正切值；

（2）求点B的坐标（用含f的式子表示）；

（3）已知直线y=2r+2与反比例函数y=处图象都经过第一象限的点。，联结。E,如果OELr轴，求

X

m的值.

解：(1)I•直线y=2%+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,

・,•点A(-1,0),点C(0,2)

・・・OA=1,OC=2,

zLACO=^-=—\

CO2

(2)・・♦四边形AC8E是矩形，

・・・N4C8=90。，

JNACO+NBC尸=90。,且NBC尸+NC8尸=90。,

/.NACO=NCBF,

:OF=t,

：.CF=2-t,

:lan/CW=tan/ACO="」，

BF2

/.BF=4-2n

:.点、B(4-It,f)；

(3)如图，连接。E,交x轴于4点,

VDElxtt，

/.NAHE=90。，

.•./，AE+/AEH=90°,且/CAO+/AME=90°,/CAO+/ACO=90°,/ACO+/8CF=90°,

/.ZAEH=ZBCF,S.ZCFB=ZAHE,AE=BC,

：./\BCF^/\AEH(.AAS)

：.AH=BF=4-2t,CF=HE,

•点A(-1,0),

.•.点”(3-2r,0),

.•.当x=3-2f时，y=2(3-2f)+2=8-4r,

点力坐标为(3-2/,8-4f),

•.•点。，点B都在反比例函数），=典上,

X

/.（3-2/）（8-4/）=，（4-21）

•'.?I—2（不合题意舍去），f2=旦；

5

.•.点8（2，区）

55

14、如图，过原点的直线yi=,〃x（用0）与反比例函数＞2=上（”＜0）的图象交于A、8两点，点A在第二