2021年中考数学二轮复习 18 反比例函数中的不等式问题(解析版)

专题18反比例函数中的不等式问题

1、如图,直线yi=&ix+6与双曲线”=在第一象限内交于A、B两点，已知A(1,〃?)，B(2,1).

(1)k\—,ki-,b=

(2)直接写出不等式y2>yi的解集;

(3)设点尸是线段AB上的一个动点，过点尸作PCx轴于点。，E是y轴上一点，求△/>£!)的面积S

的最大值.

kn

解：(1)VA(1,w),B(2,1)在双曲线上,

x

.'.k2—m—2xl—2,

.\A(1,2),

k<+b=2ki=-l

则《c.，解得：

2k[+b=lb=3

:.k\=-1,左2=2,b=3；

故答案为：-1»2,3；

(2)由图象得：不等式的解集是：OVx<l或x>2；

(3)设点尸(x,-x+3)，且l<x<2,

'：PD=-x+3,OD=x,

则S^PD・0D=-^X2玲X=蒋(XV)2号,

-4-<o,

2

.♦.当x与寸，S有最大值，最大值为£•.

2o

2、如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=-x+5的图象与函数y=K(k<0)的图象相交于点A,并与

x

X轴交于点c,SAAOC=15.点。是线段AC上一点，CD：AC=2：3.

(1)求我的值；

(2)根据图象，直接写出当x<0时不等式区>-x+5的解集；

X

(3)求△AO。的面积.

解：(l)y=-x+5,

当y=0时，x=5,

即OC=5,。点的坐标是(5,0),

过A作AM-Lx轴于M,

•SAAOC=15,

•••yX5XAM=15,

解得：AM=6,

即A点的纵坐标是6,

把y=6代入y=-x+5得：x=-I,

即A点的坐标是(-1,6),

把A点的坐标代入y=K得：k=-6；

x

(2)当xVO时不等式上>-x+5的解集是-l〈x<0；

X

(3)VCD：AC=2：3,SA4OC=15,

：./\AOD的面积=法丽=3X15=5.

oO

3、如图①，直线尸-舄什匕与反比例函数y=K(%>0)的图象交于A(2,6),B(a,3)两点，BC//x

2x

轴(点C在点8的右侧)，且BC=m,连接OC,过点C作CD_Lx轴于点D,交反比例函数图象于点E.

(1)求人的值和反比例函数的解析式;

(2)填空：不等式-m+6>K的解为_______

2x

(3)当0c平分/B0力时，求需•的值;

(4)如图②，取BC中点F,连接。F,AF,BD,当四边形A8QF为平行四边形时，求点F的坐标.

2

(1)将A(2,6)代入得，-3+8=6,

解得：b=9,

将4(2,6)代入>=工得，k=12,

X

反比例函数的解析式为：y=22；

X

19

(2)当y=3时，3=—,

x

解得：x=4,

：.B(4,3),

由图象可知不等式-^X+方>K的解为：2Vx<4,

2x

故答案为：2<x<4；

19IP

(3)将B(m3)代入得，—=3,

xa

解得：a=4r

•.•0C平分N5OD,

:・/BOC=/COD,

•・・3C〃x轴，

:./BCO=/COD,

：.ZBOC=ZBCOf

：.OB=BC,

VB(4,3),

:.0B=BC=5,

：.C(9,3),

,4

：.E(9,-1),D(9,0),

445

:・DE=jCE=3-£=g

333

5_

.CE=¥=5.

••丽―里—W；

3

(4)作AHLBC于”，则〃(2,3),

・"”=3,BH=2,

・・・四边形ABDF为平行四边形，

:,AB〃DF,AB=DF,

：.ZCFD=ZCBQf

VZ/4HB=ZDCF=90°,NABH=NCBQ,

：.ZCFD=ZABHf

:•△ABHQXDFC(AAS)，

:.CF=BH=2,

•IF是5C中点，

：.BF=CF=^-BC=2,

2

•:B(4,3),

：.F(6,3).

4、如图，在平面直角坐标系中，一次函数川=履+力(物0)的图象与反比例函数y2%(m#0)的图象相交

于第一、三象限内的A(3,5),B(a,-3)两点，与x轴交于点C.

(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；

(2)直接写出当时，x的取值范围；

(3)在y轴上找一点尸使P2-PC最大，求P8-PC的最大值及点尸的坐标.

解：(1)把A(3,5)代入7^1加卉0)，可得胴=3x5=15,

.••反比例函数的解析式为y2—；

15

把点8(m7)代入丫之二二，可得。=-5,

：.B(-5,-3).

(Qlr+卜—5

把4(3,5),B(-5,-3)代入巾=尤+儿可得I,

【-5k+b=-3

解得任=1,

lb=2

二一次函数的解析式为y\=x+2；

(2)当yi>"时，-5<x<0或x>3.

(3)一次函数的解析式为yi=x+2,令x=0,则y=2,

•••一次函数与y轴的交点为P(0,2),

此时，PB-PC=BC最大,P即为所求，

令y=0,则x=-2,

：.CC-2,0),

二BC=V(-5+2)2+32=3V2-

5、如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板A8C放在第二象限，点C坐标为(-1,0),点A

坐标为(0,2).一次函数了=丘+6的图象经过点&C,反比例函数y=&的图象经过点B.

X

(I)求一次函数和反比例函数的关系式；

(2)直接写出当xVO时，履+匕一旦<0的解集；

X

(3)在x轴上找一点M,使得AM+3M的值最小，直接写出点M的坐标和4M+BM的最小值.

解：（1）过点8作BFLx轴于点F,

•••点C坐标为（-1,0）,点A坐标为（0,2）.

：.OA=2,OC=\,

,：ZBCA=90°,

...NBCF+NACO=90°,

又；NC4O+NACO=90°,

：.ZBCF=ZCAO,

在4CFB中

，ZCA0=ZBCF

<ZA0C=ZCFB=90o

AC=BC

:.△AOgXCFB（AAS）,

：.FC=OA=2,BF=OC=\,

•••点8的坐标为（-3,I）,

将点B的坐标代入反比例函数解析式可得：1=与，

-3

解得：k=-3,

故可得反比例函数解析式为y=-

X

将点8、C的坐标代入一次函数解析式可得：（-3k+b=

I-k+b=O

'kJ

解得：I2.

故可得一次函数解析式为尸-呆方.

⑵结合点8的坐标及图象，可得当x<0时，h+人典<0的解集为：-3<x<0；

X

（3）作点A关于x轴的对称点4,连接8A与x轴的交点即为点

VA(0,2),

・"'(0,-2),

设直线84的解析式为y=ax+6,将点4及点8的坐标代入可得：j，

解得：卜=1

lb=-2

故直线34的解析式为y=-x-2,

令y=0,可得-x-2=0,

解得：x=-2,

故点M的坐标为(-2,0),

AM+BM=BM+MA'=BA'=yj^2-0)2+(1+2)2=^42-

综上可得：点M的坐标为(-2,0),AM+8M的最小值为3圾.

6、如图，单位长度为1的网格坐标系中，一次函数)，=履+匕与坐标轴交于A、B两点，反比例函数>=见(x

X

>0)经过一次函数上一点C(2,。).

(1)求反比例函数解析式，并用平滑曲线描绘出反比例函数图象；

(2)依据图象直接写出当x>0时不等式质+%>旦的解集；

X

(3)若反比例函数产期与一次函数尸"+6交于C、。两点，使用直尺与28铅笔构造以C、。为顶点

X

的矩形，且使得矩形的面积为10.

%

解：(1):一次函数y=kt+6过点A(0,4),点、B(8,0),

..Jb=4

10=8k+b>

(1

・AV■二—C—)

••4,

b=4

；.一次函数解析式为：y--—x+4；

2

•.•点C在一次函数图象上，

.".a=-AX2+4=3,

2

•••反比例函数y=RQ>0)经过点C(2,3),

x

・・m=6,

...反比例函数解析式为:产包,

X

图象如图所示:

(2)•..反比例函数)，=2与一次函数y=-•jkM交于C、。两点,

/.—=--x+4,

x2

••Xi=2,X2=6,

工点D(6,1),

由图象可得：当2Vx<6时，y=fcr+b的图象在》=典图象的上方，

X

不等式匕+〃>&的解集为24V6；

X

(3)如图，若以C。为边，则矩形48OC,矩形/V8QC为所求,

若以CD为对角线，则矩形DEDF为所求.

7、如图，已知反比例函数》=红的图象与一次函数”=依%+8的图象在第一象限交于A(1,3),B⑶m)

x

两点，一次函数的图象与x轴交于点C.

(1)求反比例函数和一次函数的表达式;

(2)当x为何值时，>2>0?

(3)已知点P(0,〃)(<?>0),过点尸作x轴的平行线，在第一象限内交一次函数丫2=&2*+6的图象于

k

点M,交反比例函数的图象于点M结合函数图象直接写出当时。的取值范围.

解：(1)•••反比例函数y的图象过点A(1,3),

1X

ki

.'.*1=3,

...反比例函数表达式为：y.=^-;

1X

,点8(3,m)在函数y卫的图象上，

1X

.31

,•m=77=r

0

：.B(3,1).

•.•一次函数V2=22X+匕的图象过点A(1,3),B(3,1),

r

3=k2+b

…l=3k2+b'

解得『2=7,

b=4

...一次函数的表达式为：)，2=-X+4；

...反比例函数和一次函数的表达式分别为y】=3,y2=-x+4.

1X

(2)二•当及=0时，-文+4=0,x=4,

：.C(4,0),

由图象可知，当xV4时，y2>0.

(3)如图，

由图象可得，当1V〃V3时，PM>PN.

8、对于平面直角坐标系xO)，中的任意点P(x,>'),如果满足x+y=a(x>0,a为常数)，那么我们称这样

的点叫做“特征点

(1)当2%03时，

①在点A(1,2),B(1,3),C(2.5,0)中，满足此条件的特征点为；

②。W的圆心为W(m,0),半径为1,如果。W上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直

接写出机的取值范围；

(2)已知函数2=2+、(x>0),请利用特征点求出该函数的最小值.

-2-1°23456x-2-1023456x

解：（1）①,.T+2=3,1+3=4,2.5+0=25

又「23^3,

C是特征点.

故答案为：4,C.

②如图2中,

当OW1与直线y=-X+2相切时，W\（2-V2-0）,

当。W2与直线y=-3相切时，W2（3+V2-0）,

观察图象可知满足条件的m取值范围为：2-V2</n<3+V2.

(2)Vx>0,

；.丫=上的图象在第一象限，这个图象上的点的坐标为（x,工），

XX

;特征点满足x+y=〃（x>0,4为常数），

：.x+l=a,特征点的图象是由原点向外扩大，当与反比例函数的图象第一次有交点时，x+上的值最小（如

XX

图3中），

图3

此时交点的坐标为（1,1）,

.•.Z=x+2的值最小，最小值为2.

X

9、如图，过原点的直线)>i=,nr(/n/0)与反比例函数)，2=乂(％<0)的图象交于A、B两点，点A在第二

x

象限，且点4的横坐标为-1,点。在x轴负半轴上，连接40交反比例函数图象于另一点E,AC为

的平分线，过点8作AC的垂线，垂足为C,连接CE,若AD=2DE,aAEC的面积为2.

2

(1)根据图象回答：当x取何值时，y,<y2；

(2)求△A。。的面积；

(3)若点尸的坐标为(m,k),在y轴的轴上是否存在一点M,使得△0MP是直角三角形，若存在，

请直接写出点加的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)•••直线y产小(m#0)与反比例函数竺=区《<0)的图象交于4、8两点，且点4的横坐标为-

x

1,

...点A,点B关于原点对称，

...点3的横坐标为1,

...当x取-l<x<0或x>l时，

(2)连接OC,OE,

由图象知，点A,点8关于原点对称，

：.OA=OB,

"：ACLCB,

・•・ZACB=90°,

OC=^AB=AO,

2

：.ZOAC=ZOCAt

YAC为NBA。的平分线，

：.ZOAC=ZDAC,

：.ZOCA=ZDAC,

：.AD//OC,

•，•SAAEO=SAACE——>

2

<AD=2DE,

:.AE=DE,

••AOD=2S^4O£=3；

(3)作EFLc轴于R作A〃_Lr轴于从

则EF//AH,

,:AD=2DE,

：.DE=EA,

*：EF〃AH,

•・•—DF-—D—E-—,i，

FHEA

：.DF=FH,

；.E尸是△DHA的中位线，

：.EF=^AH,

2

••c_c_k

•OEF—'AOAH-一-，

2

:.OF・EF=OH・HA,

OH=—OF,

2

：.OH=HF,

：.DF=FH=HO=—DO,

3

5A5AADO=—X3=1,

33

•・•—k—7i,

2

:.k=-2,

••»、y，—一—2»

•.•点A在y=-2的图象上，

X

二把冗=-1代入得，y=2,

・・・A(-1,2),

,/点A在直线y=nvc上,

tn=-2,

：.P（-2,-2）,

在），轴上找到一点M,使得△OMP是直角三角形,

当/OMP=90。时，PM_Ly轴，

则0M=2,

.•.点M的坐标为（0.-2）；

当NOPM=90。时，过P作PGJ_y轴于G,则△OPM是等腰直角三角形,

；.0M=2尸G=4,

...点M的坐标为(0.-4)；

综上所述，点M的坐标为(0.-2)或(0,-4).

10、如图①，在矩形OABC中，OA=4,OC=3,分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示

的坐标系，连接08,反比例函数y=K(x>0)的图象经过线段08的中点O,并与矩形的两边交于点

x

E和点F,直线/：y=fcc+b经过点E和点F.

(1)求反比例函数的解析式;

(2)连接OE、OF,求△OEF的面积；

(3)在第一象限内，请直接写出关于x的不等式丘+区区的解集：.

X

(4)如图②，将线段08绕点。顺时针旋转一定角度，使得点8的对应点，恰好落在x轴的正半轴上,

连接BH,作。点N为线段OM上的一个动点，求”N+YGo/V的最小值.

5

解：(1)在矩形A3C0中，U：OA=BC=4,OC=AB=3,

：.B(3,4),

•：OD=DB,

2

：.D(j,2),

2

；y=K经过。(4-2),

x2

：.k=3,

...反比例函数的解析式为y=-.

x

(2)如图①中，连接OE,OF.

图①

2

由题意E(4，4),F(3,1),

4

1311345

5AOEF=S矩形ABCO~SAAOE-SAOCF-SAEFB=12--x4x---x3xI--x3x(3-—)=-^-

乙,JL乙乙O

⑶观察图象可知：在第一象限内，关于、的不等式履+咤的解集为：。。竦或Q3.

2

故答案为：0<x<r^>3.

(4)如图②中，作M/_L8£>于J.HKLBD于K.

国②

由题意O8=OH=5,

:.CH=OH-0C=5-3=2,

B//=VBC2+CH2=V42+22=2V5>

.,.sinZCB/7=—=2ZE,

BH5

,/OMLBH,

：.NOMH=N8C”=90°,

•••NMO”+NCWM=90。，ZCBH+ZC/7B=90°,

：.ZMOH=ZCBH,

VOB=OH,OMLBH,

：.ZMOB=/MOH=/CBH,

.•.sin/JOO=返

5

:.NJ=ON.sinNNOD=S()N,

5

NH+®0N=NH+NJ,

5

根据垂线段最短可知，当J，N,”共线，且与重合时，的值最小，最小值="K的长,

5

•：OB=OH,BC±OH,HKLOB,

：.HK=BC=4,

11、如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板A3C放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐

标为(-1,0),tanNAC0=2.一次函数y=fcc+Z＞的图象经过点8、C,反比例函数丫=卫•的图象经过

x

点、B.

(1)一次函数关系式为、反比例函数的关系式为;

(3)在x轴上找一点M,使得AM+BM的值最小，并求M的坐标和AM+BM的最小值.

(4)若x轴上有两点E、F,点E在点尸的左边，且EF=1.当四边形ABE尸周长最小时，请直接写出

点E的横坐标为

解：（1）如图1中，过点8作8£Lx轴于点F,

图1

二点C坐标