2021年中考数学二轮复习 37 相似三角形判定在二次函数中的综合问题(解析版)

专题37相似三角形判定在二次函数中的综合问题

1、如图，抛物线产ax2+bx+c过原点0、点A(2,-4)、点B(3,-3),与x轴交于点C,直线AB交

x轴于点D,交y轴于点E.

(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标；

(2)直线AFm轴，垂足为点F,AF上取一点G,使I3GBA"AC)D,求此时点G的坐标；

(3)过直线AF左侧的抛物线上点M作直线AB的垂线，垂足为点N,若LBMN=10AF,求直线BM的

函数表达式.

【答案】(1)y=x2-4x；(2,-4)；(2)G(2,—^)；(3)y=—gx—2或y=-3x+6.

【解析】(1)解：将原点0(0,0)、点A(2,-4)、点B(3,-3),分别代入户ax2+bx+c,

河=◎1

：府42/4£=-4於.=-4

得'级T缄一隼，解得上，=Q,

y=x2-4x=(3：--4,

□顶点为(2,-4).

(2)解：设直线AB为y=kx+b,

由点A(2,-4),B(3,-3),得

滓T我=-4供=1

?虢*玄=一隼解得5，=—6，

匚直线AB为y=x-6.

当y=0时，x=6,口点D(6,0).

□点A(2,-4),D(6,0),B(3,-3),

OA=莘，OD=6,AD=砧，AF=4,OF=2,DF=4,AB=

DF=AF,又AF「x轴,

ADO=DAF=45°,

□□GBAnOAOD,

□点G(2,.

(3)解：如图1,

El

BMN=OAF,2成割2联=X馈吸以='修0蟾,

□匚MBN=21AOF,

设直线BM与AF交于点H,

□CABH=OAOD,匚HAB=ADO,

△国.△林成4：

逊_迪

诋=砺，

更

则*磔，解得AH=*

H(2,一盘).

i整+女=一4保=一年

设直线BM为产kx+b,:将点B、G的坐标代入得人』.％二-氢，解得务=一2.

1

匚直线BM的解析式为y=一M久一工

如图2,

BMN=OAF,GDB=ODA,

HBDAOD.

.盛盘..礴专

w=w,即,解得DH=4.

点H的坐标为(2,0).

设直线BM的解析式为y=kx+b.

祥春=：Q

将点B和点G的坐标代入得：看念+会=一拿,解得k=-3,b=6.

匚直线BM的解析式为y=・3x+6.

综上所述，直线MB的解析式为广一电%一”或产-3x+6.

2、在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y=or2+(c-a)x+c经过点A(-3,0)和点B(0,-6),L关

于原点0对称的抛物线为L'.

(1)求抛物线L的表达式；

(2)点P在抛物线//上，且位于第一象限，过点P作PDDy轴，垂足为D.若DPOD与Z3AOB相似，求符

合条件的点P的坐标.

33

【答案】(1)尸一户一5工一6；(2)符合条件的点尸的坐标为(1,2)或(6,12)或(；，一)或(4,2)。

24

【思路引导】

(1)利用待定系数法进行求解即可得；

(2)由关于原点对称的点的坐标特征可知点A(-3,0)、B(0,-6)在U上的对应点分别为A，(3,0)、B'(0,6),

利用待定系数法求得抛物线U的表达式为y=x2—5x+6,设P(m,m2-5m+6)(m>0),根据PDy轴，可

得点D的坐标为(0,m2—5m+6),可得PD=m,OD=m2—5m+6,再由Rt二POD与Rt口AOB相似，分

RtPDORtAOB或RtODPRtAOB两种情况，根据相似三角形的性质分别进行求解即可得.

【解析】

9Q-3（C-Q）+C=0

(1)由题意，得

c=-6

a=-l

解得：〈,，

c=-6

□L：y=­X2-5x—6；

(2)抛物线L关于原点O对称的抛物线为I,

□点A(・3,0)、B(点・6)在L上的对应点分别为A0,0)、B〈0,6),

□设抛物线U的表达式y=x2+bx+6,

将A<3,0)代入y=x?+bx+6,得b=-5,

口抛物线U的表达式为y=x2-5x+6,

□A(-3,0),B(0,-6),

□AO=3,OB=6,

设P(m,m2—5m4-6)(m>0),

匚PDDy轴，

L点D的坐标为(0,m2-5m+6),

PD=m,OD=m2-5m+6,

RtPDO与RtAOB相似，

有RtPDORt匚AOB或RtODPRtAOB两种情况，

当RtPDORtAOB时，贝=型，即+6

AOBO36

解得mi=l,m2=6,

□Pi(l,2),P2(6,12)；

当RtODPRtAOB时，则一PD=——OD，即竺m="~-5吧/??+”6

BOAO63

3

解得013=—,1114=4,

2

33

P(-,-),P«4,2),

324

□Pl.P2、P3、P4均在第一象限,

33

符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6,12)或(不，一)或(4,2).

24

本题考查的是二次函数综合题，涉及了待定系数法、关于原点对称的抛物线的特点、相似三角形的判定与

性质等，综合性较强，难度较大，正确把握和灵活运用相关知识是解题的关键.

3、如图，已知二次函数'=9-2》+〃?的图象与％轴交于点4、B,与y轴交于点C,直线AC交二次函

数图象的对称轴于点。，若点C为AD的中点.

（2）若二次函数图象上有一点。，使得tanNA5Q=3,求点。的坐标；

（3）对于（2）中的。点，在二次函数图象上是否存在点P,使得△QBPE）Z\CO4?若存在，求出点P的

坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）m=-3；（2）。（-4,21）或。（2,—3）；（3）不存在，理由见解析.

【思路引导】

（1）设对称轴与％轴交于点E，如图I，易求出抛物线的对称轴，可得OE的长，然后根据平行线分线段

成比例定理可得OA的长，进而可得点力的坐标，再把点”的坐标代入抛物线解析式即可求出m的值；

（2）设点。的横坐标为小当点。在8轴上方时，过点。作0"x轴于点"，利用tanNA5Q=3可得关

于〃的方程，解方程即可求出”的值，进而可得点。坐标；当点。在x轴下方时，注意到tanNBAC=3,

所以点。与点C关于直线x=l对称，由此可得点。坐标；

（3）当点。为x轴上方的点时，若存在点P,可先求出直线8。的解析式，由3尸口8。可求得直线8P的解

析式，然后联立直线BP和抛物线的解析式即可求出点P的坐标，再计算此时两个三角形的两组对应边是否

成比例即可判断点尸是否满足条件；当点Q取另外一种情况的坐标时，再按照同样的方法计算判断即可.

【解析】

解：（1）设抛物线的对称轴与x轴交于点£,如图I,＞轴//££），AC:CD=AO:OE=\,

抛物线的对称轴是宜线x=—1=1,rOE=\,iAO=QE=l,n4（-l,0）

将点A（T,O）代入函数表达式得：l+2+〃?=0,m=-3；

rr一2〃一3

点。在/轴上方时，力＜0,如图2,过点。作0"：X轴于点〃，tanNA5Q=3,----------=3,

3-n

解得：〃=—4或〃=3（舍），（2（—4,21）；

点。在1轴下方时，。力=1,OC=3,tanNB4C=3,tanNA5Q=3,点。与点。关于直线％=1

对称，Q（2,—3）；

（3）当点。为（T,21）时，若存在点P,使AQBPACQ4,MPBQ=COA=90°,

由8(3,0)、2(T21)可得，直线80的解析式为：y=-3x+9,所以直线总的解析式为：y=

[y=—x-1[x=3""一§(211、

联立方程组：f3,解得：\1八，＜；,，「一不一一，

2。]弘=011139；

[y=x-2》-35^y2=--

(M:OC=1:3，BP:BQ=日而:7加力1:3,

BP.BQ^OA-.OC,P不存在；

u当点。为(2,-3)时，如图4,由8(3,0)、0(2,-3)可得,直线80的解析式为：y=3x—9,所以直线

尸4的解析式为：y=—大尤+1,

[fyJ

y=——x+1[%=3W-3(413、

联立方程组：＜3,解得：1八，(二，P一；，一，

X=013139j

y=x-2x-3I"y2=_'

OA：OC^\：3,Vio：Vio^i：3,

9

BP:BQ^OA,OC.P不存在.

综上所述，不存在满足条件的点P,使△Q8P\COA.

【方法总结】

本题考查了平行线分线段成比例定理、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解法、相似三角形

的判定和性质、锐角三角函数和两个函数的交点等知识，综合性强、具有相当的难度，熟练掌握上述知识、

灵活应用分类和数形结合的数学思想是解题的关键.

4、如果一条抛物线夕=»2+笈+。(存0)与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的

三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a，b,d称为“抛物线系数

(1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是(填“真''或"假”)命题；

(2)若一条抛物线系数为[1,0,—2],则其“抛物线三角形”的面积为；

(3)若一条抛物线系数为[-1,2b,0],其“抛物线三角形''是个直角三角形，求该抛物线的解析式；

(4)在(3)的前提下，该抛物线的顶点为4,与x轴交于O,B两点,在抛物线上是否存在一点尸，过尸

作尸0nx轴于点0,使得UBP。DOAB,如果存在，求出P点坐标，如果不存在，请说明理由.

【答案】(1)假；(2)2>/2；(3)y——x2+2x或y=-x2—2x；(4)P(1,1)或尸(-1,—3)或P(l,

-3)或(-1,1).

【解析】(1)当>0时，抛物线与x轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题：

(2)由题意得：y=x2-2,令尸0,得：x=+V2,□S=|x2y[2x2=242；

(3)依题意：y=-x2+2bx,它与x轴交于点(0,0)和(2b,0)；

当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形.

y=-x2+2bx=-(x-b)2+b2,「顶点为(b,加)，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：b2=

|x\2b\,b2=\b\,解得：b=0(舍去)或b=±l,

[y=­/+2x或y=-x2-2x.

(4)□当抛物线为丁=一/+公时.

□为等腰直角三角形，^BPQUUOAB,

8P0为等腰直角三角形，设P(a,-a2+2a),Q((a,0),

则I—q2+2a|=|2—aI,即|a(a—2)|—|a—2|.

。一2和，n|a|=1,口。=±1,P(1,1)或(一1,—3).

「当抛物线为了=一/—'2%时.

/。8为等腰直角三角形，且BPQOAB,

8尸0为等腰直角三角形，设PQ,-a2-2a),Q((a,0),

则I-a2—2aI=I2+aI,即|a(a+2)|=\a+2\.

□a+2/0>D|a|=1,Oa=±l,P(1,-3,)或(-1,1).

综上所述：P(1,1)或P(-1,-3)或尸(1,-3,)或(-1,1).

5、如图1,一次函数y=-x+3的图象交x轴于点A,交y轴于点D,抛物线y=ax?+bx+c(a/0)的顶点为

C,其图象过A、D两点，并与x轴交于另一个点B(B点在A点左侧)，若笫=孝；

(1)求此抛物线的解析式；

(2)连结AC、BD,问在x轴上是否存在一个动点Q,使A、C、Q三点构成的三角形与DABD相似.如

果存在，求出Q点坐标；如果不存在，请说明理由.

(3)如图2,若点P是抛物线上一动点，且在直线AD下方，(点P不与点A、点D重合)，过点P作y轴

的平行线1与直线AD交于点M,点N在直线AD上，且满足口MPNDIDABD,求DMPN面积的最大值.

【答案】(1)y=x2-4x+3；(2)见解析；(3)EJMPN的面积的最大值为:塞.

64

【解析】⑴当x=0时，y=-x+3=3,则D(3,0)；

当y=0时，-x+3=0,解得x=3,则A(3,0),

□OD=OA,

□□OAD为等腰直角三角形，

□AD=3A/2,

ABV2

□—=—,

AD3

□AB=2,

□B(1,0),

设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3),

把D(0,3)代入得a・(-1)•(-3)=3,解得a=l,

□抛物线解析式为y=(x-1)(x-3),即y=x?-4x+3；

(2)作CHEIx轴，如图1,

□y=x2-4x+3=(x-2)2-1,

□C(2,-1)

□AH=CH=1,

□□ACH为等腰直角三角形，

□□CAH=45°,AC=VL

□□OAD为等腰直角三角形，

□□DAO=45°,

□□CAQ=LJDAB,

□当第=爷时，DAQCLILJADB,即幕=中，解得AQ=3,此时Q(0,0)；

当当=%时,DApCDDABD,即争=系,解得AQ=|,此时Q0)；

综上所述，Q点的坐标为(0,0)或(go)；

(3)作PEDAD于E,如图2,

□□MPNDOABD,

「MNMP

--=---,

ADAB

0MN=—MP,

2

设P(x,x2-4x+3),则M(x,-x+3),

□MP=-x+3-(x2-4x+3)=-x2+3x=-(x--)24—,

24

当x=|时，MP有最大值京

MN的最大值为乎x：=竿，

24o

□□PME=45。，

PE=-PM,

2

PE的最大值为

24o

□cMPN的面积的最大值为3警、乎=簪.

28864

6、已知，抛物线y=℃2+bx+3(a<0)与x轴交于/(3,0)、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称

轴是直线x=l,。为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE=g.

(1)求抛物线的解析式及顶点。的坐标；

(2)求证：直线。E是工48外接圆的切线；

(3)在直线4c上方的抛物线上找一点P,使5M代=：5凶8,求点P的坐标；

(4)在坐标轴上找一点“，使以点8、C、M为顶点的三角形与口/8相似，直接写出点”的坐标.

【答案】(1)y=-x2+2x+3,顶点〃(1,4)；(2)证明见解析；(3)P(3+正,三二6)或(上正

222

5+西)；(4)(0,0)或(9,0)或(0,--).

23

【解析】

解：(1)匚抛物线的对称轴是直线％=1,点/(3,0),□根据抛物线的对称性知点8的坐标为(-1,0),

9a+3b+3)-0：一11,抛物线

<9/1=3,将力(3,0),8(-1,0)代入抛物线解析式中得：，,.c，解得：＜

a-b+3-Ob=2

解析式为旷=一，+2》+3；当尸1时，尸4,口顶点。(1,4).

(2)当=0时，点C的坐标为(0,3),心底+3?=3五，3#+]2=0,3,22+42=2指，

UAC^+CD^AD2,口口48为直角三角形，UACD=90°,L4D为MCD外接圆的直径，□点£在轴C点的

上方，且CE=g,£(0,g),J£=^32+(1)2,OE=^12+(1)2=乎，QDE^A^AE2,ODAED

为直角三角形，口/。£=90。，AD\DE,又L4D为/C。外接圆的直径，DE是/CO外接圆的切线；

3女+Z?=0[k=-l

(3)设直线ZC的解析式为广独+儿根据题意得：<，,解得：个，直线4c的解析式为

。=3=3

y=-x+3,QA(3,0),D(1,4),一I线段4。的中点N的坐标为(2,2),过点N作NPKC,交抛物线于

点、P,设直线N尸的解析式为尸-x+c,则-2+c=2,解得：c=4,口直线NP的解析式为y=-x+4,由尸-

x+4,y=-/+〃+3联立得：-/+2r+3=-x+4,(W得：-3+逐或尸加,尸5一非,或尸5+6,

2222

P(3+百,5-占)或(3-占,5+75)；

2222

(4)分三种情况：口〃恰好为原点，满足口CMBID/C。，M(0,0)；

M在x轴正半轴上，MCBACD,此时M(9,0)；

口”在y轴负半轴上，DCBM口口48,此时M(0,-1)；

综上所述，点A/的坐标为(0,0)或(9,0)或(0,-

7、如图，抛物线经过A(4,0),B(l,0),C(0,一2)三点.

(1)求出抛物线的解析式；

(2)P是抛物线上一动点，过P作PMDx轴，垂足为M,是否存在P点，使得以A,P,M为顶点的三角形

与DOAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y=-*+|x-2;(2)点P为(2,1)或(5,—2)或(一3,—14)或(0,-2).

【解析】解：(1)该抛物线过点C(0,-2),

r可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2.

将A(4,0),B(l,0)代入，得［侬：出了二。，解得「「，

la+b—2=0b=-

I2

匚此抛物线的解析式为y=-：x2+，-2.

(2)存在，

设P点的横坐标为m,则P点的纵坐标为一gm2+}n—2,

当l<m<4时，AM=4—m,PM=-Tm2+}n—2.又lCOA=PMA=90°,

当券=蔡=轲，APMACO,即4-m=2(-：m2+|m—2).

解得mi=2,m2=4(舍去)，nP(2,1).

［当券=患=9时，APMCAO,即2(4-m)=-gm2+|m-2.

解得mi=4,m2=5(均不合题意，舍去)，当l<m<4时，P(2,1).

类似地可求出当m>4时，P(5,-2).

当m<l时，P(-3,-14)或P(0,-2),

综上所述，符合条件的点P为(2,1)或(5,-2)或(一3,—14)或(0,-2).

8、如图，已知抛物线产;x2+bx+c经过UABC的三个顶点，其中点A(0,1),点B(-9,10),ACx

轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点P且与y轴平行的直线1与直线AB、AC分别交于点E、F,当四边形AECP的面积最大时，求

点P的坐标；

(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q,使得以C、P、Q为顶点的三角形与「ABC

相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)抛物线的解析式为产gx2-2x+l,(2)四边形AECP的面积的最大值是©■，点P(2,-|)：

3424

⑶Q(4,1)或(-3,1).

【解析】

解：(1)将/(0,1),8(9,10)代入函数解析式得：

—><81+96+c=10,c=1,解得b=-2,c=1,

3

所以抛物线的解析式y=；f-2x+1；

(2)ZCx轴，A(0,1),

-^x2-2x+l=l,解得x1=6,工2=0(舍)，即C点坐标为(6,1),

口点4(0,1),点3(9,10),

直线43的解析式为y=x+l,设尸(〃?，；"户_2加+1),m+1),

匚PE=w+l-(-m2-2m+\)=--m2+3m.

\JACQPE9AC=6t

1.1

S四边杉JEC+5APC=ACEF~\—ACPF

22

11

=-AC(EF+PF)=-ACEP

22

=；x6(-gm2+3m)=-m2+9m.

0<w<6,

98195

当〃?=一时，四边形4ECP的面积最大值是下，此时P(不，一二)；

2424

1.1

(3)y=—x2-2x+1=—(x-3)2-2,

P(3,-2),PF=y『yp=3,CF=XF-XC=3,

[JPF=CF,QUPCF=45,

同理可得匚E4F=45,□□PCF=DE4F,

在直线AC上存在满足条件的点0,

设0(f,1)且48=90,/C=6,CP=3&，

L以C,P,。为顶点的三角形与I/8C相似，

U当UCP0Z8C时，

CQ:AC=CP:4B,(6-少6=30:90，解得f=4,所以0(4,1)；

口当【CQP口□。5c时,

CQAB^CP-AC,(6-/；：972=372:6,解得，=-3,所以。(-3,1).

综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线ZC上存在点0,使得以C,P,。为顶点的三角形与口43。

9、如图，已知直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线过A,B两点，点P是线段AB上一动

点，过点P作PCIx轴于点C,交抛物线于点D.

（1）若抛物线的解析式为y=—2久2+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.

□求点M、N的坐标；

口是否存在点P,使四边形MNPD为菱形？并说明理由；

（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与AAOB相似？

若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴M(p|)忧,3)□答案见解析(2)存在，丁=一2/+2%+4或丫=一|/+3刀+4

【解析】(1)□如图1,

y=-2x2+2x+4=-2(x-^)2+

・•・顶点为M的坐标为c，今，

当x=：时，y=-2x|+4=3,则点N坐标为G，3)；

不存在.

理由如下：

93

MN=--3=-,

22

设P点坐标为(m,-2m+4),则D(m,-2m2+2m+4),

・•・PD=-2m2+2m4-4—(—2m+4)=-2m2+4m,

vPD//MN,

当PD=MN时，四边形MNPD为平行四边形，即一2m2+4m=£解得1m=（（舍去），m2=p此时P点坐

标为（羡，1），

：PN=管+(3T)2=巡，

•••PNrMN,

二平行四边形MNPD不为菱形，

二不存在点P,使四边形MNPD为菱形；

(2)存在.

如图2,0B=4,0A=2,则AB=M+42=26,

当x=l时，y=-2x+4=2,则P(l,2),

■­•PB=J/+(2_4)2=V5,

设抛物线的解析式为y=ax2+bx+4,

把A(2,0)代入得4a+2b+4=0,解得b=-2a-2,

”抛物线的解析式为y=ax2-2(a+l)x4-4,

当x=1时，y=ax2-2(a+l)x+4=a—2a—2+4=2—a,则D(l,2—a),

I.PD=2—a—2=—a,

vDC//OB,

:.Z.DPB=zOBA,

当券=翳时，APDB-ABOA,即三=亲解得a=-2,此时抛物线解析式为y=-2x?+2x+4；

当券=需时，APDBSABAO,即急=彳，解得a=—|,此时抛物线解析式为y=—|x2+3x+4；

综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y=-2x2+2x+4或y=-|x2+3x+4.

4,

10、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-§JT+〃x+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B,四

边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1,0）,点B的坐标为（0,4）,已知点E（m,0）是线段DO上的动

点，过点E作PEDx轴交抛物线于点P,交BC于点G,交BD于点H.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；

(3)在(2)的条件下，是否存在这样的点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与E1DEH相似？若存在,

求出此时m的值；若不存在，请说明理由.

4,8

：(2)PG=--m---m-.(3)存在点P,使得以P、B、G为顶点的三

33

23

角形与DEH相似，此时m的值为-1或一丁.

16

【解析】

4,

解：(I)抛物线丁=一§/+法+(:与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,4),

4.八.8

,——+/?+(?=0b-——

{3,解得{3.

c=4c=4

48

抛物线的解析式为y=--x92--x+4.

(2)DE(m,0),B(0,4),PEZJx轴交抛物线于点P,交BC于点G,

4，8，

P(m,—m~—m+4),G(m,4).

33

48—48

PG=­m~2——加+4—4=——m~2——m.

3333

(3)在(2)的条件下，存在点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与HDEH相似.

4,84,8

y=-x~—x+4,门当y=0时，—x~—x+4=0,解得x=l或-3.

'3333

□D(-3,0).

当点P在直线BC上方时，-3<m<0.

设直线BD的解析式为y=kx+4,

4

将D（-3,0）代入，得-3k+4=0,解得k=1.

44

直线BD的解析式为y=-x+4.H（m,—m+4）.

33

分两种情况：

428

6口—tn—m

BGGP-maQ

「如果BGPDEH,那么一=——，即-----=T-----.

DEEHm+34

—m+4

3

由-3VmV0,解得m=-l.

428

PGBG-3m-m

如果PGBDEH,那么；节=有三，即」一?—=7-----

DEHEm+34m

3

23

由-3<mV0,解得m=---.

16

综上所述，在（2）的条件下，存在点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与口DEH相似，此时m的值为

t23

一1或一改

11、如图，一次函数y=-x-2的图象与二次函数了=0%2+瓜-4的图象交于x轴上一点Z,与y轴交于点B,

在x轴上有一动点C.已知二次函数^=公2+云-4的图象与y轴交于点。，对称轴为直线x=〃（〃<0）,n

是方程2x2-3x-2=0的一个根，连接AD.

（1）求二次函数的解析式.

（2）当SACB=3SADR时，求点C的坐标.

（3）试判断坐标轴上是否存在这样的点C,使得以点/、B、C组成的三角形与口/。8相似？若存在，试

求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

▽

【答案】（1）y=2x2+2x-4；（2）点C的坐标为（4,0）或（-8,0)；(3)在x轴上有一点C(-4,0)

或（-6,0）,使得以点A,B、C组成的三角形与0408相似.

【解析】

（1）在y=-x-2中，令y=0,则x=-2

□A(-2,0).

由2X2・3X・2=0,得XI=B，X2=2,

□二次函数y=ax2+bx-4的对称轴为直线x=-|,

4a—2b—4=0

口b_19

.2a2

解得f=2,

lb=2

□二次函数的解析式为：y=2x2+2x-4；

(2)USADB=|BD2A=2,

□SACB=3SADB=6.

□点C在x轴上，

11

□SDACB-AC«OB-X2AC=6,

□AC=6.

□点A的坐标为(-2,0),

□当SACB=3SADB时，点C的坐标为(4,0)或(-8,0)；

(3)存在.

理由：令x=0,一次函数与y轴的交点为点B(0,-2),

□AB=V22+22=2V2,nOAB=QOBA=45°.

口在CJABD中,DBAD,Z3ADB都不等于45。，□ABD=180°-45°=135°,

□点C在点A的左边.

□AC与BD是对应边时，□□ADBEIEIBCA,

廿AB

□—=—=1,

ABBD

□AC=BD=2,

□OC=OA+AC=2+2=4,

口点C的坐标为(-4,0).

□当AC与AB是对应边时，□□ADBEIUCBA

「ACAB2V2

——,

ABBD2

AC=V2AB=V2X2A/2=4,

□OC=OA+AC=2+4=6,

□点C的坐标为(-6,0).

综上所述，在x轴上有一点C(-4,0)或(-6,0),使得以点A、B、C组成的三角形与DADB相似.

12、如图，抛物线y=ax2-2ax+c(a#0)交x轴于A、B两点，A点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,

4),以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G.

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线的对称轴1在边OA(不包括0、A两点)上平行移动，分别交x轴于点E,交CD于点F,交

AC于点M,交抛物线于点P,若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示PM的长；

(3)在(2)的条件下，连结PC,则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P,使得以P、C、F为顶

点的三角形和_AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断UPCM的形状；若不存在，请说明理由.

4,84,

【答案】(1)抛物线的解析式为y=-§x-+§x+4；(2)PM=--m-+4m(0<m<3);(3)存在这样

23

的点P使IPFC与AEM相似.此时m的值为一或1,PCM为直角三角形或等腰三角形.

16

【解析】

解：(1)抛物线y=ax2-2ax+c(a#0)经过点A(3,0),点C(0,4),

々............4

I幽欲一圈•,斛=8?3=—

-M,解得f{3.

Xc=4

4,8

抛物线的解析式为y=-§x2+§x+4.

(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,

□A(3,0),点C(0,4),

解得卜=一:

3k+b=0

{b=4

b=4

4

L直线AC的解析式为y=--x+4.

L点M的横坐标为m,点M在AC上,

4

M点的坐标为(m,——m+4).

48

点P的横坐标为m,点P在抛物线y=—§x?2+1X+4上，

48

一点P的坐标为(m,—nr9H■—m+4).

33

,48442”

PM=PE—ME=(—m2H—m+4)—(—m+4)=—m+4m.

3333

PM=--m2+4m(0<m<3).

3

（3）在（2）的条件下，连接PC,在CD上方的抛物线部分存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三

角形和匚AEM相似.理由如下：

44848

由题意，可得AE=3-m,EM=——m+4,CF=m,PF=——m2+-m+4-4=——m2+-m,

33333

若以P、C、F为顶点的三角形和匚AEM相似，分两种情况：

484

匚若「PFCAEM,则PF：AE=FC：EM,即(一一m2+-m)：(3-m)=m：(一一m+4),

333

23

m，0且mR3，m=—.

16

PFCDlAEM,□CPCF=LAME.

□□AME=DCMF,□DPCF=DCMF.

在直角DCMF中，□□CMF+nMCF=90°,□□PCF+DMCF=90°,即口PCM=90。.

PCM为直角三角形.

□^□CFPDDAEM,贝iJCF：AE=PF：EM,即m：(3-m)=("2+"/m+4),

333

□m#)且n#3,m=l.

LCFPLLAEM,DLJCPF=[AME.

AME=OCMF,CPF=CMF.CP=CM.

□匚PCM为等腰三角形.

23

综上所述，存在这样的点P使PFC与1AEM相似.此时m的值为一或1,PCM为直角三角形或等腰三

16

角形.

13、如图，已知抛物线经过原点0,顶点为A（1,1）,且与直线y=x-2交于B,C两点.

□求抛物线的解析式及点C的坐标；

□求证：UABC是直角三角形；

口若点N为x轴上的一个动点，过点N作MNIZlx轴与抛物线交于点M,则是否存在以0,M,N为顶点的

三角形与DABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（l）y=-X2+2X；C（-l,-3）；（2）证明过程略；（3）（|,0）或00）或（-1,0）或（5,0）.

【解析】解：（1）口顶点坐标为（1,1）,

□设抛物线解析式为广a（x-1）2+1,

又抛物线过原点，

□0=a(0-1)2+1,解得a=。,

□抛物线解析式为y=・(x-1)2+1,

即y=-x2+2x,

联立抛物线和直线解析式可瞰二「二、

解得仁融仁二;,

□B(2,0),C(-1,-3)；

（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点,

贝ijAD=OD=BD=1,BE=OB+OE=2+1=3,EC=3,

□□ABO=DCBO=45°,BPnABC=90°,

ABC是直角三角形；

(3)假设存在满足条件的点N,设N(x,0),则M(x,-x2+2x),

□ON=|x|<MN=|-x2+2x|,

由(2)在RtABD和RtUCEB中，可分别求得AB=&,BC=3近,

MNx轴于点N

ABC=MNO=90°,

，当ABC和MNO相似时有翳=黑或器=器，

当黑=黑时，则有弓科=最,即国卜x+2|=|x|,

当x=0时M、O、N不能构成三角形，

□x^O,

|-x+2|=p即-x+2=±g,解得x=|或x=^,

此时N点坐标为（（0）或（g0）；

当等=察时，则有耳并即|x|卜x+2|=3|x|,

卜x+2|=3,即-x+2=±3,解得x=5或x=-l,

此时N点坐标为（・1,0）或（5,0）,

综上可知存在满足条件的N点，其坐标为0,0）或6，0）或（-1,0）或(5,0).

14、如图，已知：在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,P是对角线BD上的一个动点，作PF「；BD于P,交边

BC于点F（点F与点B、C都不重合），E是射线FC上一动点，连接PE、ED,并一直保持口EPF=iJFBP,

设B、P两点的距离为x,DDEP的面积为y

(1)求出tanUPBF；

(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围

(3)当E1DEP与口BCD相似时，求口DEP的面积

【答案】(1)-；(2)y=Q君-切(0<*<；(3)当UDEP=90。时，面积为"；当LPDE=90。

2,3516

时，面积为一

4

【解析】

(1)二四边形ABCD是矩形，

.-.AB=CD