2021年中考数学二轮复习：轴对称确定最短路线 尖子生练习题（含答案）

2021年中考数学二轮复习：轴对称确定最短路线尖子生练习题

1.如图，动点M在边长为2的正方形ABC。内，且尸是CQ边上的一个动点,

E是4。边的中点，则线段PE+PM的最小值为（）

B.扬1C.A/10D.5/5+I

2.如图，正方形ABCO的边长为4,点E在4B上且BE=1,尸为对角线AC上一动点，则

△BFE周长的最小值为（）

A.5B.6C.7D.8

3.如图，在RtZ\AOB中，NAOB=90°,OA=3,08=4,以点。为圆心，2为半径的圆

与08交于点C,过点C作C£>J_0B交A2于点£>,点尸是边。4上的动点.当PC+PD

最小时，0P的长为（）

A.AB.3C.ID

24t

4.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=3,动点P满足S△依B=」力矩形ABCD,则点P到A、

3

第1页共41页

8两点距离之和B4+P8的最小值为（)

A.2^13B.2A/10C.3炳D.741

5.如图，在RtZ\4B0中，/OBA=90°,A（4,4）,点C在边AB上，且£•=工，点力

CB3

为08的中点，点P为边04上的动点，当点P在0A上移动时，使四边形尸力8C周长

最小的点P的坐标为（）

A.(2,2)B.(5,2)C.(2，区)D.(3,3)

2233

6.如图，在正方形ABC。中，E,尸分别为AD,BC的中点，P为对角线8。上的一个动点,

则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（）

A.ABB.DEC.BDD.AF

7.如图，在矩形ABC。中，AB=5,AO=3,动点尸满足S△用B=25矩形ABCD,则点尸到A、

3

B两点距离之和PA+PB的最小值为（）

第2页共41页

A.V29B.>/34C.572D.V41

8.平面直角坐标系xOy中，已知A（-1,0）、B（3,0）、C（0,-1）三点，D（1,m）

是一个动点，当△ACD的周长最小时，△A3。的面积为（）

A.AB.2C.AD.反

3333

9.如图，抛物线>=12+桁-2与x轴交于A、8两点，与y交于C点，且A（-l,0）,

2

点〃（,"，0）是x轴上的一个动点，当MC+MZ）的值最小时，加的值是（）

"I

10.如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6,点A,C分别在x轴，y轴的正半轴上,

点。在OA上，且。的坐标为（2,0）,P是。8上的一动点，试求尸£>+以和的最小值

是（）

第3页共41页

A.2^10B.V10C.4D.6

11.如图所示，正方形ABC。的面积为12,△ABE是等边三角形，点E在正方形ABC。内,

在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

A.2MB.2cC.3D.V6

12.如图，直线/是一条河，P,Q两地相距8千米，P,Q两地到/的距离分别为2千米，

5千米，欲在/上的某点M处修建一个水泵站，向尸，Q两地供水.现有如下四种铺设方

案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）

13.如图，四边形A8CD中，DALAB,CBLAB,AO=3,AB=5,BC=2,尸是边AB上

的动点，则PC+PD的最小值是.

14.如图，在矩形ABC。中，BC=10,NAB£>=30°,若点M、N分别是线段AB上

的两个动点，则AM+MN的最小值为

第4页共41页

D

M

15.如图，在直角坐标系中，点4(1,1),B(3,3)是第一象限角平分线上的两点，点C

的纵坐标为1,且CA=CB,在y轴上取一点。，连接AC,BC,AD,BD,使得四边形

ACB。的周长最小，这个最小周长的值为.

16.如图，在平面直角坐标系中，己知A(3,6),8(-2,2),在x轴上取两点C,。(点

C在点。左侧)，且始终保持CC=1,线段8在x轴上平移，当AQ+BC的值最小时，

点C的坐标为.

17.如图，已知正方形A8CZ)的边长为4,点E是边AB的中点，点P是对角线8。上的动

点，则4P+PE的最小值是.

18.如图，在边长为1的菱形ABC。中，ZABC=60°,将△48。沿射线8。方向平移，得

到△EFG,连接EC、GC.求EC+GC的最小值为.

第5页共41页

E

19.如图，△ABC为等边三角形，边长为6,ADLBC,垂足为点。，点E和点尸分别是线

段AO和AB上的两个动点，连接CE,EF,则CE+EF的最小值为.

20.如图，在边长为I的菱形A8CD中，NABC=60°,将△AB。沿射线8。的方向平移得

到△Ab£>,,分别连接A'C,A'D,B'C,则4C+5C的最小值为.

21.如图，在矩形A8CD中，AB=4,AD=3,矩形内部有一动点P满足S△必矩形ABCD,

3

则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为.

22.在平面直角坐标系内有两点A、B,其坐标为A(-1,-1),B(2,7),点M为x轴

上的一个动点，若要使例B-MA的值最大，则点M的坐标为.

第6页共41页

23.如图，中，/C=90°,以4B为边在A8上方作正方形4BDE,过点。作OF

LCB,交CB的延长线于点尸，连接BE.

(1)求证：△AB8/\BDF；

(2)P,N分别为AC,BE上的动点，连接AMPN,若。F=5,AC=9,求AN+PN的

最小值.

24.如图，在四边形ABCD中，BC//AD,BC=L。，点E为AO的中点，点F为4E的中

2

点，ACJ_CD,连接BE、CE、CF.

(1)判断四边形ABCE的形状，并说明理由；

(2)如果48=4,/。=30°,点尸为BE上的动点，求的周长的最小值.

25.如图，在RtaABC中，NACB=90°,ZBAC=30°,E为AB边的中点，以BE为边

作等边△8OE,连接40,CD.

(1)求证：△4OE四△CDB；

第7页共41页

(2)若BC=M，在AC边上找一点H,使得BH+E”最小，并求出这个最小值.

26.问题背景：

如图(a),点A、8在直线/的同侧，要在直线/上找一点C,使AC与BC的距离之和最

小，我们可以作出点B关于/的对称点夕，连接AB'与直线/交于点C,则点C即为

所求.

(1)实践运用:

如图(b),己知，00的直径CZ)为4,点A在。。上，NAC£>=30°,8为弧AO的中

点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为.

(2)知识拓展：

如图(c),在Rt/XABC中，AB=\O,ZBAC=45°,NA4c的平分线交BC于点。，E、

尸分别是线段4。和AB上的动点，求5E+EF的最小值，并写出解答过程.

第8页共41页

27.阅读材料：

(1)对于任意两个数。、6的大小比较，有下面的方法：

当4-匕>0时，一定有4〉匕；

当4-6=0时，一定有4=b；

当”-b<0时，一定有a<b.

反过来也成立.因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”.

(2)对于比较两个正数4、6的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：

■:金-中=(a+b)Ca-b),a+b>0

(42-匕2)与(“-〃)的符号相同

当/-房>0时，a-b>0,得a>b

当.2-庐=0时，a-b=0,得a=b

当d-%2Vo时,a-b<0,得a<b

解决下列实际问题：

(1)课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张44纸，7张B5纸；李

明同学用了2张A4纸，8张85纸.设每张A4纸的面积为x,每张B5纸的面积为y,且

x>y,张丽同学的用纸总面积为Wi,李明同学的用纸总面积为W2.回答下列问题：

①Wi=(用x、y的式子表示)

W2=(用x、y的式子表示)

②请你分析谁用的纸面积最大.

(2)如图1所示，要在燃气管道/上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知4、B

到/的距离分别是3痴、4km(HPAC=3km,BE=4km),AB=xktn,现设计两种方案：

第9页共41页

B

图3

方案一：如图2所示，AP_U于点P,泵站修建在点P处，该方案中管道长度m=A8+AP.

方案二：如图3所示，点A'与点A关于/对称，4'B与/相交于点P,泵站修建在点P

处，该方案中管道长度〃2=AP+BP.

①在方案一中，a\—km（用含x的式子表示）；

②在方案二中，“2=km（用含x的式子表示）；

③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二.

28.在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题.

如图（1）,要在燃气管道/上修建一个泵站，分别向4、8两镇供气.泵站修在管道的什

第10页共41页

么地方，可使所用的输气管线最短?

你可以在/上找几个点试一试，能发现什么规律？

B

何BA

■/I

、，I

p\'1

\■

、I

.................................7

(1)(2)B，

聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道/看成一条

直线(图(2)),问题就转化为，要在直线/上找一点P,使AP与5尸的和最小.他的做

法是这样的：

①作点B关于直线/的对称点B'.

②连接A"交直线/于点P,则点P为所求.

请你参考小华的做法解决下列问题.如图在AABC中，点£＞、E分别是AB、AC边的中

点，BC=6,BC边上的高为4,请你在8c边上确定一点P,使△PQE得周长最小.

(1)在图中作出点P(保留作图痕迹，不写作法).

(2)请直接写出△PDE周长的最小值：.

A

第11页共41页

29.去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建

一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村8送水.经实地勘查后，工程人员设计图

纸时，以河道上的大桥。为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图）.两

村的坐标分别为A（2,3）,B（12,7）.

（1）若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥多远的地方可使所用输水管道最短？

（2）水泵站建在距离大桥多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？

30.几何模型:

条件：如下图，A、B是直线/同旁的两个定点.

问题：在直线/上确定一点P,使附+尸8的值最小.

方法：作点A关于直线/的对称点A',连接A'8交/于点尸，则以B的值最

小（不必证明）.

第12页共41页

模型应用：

(1)如图1,正方形ABCD的边长为2,E为A8的中点，P是AC上一动点.连接8£>,

由正方形对称性可知，B与。关于直线AC对称.连接交AC于P,则P8+PE的最

小值是:

(2)如图2,OO的半径为2,点A、B、C在上，OALOB,ZAOC=60°,尸是

上一动点，求％+PC的最小值；

(3)如图3,NAOB=45°,P是NAOB内一点,P0=10,。、R分别是。4、0B上的

动点，求△PQR周长的最小值.

参考答案

1.解：作点E关于OC的对称点E,设A8的中点为点。，连接0E1,交。C于点P,连接

PE,如图:

•动点M在边长为2的正方形A8C力内，且

...点M在以A3为直径的圆上，OM=』AB=1,

2

正方形ABCD的边长为2,

第13页共41页

：.AD=AB=2,ZDAB=90°,

•IE是AQ的中点，

DE=1AD=^-X2=b

22

•・•点E与点E关于0c对称，

：.DE=DE=\,PE=PE,

・"£=AO+OE=2+1=3,

在RtZVIOE中，OE=d.2+AO2=T2+]2=V^,

・•・线段PE+PM的最小值为：

PE+PM

=PE+PM

=ME

=0E-OM

=VTo-1-

故选：A.

2.解：如图，连接交AC于一点F,连接8F,

•.•四边形ABC。是正方形，

.•.点8与点。关于AC对称，

：.BF=DF,

：./\BFEWMl-K=BF+EF+BE=DE+BE,此时ABE尸的周长最小,

正方形ABCD的边长为4,

第14页共41页

：.AD=AB=4,ZDAB=90°,

•・•点E在A5上且BE=1,

：.AE=39

•*-DE=VAD2+AE2=5'

.,.△BEE的周长=5+1=6,

故选：B.

3.解：如图，延长CO交OO于点E,连接EQ,交AO于点P,此时PC+PO的值最小.

,:CD工OB,

：.ZDCB=90°,

又408=90°,

ZDCB=ZAOB,

J.CD//AO

.BC_CD

"BO'AO

VOC=2,OB=4,

第15页共41页

:.BC=2,

解得，co=3

432

"JCD//AO,

噌喂,吟号解得，尸。.

2

故选：B.

4.解：设△A8P中AB边上的高是瓦

S&PAB=^S矩形ABCD,

3

：.lAB'h=lAB'AD,

23

：.h=lAD=2,

3

二动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线I上,

如图，作A关于直线/的对称点E,连接AE,BE,则BE的长就是所求的最短距离.

在RtzMBE中，'：AB=f>,AE=2+2=4,

B£^VAB2+AE2=V62+42=2^'

即PA+PB的最小值为20m

故选：A.

5.解：：在RtZ\A80中，ZOBA=90Q,A(4,4),

第16页共41页

：.AB=0B=4,ZAOB=45°,

工，点。为OB的中点，

CB3

；.BC=3,OD=BD=2,

：.D(2,0),C(4,3),

作D关于直线OA的对称点E,连接EC交OA于P,

则此时，四边形PD8C周长最小,E(0,2),

:直线04的解析式为y=x,

设直线EC的解析式为y^kx+b,

.(b=2

'l4k+b=3'

解得：4,

b=2

直线EC的解析式为y=L+2,

4

(f

y=xx诃

解1得，4z

Iy=­4x+28四

:.p(A,A),

33

故选：c.

IA

wL

o\DB

第17页共41页

6.解：如图，连接CP,

由AD=CD,NADP=NCDP=45°,DP=DP,可得△A£＞尸丝△(?£)户,

：.AP=CP,

：.AP+PE=CP+PE,

当点E,P,C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，

此时，由A8=C。，NABF=NCDE,BF=DE,可得AABF丝△CQE,

：.AF^CE,

：.AP+EP最小值等于线段AF的长,

故选：

7.解：设△ABP中A8边上的高是/?.

•；S△必B=&矩形ABC£),

3

:.1AB-H=1AB*AD,

23

二〃=2A£)=2,

3

...动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线/上，如图，作A关于直线/的对称点

E,连接AE,连接BE,则BE的长就是所求的最短距离.

在RtZ\A8E中，'：AB=5,AE=2+2=4,

第18页共41页

BE=VAB2+AE2=VS2+42=屈

即PA+PB的最小值为何.

故选：D.

8.解：由题可得，点C关于直线x=l的对称点E的坐标为（2,-1）,

设直线AE的解析式为），=丘+4则

[O=-k+b

1-l=2k+b'

将。（1,，〃）代入，得

_1_1__2

f/l—————>

333

即点。的坐标为（1,-2）,

...当△AC。的周长最小时，△A2O的面积=」XA8X|-2|=工X4x2=_l.

23233

故选：C.

9.解：；点A（-1,0）在抛物线尸景+从-2上,

.'.Ax(-1)2+hX(-1)-2=0,

2

第19页共41页

：.b=-3,

2

•••抛物线的解析式为y=”-&-2,

22

...顶点。的坐标为(3,-空)，

28

作出点C关于x轴的对称点C',则C'(0,2),OC=2

连接C'。交x轴于点M,

根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小.

设抛物线的对称轴交x轴于点E.

轴，

AAOCM=NEDM,ZCOM=NDEM

.♦.△C'0Ms△QEM.

•OM=OC'

"EMED

10.解：连接CD,交。B于P.则CD就是PD+PA和的最小值.

第20页共41页

•.•在直角△OCQ中，ZCOD=90°,OD=2,0C=6,

/.00=^22+62=2^10,

APD+PA=PD+PC=CD^2^/lQ.

：.PD+PA和的最小值是2Jib.

故选：A.

11.解：设BE与AC交于点尸（P）,连接8。，

•点8与。关于AC对称，

：.P'D=P'B,

：.P'D+P1E=P'B+P'E=BE最小.

即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度;

♦.,正方形4BC。的面积为12,

；.AB=2次.

又•••△A8E是等边三角形，

：.BE=AB=2M.

故所求最小值为2y.

故选：A.

第21页共41页

12.解：A、PQ+QM=8+2=10km；

B、'：QM+PM=P'Q,P'Q2=82-(5-2)2+(5+2)2=104,

：.P'Q=2-j2^m>\0km；

C、QM+PR=5+J^_^_2)2>10；

D、PM+(2A/=5+5y82_(-5_2')2+22>10.

综上所述，A选项铺设的管道最短.

13.解：延长CB到C',使C'B=CB=2,连接QC'交AB于P.则。C'就是PC+PQ

的和的最小值.

,JAD//BC,

：.ZA=ZPBC',NADP=NC',

：.4ADPs4BCP,

：.AP：BP=AD：BC=3：2,'

3

第22页共41页

,：AP+BP=AB=5,

，AP=3,BP=2,

'PD={AD2+AP2=、§2+32=3&,PC=7BP2+BCZ2=V22+22=2^2'

.".DC=PD+PC'=3扬2加=5加，

J.PC+PD的最小值是5&,

故答案为5,\/2-

14.解：作点A关于B。的对称点A',连接MA',BA',过点A‘作A'"LAB于”.

'：BA=BA',ZABD^ZDBA'=30°,

ZABA'=60°,

...△A2A'是等边三角形，

•••四边形A8CD是矩形，

：.AD=BC=iO,

在RtZVlBO中，AB=―_=10«,

tan300

第23页共41页

HLAB,

：.AH=HB=5y/3,

：.A'H=V^H=15,

,：AM+MN=A'M+MN与A'H,

：.AM+MN^15,

.♦.AM+MN的最小值为15.

故答案为15.

15.解：•.•点A(1,1),点C的纵坐标为1,

；.AC〃x轴，

，NBAC=45°,

\'CA=CB,

；.NA8C=ZBAC=45°,

AZC=90°,

,:B(3,3)

：.C(3,1),

：.AC=BC=2,

作B关于y轴的对称点£,

连接AE交y轴于。，

则此时，四边形AC8Q的周长最小，这个最小周长的值=AC+8C+AE,

过E作EFA.AC交CA的延长线于F,

则EF=BC=2,AF=6-2=4,

第24页共41页

22=

•••AE=VEF+AF62+《2=2遥,

，最小周长的值=AC+8C+AE=4+2代,

故答案为：4+2

16.解：把A(3,6)向左平移1得A'(2,6),

作点B关于x轴的对称点8',连接B'A'交x轴于C,在x轴上取点。(点C在点。

左侧)，使CD=1,连接A。，

则AD+BC的值最小，

•:B(-2,2),

：.B'(-2,-2),

设直线*A'的解析式为y=fcr+b,

.f-2k+b=-2

"l2k+b=6'

解得：1=2,

lb=2

直线8,A'的解析式为y=2x+2,

当y=0时，x=-1,

：.C(-1,0),

故答案为：(-L0).

第25页共41页

17.解：如图，连接CE交BO于点尸，连接AP,

•.•四边形A8CQ是正方形，

.••点A与点C关于8。对称，

：.AP=CP,

：.AP+EP=CP+EP^CE,此时AP+PE的最小值等于CE的长,

:正方形ABC。的边长为4,点E是边AB的中点，

：.BC=4,BE=2,ZABC=90°,

：=22=

.CEVBE+BC2后

:.AP+PE的最小值是2泥,

故答案为：2代

18.解：：在边长为1的菱形ABC。中，/ABC=60°,

：.AB=CD=\,ZABD=30°,

第26页共41页

•.•将△A3。沿射线BD的方向平移得到△EGF,

：.EG=AB=\,EG//AB,

•.•四边形ABC。是菱形，

：.AB=CD,AB//CD,

：.ZBAD=\20a,

:.EG=CD,EG//CD,

连接EQ

四边形EGCD是平行四边形，

：.ED=GC,

：.EC+GC的最小值=比+9的最小值,

•.•点£在过点A且平行于BQ的定直线上，

作点D关于定直线的对称点M,连接CM交定直线于E,

则CM的长度即为EC+DE的最小值，

ZEAD=ZADB=30°,AD=\,

.•.NAZ)M=60°,DH=MH=LD=L

22

：.DM=CD,

；NCDM=NMDG+/CDB=90°+30°=120°,

：.ZM=ZDCM=30°,

：.CM=2X2^CD=V3.

第27页共41页

故答案为：J京

19.解：过C作CF_LAB交于E,

则此时，CE+E尸的值最小，且CE+EF的最小值=C「

:△ABC为等边三角形,边长为6,

.•.8尸=工8=工义6=3,

22

22=

•••CF=VBC-BF762-32=3次’

•..CE+EF的最小值为3我，

故答案为：3。^.

20.解：•.•在边长为1的菱形ABCC中，ZABC=60°,

：.AB=CD^\,乙钻£>=30°,

；将448。沿射线BD的方向平移得到△4B77,

第28页共41页

B'=AB=l,A'B'//AB,

:四边形A8CD是菱形，

：.AB=CD,AB//CD,

；.NBAD=120°,

B'=CD,A'B'//CD,

...四边形A'B'CQ是平行四边形，

.♦.A'D=B'C,

.,.4C+BC的最小值=4'C+A'。的最小值，

•••点A'在过点A且平行于8。的定直线上，

作点。关于定直线的对称点E,连接CE交定直线于A',

则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，

VZA'A£>=N4£>B=3(r,AD=1,

:.NADE=60°,DH=EH=LD=L,

22

：.DE=\,

：.DE=CD,

,：ZCDE=ZEDB'+ZCDB=90°+30°=120°,

：.ZE^ZDCE=30°,

:.CE=2X

2

故答案为：Vs.

第29页共41页

21.解：设△ABP中AB边上的高是正

S^PAB=^S矩彩ABC。,

3

23

：.h=^AD=2,

3

，动点P在与AB平行且与A8的距离是2的直线/上，如图，作A关于直线/的对称点

E,连接AE,连接8E,则8E的长就是所求的最短距离.

在RtZVIBE中，\"AB=4,AE=2+2=4,

B£=VAB2+AE2=V42+42=4^2,

即PA+PB的最小值为4&.

故答案为：4&.

22.解：取点B关于x轴的对称点B',则直线A2'交x轴于点M.点M即为所求.

设直线48'解析式为：y=fcv+6

把点A(-1,-1)8'(2,-7)代入

第30页共41页

[-]=-k+b

1-7=2k+b

解得（k=2

lb=-3

・•・直线AB，为：y=-2x-3,

当y=0时，x=-3.

2

.•.M坐标为（-S,0）

2

故答案为：（-3,o）

2

23.（1）证明：•.•内△ABC中，ZC=90°,DF1CB,

:.NC=NDFB=90°.

•.•四边形是正方形，

：.BD=AB,NO8A=90°,

,：ZDBF+ZABC=90Q,NC4B+/ABC=90°,

:.NDBF=NCAB,

第31页共41页

.,.△ABgABDF(AAS)；

(2)解：:△ABC丝△BOP,

：.DF=BC=5,BF=AC=9,

：.FC=BF+BC=9+5=14.

如图，连接。N,

•:BE是正方形顶点A与顶点D的对称轴，

：.AN=DN.

如使得4V+PN最小，只需。、N、P在一条直线上,

由于点P、N分别是AC和BE上的动点，

作DPiLAC,交BE于点Ni,垂足为P,

所以，AN+PN的最小值等于。尸i=FC=14.

24.解：(1)四边形48CE是菱形，理由如下:

•••点E是A。的中点，

:.AE=1AD.

2

•：BC=1AD,

2

：.AE=BC.

第32页共41页

,JBC//AD,KPBC//AE.

...四边形ABCE是平行四边形

•.•4ULCD,点E是的中点，

：.CE=AE=DE,

四边形4BCE是菱形

(2)由(/)得，四边形ABCE是菱形.

.*.AE=EC=AB=4,且点4、C关于BE对称

•.•点尸是AE的中点，AF=1AE=2

2

当B4+PF最小时，△公尸的周长最小

即点尸为CF与3E的交点时，△抬尸的周长最小，

此时△必尸的周长=%+PF+AF=CF+4凡

在RtAACD中，点E是A£＞的中点，则CE=DE,.

NEC£)=/O=30°,ZACE=900-30°=60°.

...△ACE是等边三角形.

；.AC=AE=CE=4.

'：AF=EF,CFLAE

•*,CF=VAC2-AF2

APAF的周长最小=€?尸"1尸=2依+2.

25.(1)证明：在RtZXABC中，NBAC=30°,E为4B边的中点,

：.BC^EA,NA8C=60°.

第33页共41页

为等边三角形,

：.DB=DE,NDEB=NDBE=60°,

AZOEA=120°,NDBC=120°,

：.ZDEA=ZDBC

：.△AOE丝△COB.

（2）解：如图，作点E关于直线AC对称点E1,连接BE交AC于点H.

则点〃即为符合条件的点.

由作图可知：EH=HE,AE=AE,NEAC=N2AC=30°.

...NEA£=60°,

...△EAE为等边三角形，

•,1

-EE'=EA=yAB'

AZAEB=90°,

在RtZXABC中，ZBAC=30°,BC=A/3，

，AB=2会，AE'=AE=V3>

,BE，=7AB2-AEZ2=7（2V3）2-（V3）2=S，

.•.BH+E”的最小值为3.

第34页共41页

E'

26.解：(1)作点B关于CQ的对称点E,连接AE交CQ于点P,

此时办+PB最小，且等于AE.

作直径AC',连接C'E.

根据垂径定理得加=施.

VZACD=30°,

AZAOD=60°,ZDOE=30°,

AZAO£=90°,

AE=45°,

又AC'为圆的直径，.../AEC'=90°,

=NC'AE=45°，

：.C'E=AE=J^AC'=2&,

2

即AP+BP的最小值是2&.

故答案为：2A/^；

(2)如图，在斜边AC上截取A2'=AB,连结.

平分/8AC,

第35页共41页

：.ZB'AM=ZBAM,

在△"AM和中

'AB，=AB

<NB'AM=ZMAB>

AM=AM

:.丛B'AM^/XBAM(SAS),

:.BM=B'M,NBMA=NB'M4=90°,

...点8与点B'关于直线AO对称.

过点B'作B'凡L.AB,垂足为R交AD于E,连结BE,

则线段B'尸的长即为所求.（点到直线的距离最短）

在RtZ\AFB'中，•.•/B4C=45°,AB'=48=10,

：.B'F=AB'*sin45°=4B・sin45°=10X返=5&,

2

：.BE+EF的最小值为5注.

27.(1)解：①胸=3x+7y,W2=2x+8y,

故答案为：3x+7y,2r+8y.

第36页共41页

②解：Wi-W2=(3x+7y)-(2x+8y)=x-y,

''x>y,

.,.x-y>0,

Wi-W2>0,

得Wl>W2,

所以张丽同学用纸的总面积大.