2021年中考数学复习 第4章 三角形

第四章三角形

第一节几何初步'相交线与平行线

基础分点练

（建议用时：30分钟）

考点1直线与线段

1.[2020石家庄十八县联考]“植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线”，用数学知识解释其道

理应是（B）

A.两点之间，线段最短

B.两点确定一条直线

C.直线可以向两边延长

D.两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离

2.[2020四川凉山州]点C是线段AB的中点点I）是线段AC的三等分点.若线段AB=12cm,则线段BD的长为（C）

A.10cmB.8cm

C.10cm或8cmD.2cm或4cm

考点2角的度量

3.[2019石家庄模拟]用量角器度量NAOB如图所示，则NAOB的补角是（D）

A.125°B.55°C.45°D.135°

考点3垂线

4.[2020吉林]如图，某单位要在河岸1上建一个水泵房引水到C处.他们的做法:过点C作CDJ_1于点D,将水泵房建在

了D处.这样做最节省水管长度,其数学道理是垂线段最短.

5.[2020湖北荆门]如图在4ABC中,DE是AC的垂直平分线.若AE=3ZAABD的周长为13,则AABC的周长为19.

考点4角及角平分线

6.[2020贵州贵阳]如图，直线a,b相交于点0,如果Nl+N2=60°,那么N3的度数是

A.150°B.120°

C.60°D,30°

7.［2020四川自贡］如果一个角的度数比它补角的度数的2倍多30°,那么这个角的度数是（C）

A.50°B.70°C.130°D.160°

8.［2020四川乐山］如图,E是直线CA上一点,NFEA=40°,射线EB平分NCEF,GE_LEF,则NGEB二（B）

A.10°B.20°C.30°D.40°

B

9.［2020湖南湘潭］如图，点P是NAOC的平分线上一点,PD1OA,垂足为点I）,且PD=3,点M是射线0C上点则PM的最

小值为；3.

考点5平行线

10.［2020张家口桥东区一模］如图，给出下列几个条件:①Nl=Z4；®Z3=Z5；©Z2+Z5=180°；@Z2=Z4.则能判断

直线a〃b的条件个数为（C）

A.1B.2C.3D.4

11」2020唐山路北区一模］如图,.钳〃©次8口（：/2=50°,则/1的度数是（A）

A.40°B.50°C.60°D.140°

12.［2020湖南长沙］如图，一块直角三角板的60°角的顶点A与直角顶点C分别在两平行线FD,GH上，斜边AB平分NCAD,

交直线GII于点E,则ZECB的大小为（C）

A.60°B.45°C.30°D.25°

13.［2020湖北荆州］将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形.若NCAB=30。，则NACB的度数是（D）

A.45°B.55°C.65°D.75°

14.[2020石家庄长安区质量检测]如图，直线a〃b,Nl=70°,N3=50°,则N2=(C)

A.80°B.70°

C.60°D.50°

15.［2020湖］匕黄冈］已知:如图,AB〃EF,NABC=75。，NCDF=135。，则NBCD=30度.

AB

7F7

E/Q-----------

/Z135°

C，

16J2020湖南张家界］如图,NAOB的一边OA为平面镜,NAOB=38°,一束光线（与水平线0B平行）从点C射入，经平面镜

反射后，反射光线落在0B上的点E处，则ZDEB的度数是76度.

A

c

17.［2020贵州铜仁］设AB,CD,EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm,EF与CD的距离是5

cm厕AB与EF的距离等于7或17cm.

18.请将下列证明过程补充完整（括号内写依据）：

已知:如图,AB〃CD,CE平分NACD.

求证:N1=N2.

证明:TCE平分NACD,

AN2=NECD（角平分线的定义）.

VAB/7CD,

N1=NECD（两直线平行，内错角相等）,

，N1=N2（等量代换）.

19.［2020湖北武汉］如图，直线EF分别与直线AB,CD交于点E,F.EM平分NBEF,FN平分NCFE,且EM〃FN.求证:AB〃CD.

证明:•••EM平分NBEFJ'平分NCFE,

二ZBEF=2ZMEF,ZCFE=2ZNFE.

VEM/7FN,

/./MEF=/NFE,

ZBEF=ZCFE,

；.AB〃CD.

考点6命题

20.下列命题中,为真命题的是（B）

A.相等的两个角是对顶角

B.平4亍于同一条直线的两条直线互相平行

C.同旁内角互补

D.垂直于同一条直线的两条直线互相平行

21.［2020湖北宜昌］能说明“锐角a,锐角B的和是锐角”是假命题的例证图是(C)

22.命题“如果24,那么、=|b|"的逆命题是假命题（填“真命题”或“假命题”）.

23.要证明“如熹吃那么a〈b“是假命题，可令a=1（答案不唯一），b=2（答案不唯一）.

新考法［2020北京］如图所示的网格是由大小相同的小正方形组成的,A,B,C,D是网格线的交点，则AABC的面积与aABD

的面积的大小关系为：54皿

第二节三角形及其性质

基础分点练

（建议用时：20分钟）

考点1三角形的边、角关系

1.［2019江苏淮安］下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（B）

A.2cm,3cm,4cmB.1cm,2cm,3cm

C.3cm,4cm,5cmD.4cm,5cm,6cm

2」2020江西］如图,/1=/2=65°,/3=35°厕下列结论错误的是（C）

A.AB//CD

B.ZB=30°

C.NC+N2=NEFC

D.CG>FG

3.当三角形中的一个内角a是另一个内角B的两倍时，我们称此三角形为“标准三角形”，其中0为“标准角”.

如果一个“标准三角形”的“标准角”为100°,那么这个“标准三角形”的最小内角度数为30.

考点2三角形中的重要线段

4.下列说法正确的是（D）

A.三角形的外角和是180°

B.若三条线段的长a,b,c满足a+b>c,则以这三条线段为边一定能组成三角形

C.三角形的外角大于它的任何一个内角

D.三角形的中线、角平分线和高都是线段

5.［2020石家庄长安区质量检测］用三角板作aABC中BC边上的高，下列作法中，三角板摆放位置正确的是（C）

C

6.［2019黑龙江大庆］如图，在AABC中,BE是NABC的平分线作AABC的外角NACM的平分线，交BE于点E,若NA=60。，

贝叱BEC是

A.15°B.30°C.45°D.60°

7.［2020黑龙江大庆］一个周长为16cm的三角形油它的三条中位线构成的三角形的周长为

8.如图，已知BI）是AABC边AC的中线,AB=5,BC=3,且AABD的周长为11,则△BCD的周长是9.

9.如图，在四边形ABCD中,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点，连接EP并延长，分别与BA,CD的延长线交于点M,N.

求证:NBME=NCNE.

证明:连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF,如图.

••,E,F分别是BC,AD的中点

分别是△ABD,Z\BCD的中位线,

二FH//BM,FH=|AB,EH//CN,EH=jcD,

/./BME=/HFE,/CNE=/HEF.

VAB=CD,

；.FH=EH,

.,.ZHFE=ZHEF,

...ZBME=ZCNE.

综合提升练］［建议用时：分钟.15

1.[2020江苏苏州]如图，在AABC中，已知AB=2,AD_LBC,垂足为D,BD=2CD.若E是AD的中点，则EC=J

/N

BDC

2.[2019四川攀枝花]如图在AABC中,CD是AB边上的高,BE是AC边上的中线，且BD=CE.

求证：（1）点D在BE的垂直平分线上；

⑵NBEC=3NABE.

A

D.

B匕--------------------------

证明:⑴连接DE,

•••CD是AB边上的高，

・・・NADC=NBDC=90°.

•••BE是AC边上的中线，

AAE=CEf

ADE是RlZXADC的边AC的中线，

/.DE=CE.

VBD=CE,.\BD=DE,

・••点D在BE的垂直平分线上.

（2）VDE=AEf

:.NA=/ADE.

,?ZADE=ZDBE+ZDEB,BD=DEZ

.\ZA=ZADE=2ZABE.

VZBEC=ZA+ZABE,

.\ZBEC=3ZABE.

第三节等腰三角形和直角三角形

基础分点练

（建议用时：35分钟）

考点1等腰三角形的性质与判定

1.[2020福建]如图,AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=5,则CD等于（B）

A.10B.5C.4D.3

2.[2020四川自贡]如图在RtZXABC中,NACB=90°,NA=50°,以点B为圆心,BC长为半径画弧，交AB于点D,连接CD,

则ZACD的度数为（D）

A.50°B.40°C.30°D.20°

A,

3.[2020山东济宁]f船从海岛A出发，以15海里,时的速度向正北航行,2小时后到达海岛B处.灯塔C在海岛A的

北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上，则海岛B到灯塔C的距离是

A.15海里B.20海里C.30海里D.60海里

4.[2020湖北荆门]如图,2XABC中,AB=AC,NBAC=120°,BC=2V5,D为BC的中点AE^AB,则AEBD的面积为（B）

5.[2019黑龙江哈尔滨中考改编]如图，在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,NA=60°,点E为AD边上一点，连接BD,CE,CE与

BD交于点F,且CE〃AB,若AB=8,CE=6,则DE的长为2.

3

6.[2020唐山路南区二模]如图，在AABC中,BOAC,点D在BC上，且DC=AC,点E为AB的中点.

⑴利用直尺与圆规作NACB的平分线，交AD于点F（保留作图痕迹,不要求写作法、证明）；

⑵连接EF,若AC=8,BC=12,求EF的长.

解:⑴作图如图所示

⑵VCF平分NACB,DC=AC,

•,.CI'是4ACD中AD边上的中线，

二点1--是AD的中点

又：点E为AB的中点

；.EF是AABD的中位线.

VDC=AC=8,BC=12,

.,.BD=BC-DC=4,

...EF-；BD=2.

7.如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,点D是AB边上一点，过点D作DE1BC交BC于点E,交CA的延长线于点F.

⑴证明:4ADF是等腰三角形；

⑵若NB=60。，BD=4,AD=2,求EC的长.

⑴证明:〈AB=AC,

・•・ZB=ZC.

VFE1BC,

AZF+ZC=90o,ZBDE+ZB=90°,

/.ZF=ZBDE.

又NBDE=NFDA,

ZF=ZFDA,

.\AF=AD,

•••△ADF是等腰三角形.

⑵解:・・・DEJ_BC,

AZDEB=90°.

VZB=60°,BD=4,

・・・BE=，m2.

VAB=AC,

•••△ABC是等边三角形，

・・・BC=AB=AD+BD=6,

AEC=BC-BE=4.

8.[2020浙江绍兴]问题:如图，在AABD中,BA=BD,在BD的延长线上取点E£,作△AEC,使EA=E&若NBAE=90°,NB=45°,

求NDAC的度数.

答案:NDAC=45。.

思考：

⑴如果把以上“问题”中的条件“NB=45。”去掉,其余条件不变，那么NDAC的度数会改变吗?说明理由.

⑵如果把以上“问题”中的条件“NB=45。”去掉，再将"NBAE=90°”改为“/BAE;n。"，其余条件不变，求

ZDAC的度数.

BDEC

解：(1)NDAC的度数不会改变.

理由:TEA;EC,

/.ZAED=2ZCfZEAC=ZC.

XVZBAE=90°,

.•.ZBAI)-i[1809(9(T2ZC)]-45l<ZC,

/.ZDAE=90°-ZBAD=90°-(45°+NC)=450-ZC,

.,.ZDAC=ZDAE+ZG\E=ZDAE+ZC=45°.

⑵设S=m。，

则NBAD=；(180°-in°)=90°,NAEB=1800-n°-m°z

/.ZDAE=n°-ZBAD=n°-90°+1mo.

又YEA二EC,

/.ZCAE=izAEB=900-in-4n°,

.,.ZDAC-ZDAE+ZCAE=n090"5+90。+。品°亭。.

考点2直角三角形的性质与判定

9.［2019唐山路北区三模］如图，在4ABC中，点D为AB的中点，点E在AC上，且BE1AC.若DE=10,AE=16厕BE的长度为

(C)

A.10B.11C.12D.13

10.［2020湖南岳阳］如图，在Rt^ABC中,CD是斜边AB上的中线，ZA=20°，则NBCD=7()°.

11.(2020浙江绍兴］如图(1),直角三角形纸片的一条直角边长为2,剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图⑵的方

式放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部、分不重叠了无隙),则图⑵中阴影部分面积为」百_.

图⑴图⑵

12.(2019北京］如图所示的网格是由相同的正方形组成的，则NPAB+NPBA=」j°.(点A,B,P是网格线交点)

AB

13.［2020贵州黔西南州］如图，在RtZXABC中,NC=90°，点D在线段BC上，且NB=30°,NADC=60°,BC=3V5,则BD的长

度为一、&_.

14.［2020黑龙江哈尔滨］在aABC中,NABC=60°,AD为BC边上的高,AD=6A/3,CD=1,则BC的长为5或7.

综合提升练

(建议用时：20分钟)

1.［2020四川德阳］已知:等腰直角三角形ABC的腰长为1,点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC=2,则PM

的最小值为(B)

A.2B.2V2-2

C.2V2+2D.2V2

2.［2020湖南邵阳］如图，在RtAABC中,NACB=90°,斜边AB=VI,过点C作CF〃AB,以AB为边作菱形ABEF,若NF=30°,

则RtZXABC的面积为玛

R

3.[2020贵州贵阳]如图,Z\ABC中，点E在边AC上,EB二EA,NA=2NCBE£D垂直于BE的延长线于点D,BD二8,AC=11,则边BC

的长为4V5.

4.[2019黑龙江齐齐哈尔]在等腰三角形ABC中,BDJ_AC,垂足为点D,且BD^AC,则等腰三角形ABC底角的度数为_

45°,15°或75’.

晅8■国视野画诲

操作型[2020浙江绍兴]将两条邻边长分别为夜,1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各种剪法剪出

的等腰三角形中，腰长可以是下列数中的「231（填序号）.

@V2,®1,@V2-1,@y,@V3.

第四节全等三角形

基础分点练

（建议用时：30分钟）

考点1全等三角形的判定

1.[2020湖南永州]如图，已知AB=DC,NABC=NDCB,能直接判断△ABCWZWCB的方法是（A）

A.SASB.AASC.SSSD.ASA

2.[2020黑龙江齐齐哈尔]如图,已知在4ABD和4ABC中,NDAB二NCAB,点A,B,E在同一条直线上，若使△ABDwZXABC,则

还需添加的一个条件是AD-AC（答案不唯一，正确即可）.（只填一个即可）

考点2全等三角形的判定与性质的综合

3.[2020石家庄藁城区二模]老师布置了下面的证明题:

如图⑴，在△ABC中AB二ACRE是BC上两点，且BD二CE.

求证:AD=AE.

c

HI）FAC

图⑴图（2）

小明的方法：小丽的方法：

证明:如图（I）.证明：如图（2）.

vAB=AC,过点4作"_L8C于点£

Z.«=zlC.AB=AC,AFlBCt

又•••BD=CK,BF=FC.

△ABIXAACE,乂；BD=CE,

AD=AE....DF=FE.

XvAFlDEt

AI）=AE.

关于小明与小丽的证明方法，下面说法正确的是（A）

A.小明与小丽的证明方法都正确

B.小明与小丽的证明方法都不正确

C.小丽的证明方法正确，小明的证明方法不正确

D.小明的证明方法正确，小丽的证明方法不正确

4.[2020湖北黄句如图,ZXABC是等边三角形，点D,E分别是AC,AB边上的点,CD=AE,BD与CE交于点P,则NBPC等于(C)

A.135°B.150°C.120°D.130°

5.[2020江西]如图,CA平分NDCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若NEAC=49°,则ZBAE的度数为82，.

6.[2020江苏无锡]如图，已知AB〃CD,AB=CD,BE=CF.

求证:⑴4ABF安ZXDCE；

⑵AF〃DE.

⑴证明：TAB〃CD,

NB=NC.

•.,BE=CF,

；.BE-EF=CF-EF,即BF=CE.

5EAABE^ADCE中，

AB=CD,

ZB=Z.C,

BF=CE,

/.△ABF^ADCE.

⑵证明:〈△ABFgZkDCE,

ZAFB=ZDEC,

・•・ZAFE=ZDEF,

AAF/ZDE.

7.[2020湖南衡阳]如图，在AABC中,NBNC,过BC的中点D作DEJ_AB,DF_LAC,垂足分别为点E,F.

(1)求证:DE=DF；

⑵若NBDE=40。，求NBAC的度数.

⑴证明:•・•点D为BC的中点

・・・BD=CD.

VDE±AB/DF1ACI

ZDEB=ZDFC=90°.

(匕DEB=4DFC,

在△BDE和△(：/；中，匕B=ZC,

(BD=CD,

.'.△BDE^ACDF,

ADE=DF.

(2)VZBDE-40°,

ZB=90°-ZBDE=50°,/.ZC=50°r

/.ZBAC=1800-ZB-ZC=180°-50°-50°=80°.

8.[2019唐山路北区三模改编]如图，已知△ABC,按如下步骤作图:①以点A为圆心、AB的长为半径画弧;②以点C为圆

心、CB的长为半径画弧,两弧相交于点D;③连接BD,交AC于点E,连接AD,CD.

⑴求证:△ABCgz^ADC；

⑵若NDAC=30。，NBCA=45°,BC=2,求AC的长.

u

(i)证明:由题意可得AB=ADfBC=CD,

又AC=ACf

/.AABC^A.'\DC.

(2)VAB=AD/BC=CD,

・.・直线AC垂直平分线段BD,

,NBEC=NBEA=90°.

VZBCAM50,BC=2,

ABE-CEV2.

VAABC^AADC,

/.ZBAC=ZDAC=30°,

.".Al>V3Bl'>V6,

/.AC-AE+CE\/6V2.

9.[2020石家庄模拟]在证明定理“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”时，小明给出如

下部分证明过程.

已知:在中,D,E分别是边AB.AC的中点

求证：DE//BC,且DE±BC.

----------------1-----------2--------

证明:如图，延长DE到点F,使EF二DE,连接CF,

⑴补全求证；

⑵请根据添加的辅助线写出完整的证明过程;

⑶若CE二3,DF=8,求AB的取值范围.

⑴DE〃BC,且DE^BC

⑵•・•点E是AC的中点，

AAE=CEr

又・・・EF;ED,NAED：NCEF,

/.△ADE^ACEE(SAS),

/.AD=CF,ZA=ZECF,

，AD〃CF,.・・BD〃CF.

•・•点D是AB的中点

.\AD=BD,?.BD=CF,

二四边形BDFC是平行四边形，

，DE〃BC,DF=BC.

又・・,DE=FE,

.・・DE[BC.

⑶解:・・・DF=8,・・.BC=8.

VCE=3,/.AC=6r

・・・BJAC<AB<BC+A0即2<AB<14.

综合提升练

（建议用时：35分钟）

1.[2019唐山路南区三模]如图，有一张三角形纸片ABC,已知NB二NC二X。，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能

得不到两个全等三角形纸片的是

B2

D

2.如图，在四边形ABCD中,AB=AD,AC=5,NDAB=NDCB=90°,则四边形ABCD的面积为(B)

A.15B.12.5

C.14.5D.17

3.[2020湖北鄂州]如图，在△AOB和中期=08,00=0网＜0&4(«=/0»=36°.连接AC,BD交于点M,连接0M.下列

结论：

①NAMB=36°;②AC=BD;③OM平分NAOD;④MO平分NAMD.

其中正确结论的个数为(B)

A.4B.3C.2D.1

4.[2020江苏南通]如图，在AABC中,AB=2,NABC=60°,NACB=45°,点D是BC的中点，直线1经过点D,分别过点A,B作

(A)

A.V6

B.2V2

C.2V3

D.3V2

5.[2020广西河池](1)如图⑴，已知CE与AB交于点E,AC=BC,Z1=Z2.求证:△ACE&ZSBCE.

⑵如图⑵，已知CD的延长线与AB交于点E,AD=BC,Z3=Z4.探究AE与BE的数量关系,并说明理由.

(1施明:在△ACE和aBCE中，

•.•AC-BC,Z1=Z2,CE=CE,

.'.△ACE^ABCE.

⑵AE=BE.

理由:如图，在CE上截取C1-DE.

•.,在ZXADEifOABCF中,AD=CB,N3=N4,DE=CF,

.,.△ADE盘△BCF,

.,.AE=BFrZAED=ZCFB.

VZAED-ZBE1-18O0,ZCEB+ZEFB=180°,

，ZBEF=ZEFB,:.BE=BF,AAE=BE.

6.[2020江苏苏州]问题1：如图⑴在四边形ABCD中,NB=NC=90°『是BC上一点,PA=PD,NAPD=90。.求证:AB+CD=BC.

问题2：如图⑵，在四边形ABCD中,NB=NC二450『是BC上一点四可门/人1用900.求笔”的值.

DC

问题1：

证法一：；NB=90°f/.ZAPB+ZBAP=90°.

VZAPD=90°fAZAPB+ZCPD=90°,

.•・ZBAP=ZCPD.

(△B=Z.C,

在△/曲和中，NBAP=z£PD,

(PA=DP,

•••△ABPgZXPCD(AAS),

AB=PC,BP;CD,.•・AB+CD=PC+BP二BC.

证法二:由证法一，可设NBAP=NCP1)=a.

在RlAABP中,BP：PA•sina八B=PA•cosa.

在RtAPCD中，CD-PD•sina『C二PD•cosa.

又VPA=PD,:.AB=PC/BP=CD,AAB+CD=BP+PC=BC.

问题2：如图，分别过点A,D作BC的垂线，垂足分别为E,F.

BEPF

由“问题1"可知AE+DF=EF/

在RtZXABE和"△口『(：中，

NB=/C=45°,

.•.AH=BE,DI.=C1.Ali=-^=V2AE,CP=-^=V2l)l',

ABC=BE+EF+CF=2(AE+DF)rAB+CDV2(\l>DF)f

.AB+CD-(AE+DF)V2

**BC2(AE+DF)~2'

7.[2020唐山二模改编]已知在△ABC中,NA=90°,AB=AO4,点D为BC的中点.

⑴如图⑴，若点E,F分别为AB,AC上的点且DEXDF.

①试探究BE和AF的数量关系.

②四边形AEDF的面积是定值吗?如果是，请求出这个定值;如果不是,请说明理由.

⑵如果点E,F分别是AB,CA延长线上的点，且DE_LDF,那么BE=AF吗?请利用图⑵说明理由.

解⑴①如图⑴，连接AD.

&D

图⑴

•・•NBAC=90°心AC,点D为BC的中点,

AZBDE+ZEDA=90q.

又NEDA+NADF=90",

工ZBDE=ZADF.

fzEBD=zFAD,

在ABDE和AADF中，BD=AD,

UBDE=4ADF,

.,.△BDE^AADF(ASA),

・・・BE=AF.

②四边形AEDF的面积是定值.

•/△BDE^AADF,

••S&.ui尸

.、r,

1zz1

•*S四边形M：，：=Svn*S..HI=S-..1,r4.^X—X4X4=4.

⑵BE=AF.

理由如图⑵，连接AD.

VZABD=ZBAD=45°,

*\ZEBD=ZFAD=135°.

VZEDB+ZB1)F=9O°,NBDI；+NFDA=90°,

:.ZEDB=ZFDA.

rz.EBD=Z.FAD,

在和△FDA中，BD=AD,

UEDB=4FDA,

.\AEDB^AFDA(ASA),

ABE=AF.

包藤颤靛］薪练

新考法：2。2（）浙江宁波］ZXBDE和AFGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.

若求五边形DECHF的周长，则只需知道（\）

A.AABC的周长

B.AAFH的周长

C.四边形FBGH的周长

D.四边形ADEC的周长

第五节相似三角形（含位似）

基础分点练

（建议用时：35分钟）

考点1平行线分线段成比例

1.[2020辽宁营口]如图，在△ABC中,DE〃AB,且需我喈的值为

fc>DNCA(A)

2.[2020四川成都]如图，直线L〃h〃"直线AC和DF被所截,AB=5,BC=6,EF=4,贝|]DE的长为

A.2B.3C.4D.y

考点2相似三角形的判定与性质

3.[2019四川雅安]如图，每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形（阴影部分）与4A岛C相似的是（B）

4.如图，在4ABC中,NC=90°,NA=30°,D是AC的中点，过点D沿某条直线剪下一个与4ABC相似的小三角形,则不同

的剪法共有（C）

A.1种B.2种C.3种D.4种

C

二

5.[2020石家庄二十八中模拟]如图,EF是4ABC纸片的中位线，将4AEF沿EF所在的直线折叠，点A落在BC边上的点D

处，已知△回的面积为7,则图中阴影部分的面积为（B）

A.7B.14C.21D.28

6.[2020上海]《九章算术》中记载了一种测量井深的方法，如图所示,在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD,从木杆

的顶端D观察井水水面C处，视线DC与井口的直径AB交于点E,如果测得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深

AC为7米.

D

c------

7.[2020山东临沂]如图，在aABC中,D,E为边AB的三等分点,EF〃DG〃AC,H为AE与DG的交点.若AC=6,则DH=I.

8.[2020四川攀枝花]三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心.如图，点G是aABC的重心.求

证:AD=3GD.

证明:连接DE.

,•,点G是4ABC的重心，

.•.点E和点D分别是AB和BC的中点

••.DE是aABC的中雌，

，DE〃AC且DE/,

.".△DEG^AACG,

.DEDG.1DG

"XH'"AD=3GD,

9.[2020四川凉山州]如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件，使正

方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB.AC上，这个正方形零件的边长是多少？

解:设正方形零件的边长为Xm叫则KD二EF二xmm,AK-(80-x)mm.

•・•四边形EGIIF为正方形，

・・・BC〃EF,

•••△AEFS^ABC,

.EFAK

**BCAD;

x80-x

120-80"f

解得x=48.

答:正方形零件的边长为48mm.

考点3图形的位似

10.[2020浙江绍兴]如图，三角板在灯光照射下形成投影,三角板与其投影的相似比为2：5,且三角板的一边长为8cm,

则投影三角板的对应边长为

A.20cmB.10cmC.8cmD.3.2cm

11.[2020浙江嘉兴]如图，在平面直角坐标系中,△OAB的顶点为0(0,0),A(4,3),B(3,0).以点0为位似中心,在第三象限内

作与AOAB的相似比为g的位似图形△OCD,则点C的坐标为

A.(-1,-1)B.(一江1)

C.D.(-2,-1)

\()H

综合提升练

(建议用时：30分钟)

1.[2020云南昆明]在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如

图,△ABC是格点三角形，在图中的6X6正方形网格中作出格点三角形ADE(不含△ABC),使得△ADEs/sABC(同TZ®

的格点三角形ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有

A.4个B.5个C.6个D.7个

2.[2020黑龙江哈尔滨]如图，在AABC中，点D在BC边上，连接AD,点E在AC边上，过点E作EF〃BC,交AD于点F,过点E

作EG〃AB,交BC于点G,则下歹IJ式子一定正确的是

AE_EFBEF_EG

EC-OTCD-AB

—AF=-BG、D-CG=—AF

FDGCBCAD

3.[2020唐山模拟]如图，在四边形ABCD中,AB〃DC/ABC=90°,AB=4,CD=1,BC=4在边BC上取一点P,使得以A,B,P为顶

点的三角形与以C,D,P为顶点的三角形相似，甲认为这样的点P只有1个，乙认为这样的点P不止1个，则(R)

A.甲的说法正确

B.乙的说法正确

C.甲、乙的说法者杯正确

D.无法判断甲、乙的说法是否正确

tD

4.[2020四川乐山]把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E为AD的中点，连接BE交AC于点F,则

AF_3

AC"—5-,

5.[2020浙江宁波中考节选]【基础巩固】

⑴如图⑴在4ABC中，点D为AB上一点，连接CD,ZACD=ZB.求证:AC'':AD-AB.

【尝试应用】

⑵如图⑵，在口ABCD中，点E为BC上一点，点F为CD延长线上一点，连接BF,EF,ZBFE=ZA.若BF=4,BE=3,求AD的长.

⑴证明:•・•NACD-NB,NA二NA,

/.△ADC^AACB,

.ADAC

**ACAB/

/.AC2=AD-AB.

⑵丁四边形ABCl）是平行四边形,

/.AI>BC,ZA=ZC.

又・；NBFE=NA,

・•・ZBFE=ZC.

又「/FBE=/CBF,

.-.△BFE^ABCF,

.BFBE

**BCBF*

2

.DrBF16

BE3'

新角度[2020黑龙江大庆]已知两个直角三角形的三边长分别为3,4,01和6,8,n,且这两个直角三角形不相似，则m+n的

值为(A)

A.10+夕或5+2夕B.15

C.10+V7D.15+3V7

第六节锐角三角函数及其应用

基础分点练

（建议用时：45分钟）

考点1解直角三角形

1.[2020浙江杭州]如图，在AABC中,NC=90°,设NA,NB,NC所对的边分别为a,b,c,则(B)

A.c=bsinBB.b=csinB

C.a=btanBD.b=ctanB

2.[2019湖北宜昌]如图，在5X4的正方形网格中每个小正方形的边长都是1.AABC的顶点都在这些小正方形的顶点

上厕sinZBAC的值为(D)

A.I4B.37C3.74D.g

3455

3.[2020安徽]如图,RtZXABC中,NC=90°,点D在AC上,NDBC=NA.若AC=4,cosA=^厕BD的长度为(C)

9I?15

A.74

454

4.[2020贵州遵义中考改编]构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现,在计算lan15。时,如图，

在RtZ\ACB中,NC=90°,NABC=30°,延长CB使BD=AB,连接A"得ND=15°,所以tan15°嗡=或后.类比这种方法，

计算G捻的值为"（A）

A.V2+1B.V2-1C.V2

CBD

5.[2020山东商泽]如图,在△ABC中,NACB=90°,点D为AB边的中点,连接CD,若BC二4£D=3,则cosZDCB的值

6.[2019四川乐山]如图，在AABC中,NB=30°,AC=2,cosC=|,则AB边的长为_J.

A

B

考点2方向角

7.[2020石家庄一模仍防止森林火灾的发生会在森林中设置多个观测点.如图，若起火点“在观测台B的南偏东46。

的方向上，点A表示另一处观测台，若则起火点M在观测台A的

A.南偏东44°方向B.南偏西14°方向

C.北偏东46°方向D.北偏西46°方向

起火点M

8.[2020唐山路北区一模]如图，一艘货船在A处,巡逻艇C在其南偏西60°的方向上，此时一艘客船在B处,巡逻艇C

在其南偏西20°的方向上，则此时从巡逻艇上看这两艘船的视角ZACB的度数是

A.80°B.60°C.40°D.30°

9.[2020河北九地市联考二]如图所示，下列说法错误的是

A.嘉琪家在图书馆的南偏西60°方向上

B.学校在图书馆的南偏东30°方向上

C.学校在嘉琪家的南偏东60°方向上

D.图书馆到学校的距离为5km

।图书馆4*东

6km\\30°

10.[2020张家口宣化区二模]如图，嘉淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°

的方向行驶到达C地,C地恰好位于A地正东方向上.有下列说法：

①B地在C地的北偏西50°方向上；

②A地在B地的南偏西30°方向上；

③cosNBAC《；

④NACB=50°.

其中错误的是（C）

A.B.C.②④D.③④

北

工东

修/：5(?

考点3解直角三角形的实际应用

11.12020石家庄一模]如图,AB是河堤横断面的迎水坡，堤高AC=V5，水平宽度BC=1,则斜坡AB的坡度为（八）

A.V3B.y

C.30°D.60°

12.[2020石家庄藁城区二模]在一次“综合实践活动”课上，第一小组的同学们对电杆AB的高度进行测量，他们在地

面上选择了三个不同的测点（点B和三个测点都在水平地面上）.如图，李明同学选择的测点在点B正南方向的C点处,

并测得点A的仰角是15。；张磊同学选择的测点在点B正东方向的D点处，并测得点A的仰角是30。；王欣同学选择

的测点在点B东南方向（即南偏东45°方向）的E点处，并测得点A的仰角是60°.已知C,D两点之间的距离是20m,

则测点E和点B之间的距离是（C）

A.10mB.5mC.写mD.5A/3m

A

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