2021年中考数学复习：二次函数的图象及其性质（含答案）

2020-2021中考专题复习：二次函数的图象及其

性质

一、选择题

1.二次函数y=2/,y=—21,y=%的共同性质是（）

A.其图象开口都向上

B.其图象的对称轴都是y轴

C.其图象都有最高点

D.y随x的增大而增大

2.在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x—〃）2的图象可能是（）

3.要将抛物线+2x+3平移后得到抛物线,下列平移方法正确的是

（）

A.向左平移1个单位,再向上平移2个单位

B.向左平移1个单位,再向下平移2个单位

C.向右平移1个单位,再向上平移2个单位

D.向右平移1个单位,再向下平移2个单位

4.已知二次函数1的图象与％轴有交点，则机的取值范围是（）

A.m<5B.rn>2C.m<5D.m>2

5.（2020.绥化）将抛物线y=2（x—3>+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个

单位长度，得到抛物线的解析式是（）

A.y=2（x—6）2B.y=2（x—6）2+4C.y=2x1D.y=2x2+4

6.已知抛物线^=加+云+。（。>。>0）与X轴最多有一个交点.现有以下四个结

论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于X的方程以2+法+。+2=0无实数

根；③a—6+仑0；了二六的最小值为3.其中，正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.如图，二次函数丫=2*2+6*+<:的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,且OA

b2-4acc

=OC.有下列结论：①abc<0；7：—>0；③ac—b+l=0；④OAQB=一1其中正确的结

aaa

论有（)

A.4个B.3个C.2个D.1个

8.如图，将函数尸於一2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，

其中点41,m），B（4,"）平移后的对应点分别为点4,次若曲线段扫过的面

积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数解析式是（）

B.y=T(x—2)2+7

A.y=](x—2-一2

D.y=g(x—2>+4

C.-2)2-5

二、填空题

9.如果二次函数y=a（x—/炉+女的图象的顶点坐标为（一1,—3）,那么它的对称

轴为直线尤=，左的值为.

1

10.已知二次函数y=x-4x+k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围

是.

11.（2019•荆州）二次函数y=-2X2-4X+5的最大值是.

1

12.（2019•株洲）若二次函数y=ax+版的图象开口向下，则0（填“=”或

“>”或

13.12018・淮安】将二次函数y=f-l的图象向上平移3个单位长度，得到的图

象所对应的函数解析式是.

14.若抛物线y=x1+hx+25的顶点在x轴上，则h的值为

15.已知抛物线的对称轴是直线x=l,其部分图象如图所示，下

列说法中：①8>0;②a-Z?+c<0;③b+2c>0;④当-l<x<0时，y>0,正确的是

(填写序号).

16.已知函数^=0^+(?的图象与函数y=-3X2—2的图象关于x轴对称，则。=

，c=.

三、解答题

17.画出二次函数y=a—1)2的图象，根据图象回答下列问题:

(1)求当一2人一1时，y的取值范围；

(2)求当0SE3时，y的取值范围.

18.如图，在平面直角坐标系xOy中，AABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,A(l,0),

B(0,2),抛物线y=1x2+bx-2过点C.求抛物线的解析式.

19.已知抛物线y=x2+bx+c经过点(2,—3)和(4,5).

(1)求抛物线的函数解析式及顶点坐标；

⑵将抛物线沿x轴翻折，得到图象G,求图象G的函数解析式;

(3)在(2)的条件下，当一2Vx<2时，直线y=m与图象G有一个公共点，求m的取值范围.

20.如图，四边形0A8C是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1).点。是线

段8c上的动点(与端点3、C不重合)，过点。作直线丁=x+匕交折线048

于点E.

(1)记△。。后的面积为S,求S与。的函数关系式；

(2)当点E在线段04上时，若矩形0ABe关于直线OE的对称图形为四边形

OiABG,试探究四边形OIAIBICI与矩形0A3C的重叠部分的面积是否发生变

化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由.

21.正方形0A8C的边长为4,对角线相交于点P,抛物线L经过0、P、A三点，

点£是正方形内的抛物线上的动点.

⑴建立适当的平面直角坐标系，①直接写出0,P,A三点坐标；②求抛物线L

的解析式；

(2)求^。45与^OCE面积之和的最大值.

22.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-*+fcc+c经过点

4(一2,0),8(8,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点C是抛物线与y轴的交点，连接AC,设点P是抛物线上在第一象限

内的点，PD±BC,垂足为点D

①是否存在点P,使线段尸。的长度最大，若存在，请求出点P的坐标；若不存

在，请说明理由；

②当△PDC与^COA相似时，求点P的坐标.

2020-2021中考专题复习：二次函数的图象及其

性质-答案

一'选择题

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】D【解析】>»=£+2%+3=(尤+1)2+2,该抛物线的顶点坐标是(一1,

2),抛物线y=N的顶点坐标是(0,0),则平移的方法可以是：将抛物线丫=/+

2x+3向右移1个单位，再向下平移2个单位得抛物线y=f.

4.【答案】A［解析］,抛物线y=x2—x+/n—1与x轴有交点，，b2—4acK),

BP(—I)2—4xlx(1m—1)>0,解得mS5.

5.【答案】【答案】C【解析】原抛物线的顶点是(3,2),平移后的顶点是(0,0),

因此平移后所得抛物线的解析式是y=2f.故选C.

6.【答案】D【解析】

序号逐项分析正误

•.”>a〉0,...对称轴一/<0,即对称轴在y轴左侧

①q

•・•抛物线丁=加+6+c与1轴最多有一个交点，且抛物线

1

②开口向上，.\y=ax+bx+c>09.二方程加+区+0+2=0q

即ax1+bx+c=-2无实数根

③由②得〃犬+之0,・••当x=-1时，a—b+c>0q

=

④，・•当x=-2时，y4a—2b-\-c>0ya~\-b~\-c>^b-3a9aq

+b+c>3(b-a),,：b>a,：.方一>3

7.【答案】B［解析］•.•抛物线开口向下，...aVO.

•.•抛物线的对称轴在y轴的右侧，.,•b>0.

•.•抛物线与y轴的交点在x轴上方，，c>0,

abc<0,故①正确.

•.•抛物线与x轴有两个交点，...△=b2—4ac>0,

b2—4ac

而aVO,・・.一;一VO,故②错误.

VC(O,c),OA=OC,AA(-C,0).

把(一c,0)代入y=ax2+bx+c,得ac2—bc+c=O,

ac—b+1=0,故③正确.

设A(xi，0),B(X2，0),

・・,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点，

Axi和X2是方程ax2+bx+c=O的两根，

・c

・・「

XX2=d1

又・.”|<0,

.*.OAOB=—故④正确.故选B.

8.【答案】D［解析］如图，连接AB,AB,则S^=S四娜ABBA，.由平移可知,

AA，=BB，，AA，〃BB，，所以四边形ABBA，是平行四边形.分别延长NA,BB

交x轴于点M,N,因为A(l,m),B(4,n),所以MN=4—1=3.因为S阴影=AA~MN,

所以9=3AA，，解得AA，=3,即原抛物线沿y轴向上平移了3个单位长度，所

以新图象的函数解析式为y=；(x—2)2+4.

二、填空题

9.【答案】一1一3

10.【答案】k<4［解析了.•二次函数y=f-4x+Z的图象的顶点在X轴下方，

...二次函数y=jr-4x+k的图象与x轴有两个公共点.

，b2-4ac>0,即(-4)2-4X1x%>0.解得

k<4.

H.【答案】7

【解析】j=-2x2-4x+5=-2(x+1)2+7,

即二次函数丫=-炉一以+5的最大值是7,

故答案为：7.

12.【答案】<

【解析】•.•二次函数、=办2+版的图象开口向下，

av0.

故答案为：<.

13.【答案】y=x?+2［解析］二次函数y=x2—l的图象向上平移3个单位长度,

平移后的纵坐标增加3,即y=x2—l+3=x2+2.

14.【答案】±10

15.【答案】①③④［解析］根据图象可得:a<0,OQ,对称轴:直线x=-^=\,：.b=-2a.

"."a<0,故①正确；

把x=-l代入)'=加+笈+。，Wy=a-b+c.

由抛物线的对称轴是直线x=l,且过点(3,0),可得当x=-l时，>,=0,.,.a-b+c=0,

故②错误;当x=l时，y=a+b+c>0.

b=-2a,.,.-：+/?+<?>(),即h+2c>0,故③正确；

由图象可以直接看出④正确.故答案为:①③④.

16.【答案】32

三、解答题

17.【答案】

解：画出二次函数y=(x-的图象如图所示:

⑴当一235一1时，y的取值范围是4WyW9.

⑵当0<x<3时，y的取值范围是0<y<4.

18.【答案】

解：如图，过点C作CD，x轴于点D,则/DAC+/DCA=90。.

又,.,/OBA+/OAB=90。，ZOAB+ZDAC=90°,

；.NOAB=/DCA,ZOBA=ZDAC.

XVAB=CA,/.△AOB^ACDA,

；.OA=CD=1,AD=OB=2,

，OD=OA+AD=3,，C(3,1).

•.•点C(3,1)在抛物线y=gx2+bx-2上，

1=^32+35=2,.,.b=一

抛物线的解析式为y=1x2-1x-2.

19.【答案】

4+2b+c=-3,

解:(1)根据题意得

16+4b+c=5,

b=-2,

解得

c=-3,

抛物线的函数解析式为y=x2—2x—3.

Vy=x2—2x—3=(x—1)2—4,

，抛物线的顶点坐标为(1,-4).

(2)如图,根据题意,得一y=x2—2x—3,

：•、=-x2+2x+3.

(3)y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,即图象G的顶点坐标为(1,4).

若0Wx<2,当直线y=m过图象G的顶点(1,4)时，直线y=m与图象G有一个公共点，此

时y=4,

Am=4.

若一2VxV0,直线y=m与图象G有一个公共点，

当y=m过图象G上的点(0,3)时，y=3,

・二m=3；

当y=m过图象上G的点(一2,—5)时，y=—5,

=-5,-5<m<3.

综上可知在一2VxV2范围内，当直线y=m与图象G有一个公共点时，m=4或一5Vmg3.

20.【答案】

⑴①如图2,当E在。A上时，由y可知，点E的坐标为(28,0),OE

2

=2b.止匕时S=SAODE=!oE.OC='x2bxl=6.

22

②如图3,当E在AB上时，把y=l代入y=可知，点。的坐标为(28—

2,1),CD=2b-2,BD=5-2b.把x=3代入y=—；x+》可知，点E的坐标为

335

(3,6--),AE=b--,BE=--b.此时

222

S=SOABC-SAOAE-SABDE-S^OCD

=3--x30--)--(--Z?)(5-2/?)--xlx(2Z?-2)

^-b2+-b.

2

(2)如图4,因为四边形O\A\B\C\与矩形OABC关于直线DE对称，因此DM=

DN,那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形。MEN是菱形.

作£>”,04,垂足为由于CO=2A—2,0E=2b,所以E"=2.

设菱形。MEN的边长为〃z.在中，DH=\,NH=2-m,DN=m,所

以»+(2—加)2=机2.解得m=2.所以重叠部分菱形。MEN的面积为*.

44

图2图3图4

考点伸展

把本题中的矩形QABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形(如

图5),那么这个菱形的最小面积为1,如图6所示；最大面积为之，如图7所示.

21.【答案］

(1)【思路分析】①建立坐标系时应使正方形内抛物线上点的坐标是正数，以点0

为坐标原点建立平面直角坐标系，即可表示出0、P、A三点的坐标；②用待定

系数法即可求得抛物线的解析式.

解：如解图，以0A所在的直线为横轴，水平向右为正方向，以0C所在直线为

纵轴，垂直向上为正方向，建立平面直角坐标系.

①0(0,0),P(2,2),A(4,0)；(3分)

②设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c,

将点O,P，A的坐标分别代入y=ax?+bx+c,得

c=0

4a+2b+c=2,

16a+4b+c=0

解得彳

、c=0

抛物线L的解析式为y=-1x2+2x.(6分)

(2)【思路分析】用点E的横坐标表示4OAE与AOCE的面积之和，根据二次函

数的性质即可确定最大值.

解：设点E的横坐标为m.

•.•点E在正方形内的抛物线上，

二点E的纵坐标为一gn?+2m,

/.SAOAE+SAOCE=24X(—^m2+2m)+X4Xm=-m2+6m=—(m-3)2+

9.(10分)

...当m=3时，4OAE与AOCE的面积之和的值最大，最大值是9.(12分)

22.【答案】

⑴将A(—2,0),5(8,0)代入y=-*+/?x+c得，

,r3

—1-2b+c=0b=x

,,,解得2,

16+8/?+c=0[c=4

13

，抛物线的解析式为y=—不?+尹+4；

(2)由(1)知C(0,4),又•.•仇8,0),易知直线3C的解析式为y=—5+4.

①如解图①，过点P作轴于点G,PG交CB于点E,

解图①

VOB=S,0C=4,

/.BC=^OB2+OC2=475.

在RtAPDE中，PD=PE-sinNPED=PE-sinNOCB=PE——=^PE,

BC5

当线段PE最长时，P。的长度最大.

13

设P(f，—