2021年中考数学复习讲座7：归纳猜想型问题(一)

2021年中考数学复习专题讲座七：归纳猜想型问题（一）

一、中考专题诠释

归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数

字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者

其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者

证明，依此体现出猜想的实际意义。

二、解题策略和解法精讲

归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善

于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。

其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人

类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直

观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比

较、测量、绘图、移动等等，都能用到。

由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利

于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。

三、中考考点精讲

考点一：猜想数式规律

通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是

先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比

较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。

例1（2020沈阳）有一组多项式：a+b2,a2-b4,a3+b6,a4-b8.........请观察它们的构成

规律，用你发现的规律写出第10个多项式为.

考点：多项式。810360

专题：规律型。

分析：首先观察归纳，可得规律：第n个多项式为：a"+（-1）n+1b2%然后将n=10代入,

即可求得答案.

解答：解：•..第1个多项式为：a'+b2x,,

第2个多项式为：a2-b2x2,

第3个多项式为：a3+b2x\

第4个多项式为：a4-b2%

二第n个多项式为：an+（-1）n+lb2n,

,第10个多项式为：a10-b20.

故答案为:al0-b20.

点评：此题考查的知识点是多项式，此题难度不大，注意找到规律第n个多项式为：an+

（-1）n+七2n是解此题的关键.

例2（2020珠海）观察下列等式：

12x231=132x21,

13x341=143x31,

23x352=253x32,

34x473=374x43,

62x286=682x26,

以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有

相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式

(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式“：

①52x=x25；

②x396=693x.

(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,且2Wa+bW9,写出表示“数字

对称等式”一般规律的式子(含a、b),并证明.

考点：规律型：数字的变化类。

专题：规律型。

分析：(1)观察规律，左边，两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，

十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边，三位数与左边的三位数字百位与个

位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律进行填空即

可；

(2)按照(1)中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行证明即可.

解答：解：(1)①•.•5+2=7,

.•・左边的三位数是275,右边的三位数是572,

,52x275=572x25,

②•••左边的三位数是396,

...左边的两位数是63,右边的两位数是36,

63x369=693x36；

故答案为：①275,572；②63,36.

(2)I•左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,

...左边的两位数是10a+b,三位数是100b+10(a+b)+a,

右边的两位数是10b+a,三位数是100a+10(a+b)+b,

•••一般规律的式子为:(10a+b)x[100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)+b]x(lOb+a),

证明:左边=(lOa+b)x[100b+10(a+b)+a],

=(lOa+b)(lOOb+lOa+lOb+a),

=(lOa+b)(HOb+lla),

=11(lOa+b)(lOb+a),

右边=[100a+10(a+b)+b]x(lOb+a),

=(lOOa+lOa+lOb+b)(lOb+a),

=(HOa+llb)(lOb+a),

=11(lOa+b)(lOb+a),

左边=右边，

所以“数字对称等式，，一般规律的式子为：QOa+b)x[100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)

+b]x(lOb+a).

点评：本题是对数字变化规律的考查，根据已知信息，理清利用左边的两位数的十位数字

与个位数字变化得到其它的三个数字是解题的关键.

考点二：猜想图形规律

根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形

为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来,

再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。

例31.(2020重庆)下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图

形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…,

则第⑥个图形中五角星的个数为()

★★

★★★★

▲▲▲▲▲▲

rirkivk

irk★★★★

★★

图①图②图③

A.50B.64C.68D.72

考点：规律型：图形的变化类。

分析：先根据题意求找出其中的规律，即可求出第⑥个图形中五角星的个数.

解答：解：第①个图形一共有2个五角星，

第②个图形一共有：2+(3x2)=8个五角星，

第③个图形一共有8+(5x2)=18个五角星，

第n个图形一共有：

1x2+3x2+5x2+7x24-...+2(2n-1)

=2口+3+5+…+(2n-1)],

=[1+(2n-1)]xn

=2n2,

则第(6)个图形一共有：

2x62=72个五角星；

故选D.

点评：本题考查了图形变化规律的问题，把五角星分成三部分进行考虑，并找出第n个图

形五角星的个数的表达式是解题的关键.

例4(2020绍兴)在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有3棵树,

相邻的树与树，树与灯间的距离是10cm,如图，第一棵树左边5cm处有一个路牌，则从此

路牌起向右510m〜550m之间树与灯的排列顺序是()

考点：规律型：图形的变化类。

分析：根据题意可得，第一个灯的里程数为10米，第二个灯的里程数为50,第三个灯的

里程数为90米…第n个灯的里程数为10+40（n-1）=40n-30米，从而可计算出530米处

哪个里程数是灯，也就得出了答案.

解答：解：根据题意得：第一个灯的里程数为10米，

第二个灯的里程数为50,

第三个灯的里程数为90米

第n个灯的里程数为10+40（n-1）=（40n-30）米，

故当n=14时候，40n-30=530米处是灯，

则510米、520米、540米处均是树,

故应该是树、树、灯、树，

故选B.

点评：本题考查了图形的变化类问题，解决本题的关键是从原图中找到规律，并利用规律

解决问题.

例5（2020荆门）己知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接

菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一

个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有（）

考点：规律型：图形的变化类。

专题：规律型。

分析：写出前几个图形中的直角三角形的个数，并找出规律，当n为奇数时，三角形的个

数是2（n+l）,当n为偶数时，三角形的个数是2n,根据此规律求解即可.

解答：解：第1个图形，有4个直角三角形，

第2个图形，有4个直角三角形，

第3个图形，有8个直角三角形，

第4个图形，有8个直角三角形，

依次类推，当n为奇数时，三角形的个数是2（n+1）,当n为偶数时，三角形的个数是2n

个，

所以，第2012个图形中直角三角形的个数是2x2012=4024.

故选B.

点评：本题主要考查了图形的变化，根据前几个图形的三角形的个数，观察出与序号的关

系式解题的关键.

考点三：猜想坐标变化

例6（2020德州）如图，在一单位为1的方格纸上,AAiA2A3,AA3A4A5,△A5A6A7,…，

都是斜边在x轴上、斜边长分别为2,4,6,…的等腰直角三角形.若aAiA2A3的顶点坐

标分别为AI（2,0）,A2（1,-l）,A3（0,0）,则依图中所示规律,A2012的坐标为.

考点：等腰直角三角形；点的坐标。

专题：规律型。

分析：由于2012是4的倍数，故Ai--A4；A5-------As；…每4个为一组，可见，A2012

在x轴上方，横坐标为2,再根据纵坐标变化找到规律即可解答.

解答：解：2012是4的倍数，

；.A[--A4；A5---As；…每4个为一组，

.♦.A2012在x轴上方，横坐标为2,

VA4>AB、An的纵坐标分别为2,4,6,

.-.Ai2的纵坐标为2012x1=1006.

2

故答案为(2,1006).

点评：本题考查了等腰直角三角形、点的坐标，主要是根据坐标变化找到规律，再依据规

律解答.

例7(2020鸡西)如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC,边OA、OC

分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBBiG，再以对角线OB1为

边作第三个正方形OBiB2c2,照此规律作下去，则点B20I2的坐标为.

考点：正方形的性质；坐标与图形性质。

专题：规律型。

分析：首先求出&、B2>B3、B4、B5、B6>B7>BS、B9的坐标，找出这些坐标的之间的

规律，然后根据规律计算出点B20I2的坐标.

解答：解：•.•正方形OABC边长为1,

.".OB=A/2>

正方形OBBCi是正方形OABC的对角线OB为边，

，OB1=2,

；.Bi点坐标为（0,2）,

同理可知OB2=2我，B2点坐标为（-2,2）,

同理可知OB3=4,B3点坐标为（-4,0）,

B4点坐标为（-4,-4）,B5点坐标为（0,-8）,

B6（8,-8）,B7（16,0）

Bs（16,16）,B9（0,16我），

由规律可以发现，每经过9次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的

边长变为原来的血倍，

V2012-9=223...5,

•••B20I2的纵横坐标符号与点B4的相同，纵横坐标都是负值，

...B2012的坐标为（-2I006,-21006）.

故答案为（-21,叫-21006）.

点评：本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点

坐标的规律发现每经过9次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边

长变为原来的正倍，此题难度较大.

四、中考真题演练

一、选择题

1.（2020烟台）一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去

部分的小菱形的个数可能是（）

考点：规律型：图形的变化类。

专题：规律型。

分析：答案中断去的菱形个数均为较小的正整数，由所示的图形规律画出完整的装饰链,

可得断去部分的小菱形的个数.

解答：解：VVV▼▼V

如图所示，断去部分的小菱形的个数为5,

故选c.

点评：考查图形的变化规律；按照图形的变化规律得到完整的装饰链是解决本题的关键.

2.(2020铜仁地区)如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5

个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个

D.109

考点：规律型：图形的变化类。

专题：规律型。

分析：得到第n个图形在1的基础上如何增加2的倍数个平行四边形即可.

解答：解：第①个图形中有1个平行四边形；

第②个图形中有1+4=5个平行四边形；

第③个图形中有1+4+6=11个平行四边形；

第④个图形中有1+4+6+8=19个平行四边形；

第n个图形中有1+2(2+3+4+…+n)个平行四边形；

第⑩个图形中有1+2(2+3+4+5+6+7+8+9+10)=109个平行四边形；

故选D.

点评：考查图形的变化规律;得到第n个图形中平行四边形的个数在第①个图形中平行四

边形的个数1的基础上增加多少个2是解决本题的关键.

4.(2020永州)如图，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，现依逆时针方向移动这枚棋子,

其各步依次移动1,2,3,…，n个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从第1

号角移动到第3号角，第三步从第3号角移动到第6号角，.…若这枚棋子不停地移动下去,

则这枚棋子永远不能到达的角的个数是()

A.0B.1C.2D.3

考点：规律型：图形的变化类。

分析：因棋子移动了k次后走过的总格数是l+2+3+...+k=2k(k+1),然后根据题目中所

2

给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解.

解答：解:因棋子移动了k次后走过的总格数是l+2+3+...+k=」k(k+l),应停在第9dk+l)

22

-7p格，

这时P是整数，且使g3k(k+1)-7p<6,分别取k=l,2,3,4,5,6,7时，

2

Ik(k+1)-7p=l,3,6,3,1,0,0,发现第2,4,5格没有停棋，

2

若7<仁10,设k=7+t(t=l,2,3)代入可得，—k(k+1)-7p=7m+-lt(t+1),

22

由此可知，停棋的情形与k=t时相同，

故第2,4,5格没有停棋，

即：这枚棋子永远不能到达的角的个数是3.

故选D.

点评：本题考查理解题意能力，关键是知道棋子所停的规则，找到规律，然后得到不等式

求解.

5.(2020扬州)大于1的正整数m的三次累可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23=3+5,

33=7+9+11,43=13+15+17+19,…若n?分裂后，其中有一个奇数是2021,则m的值是()

A.43B.44C.45D.46

考点：规律型：数字的变化类。

专题：规律型。

分析：观察规律，分裂成的数都是奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的

积再加上1,奇数的个数等于底数，然后找出2021所在的奇数的范围，即可得解.

解答：解：V23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,

••.n?分裂后的第一个数是m(m-1)+1,共有m个奇数，

V45x(45-1)+1=1981,46x(46-1)+1=2071,

，第2021个奇数是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数，

m=45・

故选C.

点评：本题是对数字变化规律的考查，找出分裂后的第一个奇数与底数的变化规律是解题

的关键.

6.(2020盐城)6知整数a”a2，a3,a4，…满足下列条件：ai=0,a?=-闭+1|,a3=-也+2|,

a4=-|a3+3|.........依次类推,则a2oi2的值为()

A.-1005B.-1006C.-1007D.-2012

考点：规律型：数字的变化类。

专题：规律型。

分析：根据条件求出前几个数的值，再分n是奇数时，结果等于-Ell,n是偶数时，

2

结果等于-卫，然后把n的值代入进行计算即可得解.

2

解答：解：ai=O,

az=-|ai+l|=-|0+l|=-1,

a3=-|a2+2|=-|-1+2|=-1,

a4=-|a3+3|=-|-1+3|=-2,

a5=-|a4+4|=-|-2+4|=-2,

•••,

所以，n是奇数时，an=-E二，n是偶数时，a0=-Z,

22

32012=-2。12.=-1006.

2

故选B.

点评：本题是对数字变化规律的考查，根据所求出的数，观察出n为奇数与偶数时的结果

的变化规律是解题的关键.

二.填空题

9.（2020泰州）根据排列规律,在横线上填上合适的代数式：X,3x2,5x3,,9x5；

考点：单项式。

专题：规律型。

分析：本题规律比较明显，先观察得出系数为7,然后再推算x的次数.

解答：解：由题意得，系数的变化规律为：1、3、5、7、9...；

x的次数的变化规律为：1、2、3、4...；

故可得中间的空需要填：7x4.

故答案为：7x4.

点评：此题考查了单项式的知识，属于基础题，解答本题关键是依次寻找系数及x的次数

的变化规律.

10.（2020肇庆）观察下列一组数：Z,3,它们是按一定规律排列的，那

357911

么这一组数的第k个数是.

考点：规律型：数字的变化类。

分析：根据已知得出数字分母与分子的变化规律，分子是连续的偶数，分母是连续的奇数,

进而得出第k个数分子的规律是2k,分母的规律是2k+l,进而得出这一组数的第k个数的

值.

解答：解：因为分子的规律是2k,分母的规律是2k+l,

所以第k个数就应该是：

2k+l

故答案为：_2L.

2k+l

点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应

找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.解题的关键是把数据的分子分母分别用

组数k表示出来.

11.(2020云南)观察下列图形的排列规律(其中▲、・、★分别表示三角形、正方形、五

角星).若第一个图形是三角形，则第18个图形是.(填图形的名称)

考点：规律型：图形的变化类。

分析：本题是循环类问题，只要找到所求值在第几个循环，便可找出答案.

解答：解：根据题意可知，每6个图形一个循环，第18个图形经过了3个循环，且是第

3个循环中的最后1个，

即第18个图形是五角星.

故答案为：五角星.

点评：此题考查了图形的变化类，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现.对

于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，主要培养学生的

观察能力和归纳总结能力.

12.(2020岳阳)图中各圆的三个数之间都有相同的规律，据此规律，第n个圆中，m=一用

含n的代数式表示).

考点：规律型：图形的变化类；规律型：数字的变化类。

分析:根据8=2x4,5x7=35,8x10=80,得出2,5,8…第n个数为：2+3(n-1),4,1,

10,…第n个数为：4+3(n-1)即可得出第n个圆中，m的值.

解答：解：V2x4=8,

5x7=35,

8x10=80,

：.2,5,8…第n个数为：2+3(n-1),

4,7,10,…第n个数为:4+3(n-1),

.•.第n个圆中,m=[2+3(n-1)]x[4+3(n-1)]=(3n+l)(3n-1)=9n2-1.

故答案为:9n2-1.

点评：此题主要考查了数字变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用

发现的规律解决问题是应该具备的基本能力.

13.(2020宿迁)按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正

方形地砖的块数是

第1个第2个第3个

考点：规律型：图形的变化类。

专题：规律型。

分析：观察图形可知，黑色与白色的地砖的个数的和是连续奇数的平方，而黑色地砖比白

色地砖多1个，求出笫n个图案中的黑色与白色地砖的和，然后求出黑色地砖的块数，再把

n=14代入进行计算即可.

解答：解：第1个图案只有1块黑色地砖，

第2个图案有黑色与白色地砖共32=9,其中黑色的有5块，

第3个图案有黑色与白色地砖共52=25,其中黑色的有13块，

第n个图案有黑色与白色地砖共(2n-l)2,其中黑色的有工(2n-1)2+l],

2

当n=14时，黑色地砖的块数有』(2x14-1)2+l]=lx730=365.

故答案为：365.

点评：本题是对图形变化规律的考查，观察图形找出黑色与白色地砖的总块数与图案序号

之间的关系是解题的关键，还要注意奇数块地砖，一种比另一种多一块的求法.

14.(2020山西)如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案,

则第n个图案中阴影小三角形的个数是________________________.

(1)(2)(3)(4)

考点：规律型：图形的变化类。

分析：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.

解答：解：由图可知：第一个图案有阴影小三角形2个.第二图案有阴影小三角形2+4=6

个.第三个图案有阴影小三角形2+8=10个，那么第n个就有阴影小三角形2+4(n-I)=4n

-2个，

故答案为：4n-2(或2+4(n-1))

点评：本题是一道找规律的题目，注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第n

个就有正三角形4n-2个.这类题型在中考中经常出现.

15.(2020三明)填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值

是_____________.

36)(16

考点：规律型：图形的变化类；规律型：数字的变化类。

分析：根据已知数据即可得出，最下面一行数字变化规律，进而得出答案.

解答：解：根据下面一行数字变化规律为：

1x4=4,

4x9=36,

9x16=144,

16x25=400,

25x36=a=900,

故答案为：900.

点评：此题主要考查了数字变化规律，这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首

先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.

16.（2020青海）观察下列一组图形：

*

*

♦****

★★★**♦***

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有个★.

考点：规律型：图形的变化类。

专题：规律型。

分析：把五角星分成两部分，顶点处的一个不变，其它的分三条线，每一条线上后一个图

形比前一个图形多一个，根据此规律找出第n个图形中五角星的个数的关系式.

解答：解：观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3=4,

第2个图形五角星的个数是："3x2=7,

第3个图形五角星的个数是：1+3x3=10,

第4个图形五角星的个数是：1+3x4=13,

依此类推，第n个图形五角星的个数是：l+3xn=3n+l.

故答案为：3n+l.

点评：本题考查了图形变化规律的问题，把五角星分成两部分进行考虑，并找出第n个图

形五角星的个数的表达式是解题的关健.

17.（2020黔东南州）如图，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（1）个图有2个相同

的小正方形，第（2）个图有6个相同的小正方形，第（3）个图有12个相同的小正方形，

第（4）个图有20个相同的小正方形，…，按此规律，那么第（n）个图有个相

同的小正方形.

m

①②③④

考点：规律型：图形的变化类。

专题：规律型。

分析：观察不难发现，每一个图形中正方形的个数等于图形序号乘以比序号大1的数，根

据此规律解答即可.

解答：解：第（1）个图有2个相同的小正方形，2=1x2,

第（2）个图有6个相同的小正方形，6=2x3,

第（3）个图有12个相同的小正方形，12=3x4,

第（4）个图有20个相同的小正方形，20=4x5,

按此规律，第（n）个图有n（n+1）个相同的小正方形.

故答案为：n（n+1）.

点评：本题是对图形变化规律的考查，发现正方形的个数是两个连续整数的乘积是解题的

关键，此类题目对同学们的能力要求较高，在平时的学习中要不断积累.

18.（2020潍坊）如图中每一个小方格的面积为1,则可根据面积计算得到如下算式：

1+3+5+7+...+（2n-1）=（用n表示，n是正整数）

考点：规律型：图形的变化类；规律型：数字的变化类。

专题：数形结合。

分析：根据图形面积得出，第2个图形面积为22,第3个图形面积为32,第4个图形面

积为42,…第n个图形面积为I?,即可得出答案.

解答：解：利用每个小方格的面积为1,可以得出：

1+3=4=22,

1+3+5=9=32,

1+3+5+7=16=4?,…

1+3+5+7+...+（2n-1）=R

故答案为：底.

点评：此题主要考查了数字变化规律以及图形变化规律，根据图形面积得出变化规律是解

题关键，这也是中考中考查重点.

19.（2020南宁）有若干张边长都是2的四边形纸片和三角形纸片，从中取一些纸片按如图

所示的顺序拼接起来（排在第一位的是四边形），可以组成一个大的平行四边形或一个大的

梯形.如果所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，那么组成的大平行四边形或梯形的周

长是;如果所取的四边形与三角形纸片数的和是n,那么组成的大平行四边形或梯

考点：规律型：图形的变化类。

分析：第1张纸片的周长为8,由2张纸片所组成的图形的周长比第1张纸片的周长增加

了2.由3张纸片所组成的图形的周长比前2张纸片所组成的图形的周长增加了4,按此规

律可知：

①纸张张数为1,图片周长为8=3xl+5；纸张张数为3,图片周长为8+2+4=3x3+5；纸张张

数为5,图片周长为8+2+4+2+4=3x5+5；…；当n为奇数时，组成的大平行四边形或梯形的

周长为3n+5；

②纸张张数为1,图片周长为8+2=3x2+4；纸张张数为4,图片周长为8+2+4+2=3x4+4；纸

张张数为6,图片周长为8+2+4+2+4+2=3x6+4；…；当n为偶数时，组成的大平行四边形或

梯形的周长为3n+4.

解答：解：从图形可推断：

纸张张数为5,图片周长为8+2+4+2+4=3x5+5=20；

当n为奇数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为：8+2+4+...+2+4=3n+5；

当n为偶数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为：8+2+...+4+2=3n+4.

综上，组成的大平行四边形或梯形的周长为3n+5或3n+4.

故答案为:20,3n+5或3n+4.

点评：本题考查了规律型：图形的变化，解题的关键是将纸片的张数分奇偶两种情况进行

讨论，得出组成的大平行四边形或梯形的周长.

20.（2020梅州）如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm,一个微型机器人由点A

开始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动.①第一次到达G点时移动了

cm；②当微型机器人移动了2012cm时，它停在点.

考点：规律型：图形的变化类。

专题：规律型.

分析：①结合图形，找出第一次到达G点时走过的正方形的边长数即可得解；

②根据移动一圈的路程为8cm,用2012除以8,余数是几就落在从A开始所走的距离，然

后即可找出最后停的点.

解答：解：①由图可知，从A开始，第一次移动到G点，共经过AB、BC、CD、DE、

EF、FC、CG七条边，

所以共移动了7cm；

②•.•机器人移动一圈是8cm,

2012-8=251...4,

移动2012cm,是第251圈后再走4cm正好到达E点.

故答案为：7,E.

点评：本题考查的是循环的规律，要注意所求的值经过了几个循环，然后便可得出结论.

21.（2020娄底）如图，如图所示的图案是按一定规律排列的，照此规律，在第1至第2012

个图案中F"，共个.

*♦▲♦曼♦▲♦曼……

考点：规律型：图形的变化类。

分析：本题的关键是要找出4个图形一循环，然后再求2012被4整除，从而确定是共第

5034.

解答：解：根据题意可知梅花是1，2,3,4即4个一循环.所以2012+4=503.

所以共有503个配

故选答案为503.

点评：主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力.对于找规律的题目

首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.通过分析找到各部分的变化规律

后直接利用规律求解.

22.（2020六盘水）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”.它的发现比

西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三

角，，中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）"（n为非负整数）的展开式中a

按次数从大到小排列的项的系数.例如，（a+b）2=a2+2ab+大展开式中的系数1、2、1恰好

对应图中第三行的数字；再如，（a+b）3=a3+3a2b+3ab?+b3展开式中的系数1、3、3、1恰好

对应图中第四行的数字.请认真观察此图，写出（a+b）4的展开式，（a+b）4=.

考点：规律型：数字的变化类；完全平方公式。

专题：规律型。

分析：由（a+b）=a+b.（a+b）2=a2+2ab+b2,（a+b）Ja'+Ba2b+3ab?+b3可得（a+b）11的各

项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）ni的相邻两个系数的和，

由此可得（a+b）4的各项系数依次为1、4、6、4、1.

解答：解：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

故答案为:a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

点评：本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的

式子寻找规律，是快速解题的关键.

三.解答题(共13小题)

图①图②图③

三个角上三个数的积lx(-1)x2=-2(-3)x(-4)x(-5)=-60

三个角上三个数的和1+(-1)+2=2(-3)+(-4)+(-5)=-12

积与和的商-2+2=-1,

(2)请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x.

考点：规律型：数字的变化类。

分析：(1)根据图形和表中已填写的形式，即可求出表中的空格；

(2)根据图①②③可知I,中间的数是三个角上的数字的乘积与和的商，列出方程，即可求

出x、y的值.

解答：解：(1)图②：(-60)+(-12)=5,

图③：(-2)x(-5)xl7=170,

(-2)+(-5)+17=10,

17070=17.

图①图②图③

三个角上三个数的积lx(-1)x2=-2(-3)x(-4)x(-5)=

-60(-2)x(-5)xl7=170

三个角上三个数的和1+(-1)+2=2(-3)+(-4)+(-5)=

-12(-2)+(-5)+17=17

积与和的商-2+2=7,(-60)+(-12)=5,1704-10=17

(2)图④：5x(-8)x(-9)=360,

5+(-8)+(-9)=-1,

y=360+(-12)=-30,

图⑤：1义xX3=-3,

l+x+3

解得x=-2；.

点评：此题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现

的规律解决问题是应该具备的基本能力.

24.(2020宁波)用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放:

第1个第2个第3个第4个

(1)第5个图形有多少黑色棋子？

(2)第几个图形有2021颗黑色棋子？请说明理由.

考点：规律型：图形的变化类。

分析：(1)根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，即可得出答案；

(2)根据(1)所找出的规律，列出式子，即可求出答案.

解答：解：(1)第一个图需棋子6,

第二个图需棋子9,

第三个图需棋子12,

第四个图需棋子15,

第五个图需棋子18,

第n个图需棋子3(n+1)枚.

答：第5个图形有18颗黑色棋子.

(2)设第n个图形有2021颗黑色棋子，

根据⑴得3(n+1)=2021

解得n=670,

所以第670个图形有2021颗黑色棋子.

点评：此题考查了图形的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结,

得到其中的规律.

1.列一元一次方程解应用题的一般步骤

(1)审题：弄清题意.

(2)找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系.

(3)设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母

的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程.

(4)解方程：解所列的方程，求出未知数的值.

(5)检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，

是否符合实际，检验后写出答案.

2.和差倍分问题：增长量=原有量义增长率现在量

=原有量+增长量

3.等积变形问题：常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，

依据形虽变，但体积不变.

①圆柱体的体积公式v=底面积*高=5•h=%dh

②长方体的体积V=长义宽义高=abc

4.数字问题

一般可设个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c.十位数

可表示为10b+a,百位数可表示为100c+10b+a.

然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程.

5.市场经济问题

（1）商品利润=商品售价一商品成本价（2）商品利润率=

商品利润X100%

商品成本价

（3）商品销售额=商品销售价义商品销售量

（4）商品的销售利润=（销售价一成本价）义销售量

（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打

8折出售，即按原标价的80%出售.

6.行程问题：路程=速度X时间时间=路程+速度速度=路

程+时间

（1）相遇问题：快行距+慢行距=原距

（2）追及问题：快行距一慢行距=原距

（3）航行问题：顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）

速度

逆水（风）速度=静水（风）速度一水流（风）

速度

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考

虑相等关系.

7.工程问题：工作量=工作效率义工作时间

完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1

8.储蓄问题

利润=每个期¥2的利息义100%利息=本金义利率X期数

本金

实际问题与二元一次方程组题型归纳(练习题答案)

类型一：列二元一次方程组解决一一行程问题

【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，

那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出

发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？

解：设甲，乙速度分别为x,y千米/时，依题意得：

(2.5+2)x+2.5y=36

3x+(3+2)y=36

解得：x=6,y=3.6

答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。

【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用

20小时，求船在静水中的速度和水流速度。

解：设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时，则水流速度y千米/小时，有：

20(x-y)=280

14(x+y)=280

解得：x=17,y=3

答:这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时，

类型二：列二元一次方程组解决一一工程问题

【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2

万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若

只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说

明理由.

解：

设甲、乙两公司每周完成工程的X和y,则

J+/=10

（6得，故1+工=10（周）11—工=15周

“c,11015

[4K+9,=1y=—

即甲、乙完成这项工程分别需10周，15周

又设需付甲、乙每周的工钱分别为3元，b万元则

'_3

（6a+6&=5.2[10a=6（万元）

|得，此时，__

14a+98=4.8_4=4②兀）

比莪知，从节约开支角度考虑，选乙公司划算

类型三：列二元一次方程组解决一一商品销售利润问题

【变式1]（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，

共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元,

李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？

解：设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得：

①x+y=10

②2000x+1500y=18000

解得：x=6,y=4

答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩

【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价

如下表：

AB

进价（元/件）12001000

售价（元/件）13801200

（注：获利=售价一进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件;

解：设购进A的数量为x件、购进B的数量为y件，依据题意列方程组

1200x+1000y=360000

（1380-1200）x+（1200-1000）y=60000

解得x=200,y=120

答：略

类型四：列二元一次方程组解决一一银行储蓄问题

【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共

存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相

同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行

年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元（不计利息税），问小敏的爸

爸两种存款各存入了多少元？

解：设x为第一种存款的方式，丫第二种方式存款，则

X+Y=4000

X*2.25%*3+Y*2.7%*3=303.75

解得：X=1500,Y=2500o

答：略。

类型五：列二元一次方程组解决一一生产中的配套问题

【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与

两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成

一批完整的盒子？

解：设x张做盒身，y张做盒底，则有盒身8x个，盒底22y个

x+y=190

8x=22y/2

解得x=110,y=80

即110张做盒身，80张做盒底

【变式2］某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,

每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺

母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。

解：设生产螺栓的工人为x人,生产螺母的工人为v人

x+y=60

28x=20y

解得x=25,y=35

答：略

【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做

桌面50个，或做桌腿300条。现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做

桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多

少张方桌？

解：设用X立方米做桌面，用丫立方米做桌腿

X+Y=5.........................⑴

50X：300Y=1：4.......................⑵

解得：丫=2,X=5-2=3

答：用3立方米做桌面，2立方米的木料做桌腿。

类型六：列二元一次方程组解决一一增长率问题

【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%,农村人

口增加1.1%,这样全市人口增加1%,求这个城市的城镇人口与农村人口。

解：设该城市现在的城镇人口有x万人，农村人口有y万人。

x+y=42

0.8%xX+l.l%xY=42x1%

解这个方程组，得：x=14,y=28

答：该市现在的城镇人口有14万人，农村人口有28万人。

类型七：列二元一次方程组解决一一和差倍分问题

【变式1】略

【变式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。

如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽

比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？

解：设：男有X人，女有丫人，则

X-1=Y

2(Y-1)=X

解得：x=4,y=3

答：略

类型八：列二元一次方程组解决一一数字问题

【变式1］一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以

它的各位数字之和，商是5,余数是1,这个两位数是多少？

解：设这个两位数十位数是X,个位数是y,则这个数是(10x+y)

10x+y-3(x+y)=23(1)

10x+y=5(x+y)+1⑵

由(1),(2)得

7x-2y=23

5x-4y=1

解得：x=5

y=6

答：这个两位数是56

【变式2]一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5,如果把十位上的数字与个

位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9,求这个两位数？

解：设个位X,十位Y,有

X-Y=5

(10X+Y)+(10+X)=143

即

X-Y=5

X+丫=13

解得：X=9»Y=4

这个数就是49

【变式3】某三位数，中间数字为0,其余两个数位上数字之和是9,如果百位

数字减1,个位数字加1,则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，

求原三位数。

解：设原数百位是x,个位是y那么

x+y=9

x-y=1

两式相加得到2x=10=>x=5=>y=5-1=4

所以原数是504

类型九：列二元一次方程组解决一一浓度问题

【变式1】要配浓度是45%的盐水12千克，现有10