2021年中考数学压轴题讲次20 证明题专项训练（教师版）

专题20证明题专项训练

典例剖析

1.（2018・上海中考真题）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE_LAPUDF_LAP,

垂足分别是点EOF

□1）求证：EF=AEDBED

A/?DF

□2）联结BF,如果——=——.求证：EF=EPU

BFAD

【分析】（1）利用正方形的性质得AB=ADH/BAD=90。,根据等角的余角相等得到N1=N3,

则可判断AABE丝4DAF,则BE=AF,然后利用等线段代换可得到结论；

NFDFBEBF

吃）利用——=——和AF=BE得至U——=——，则可判定RtABEFsRt/iDFA,所以N4=/3,

BFADDFAD

再证明/4=/5,然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP

【详解】1•••四边形ABCD为正方形,

.\AB=ADZBAD=90°VBE±APDF_LAP/.ZBEA=ZAFD=90°

Zl+Z2=90°nZ2+Z3=90°DZ1=N3匚

在AABE和ADAF中

NBEA=NAFD

，N1=N2

\AB=DA

，AABE^ADAFDABE=AFJEF=AEAF=AEBE

AFDF

2）如图，*而AF=BE

BFAD

BEDFBEBF

————=——L.1.RtABEF^RtADFA；.Z4=Z3

BFADDFAD

而Z4=Z1Q

VZ5=Z1/.Z4=Z5

即BE平分/FBP」

而BE±EPD.,.EF=EPn

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质,

熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键.

2.（2020・上海九年级二模）如图，四边形是菱形，点E在Z8延长线上，联结NC,

DE,OE分别交8C,4c于点F,G,S.CD-AE=AC-AG.

求证：（1）口ABCs口4GE；

（2）AB2=GDDE

AC

【分析】（1）只要证明一=—,又/BAC=NGAE,即可证明ABCS^AGE；

AGAE

（2）只要证明」ADGS/XEDA,可得黑=写，推出AD2=DE・DG即可证明；

CDAC

【详解】证明：(1)CDAE=ACAG,□—=——

AGAE

四边形ABCD是菱形，AB=CD,

AR

——=——,ABAC=ZGAE,

AGAE

(2)△ABCS^AGE,NACB=NE,

四边形。是菱形，AB=AD,BCIIAD,

ZACB=ZCAD=ZE,

ZADG=ZADE,^ADG^^EDA,—=—

DEAD

AD2=DE-DG，

AB2=DEDG.

【点睛】本题考查相似三角形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识

解决问题，属于中考常考题型.

3.(2020・上海九年级三模)已知：如图，点E为对角线ZC上的一点，点厂在线段

8E的延长线上，且EF=BE,线段E/与边CO相交于点G.

(1)求证：DF//AC；

(2)如果DG=CG,联结。以CF,求证：四边形。EC尸是矩形.

【分析】(1)根据平行四边形的性质得到BO=DO,根据三角形的中位线定理即可得到结论;

(2)根据平行四边形的性质得到AB〃CD,由平行线的性质得到NBAE=NGCE,求得

ZGEC=ZGCE,得至IJGE=CG,推出四边形DECF是平行四边形，得到DG=CG=FG=GE,

于是得到结论.

【详解】证明：（1）•.•四边形ABC力是平行四边形，30=00.

•.•呼=3石，是口5。尸的中位线.0E//DF,即。f7/AC.

（2）-.AB=BE':.NBAE=NBEA.

•.•四边形ABC。是平行四边形，NBAE=NGCE.

又NBEA=NGEC,NGEC=NGCE.GE=CG.

DGFG

•：DFHAC,.•.△DFGs/XCEG,：.——=—.

CGGE

•：DG=CG,:.FG=GE.，四边形DEC/是平行四边形.

,:DG=CG,FG=GE,GE=CG.:.DG=CG=FG=GE.

DC=EF..•.四边形。ECF是矩形.

【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理,

相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键.

4.（2020・上海大学附属学校九年级三模）己知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD〃BC,

AB=DC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于点E.

E

求证：

(1)AABC^ADCB；

(2)DEDC=AEBD.

【分析】（1）根据三角形全等的判定条件找到相应的条件：AC=DB,AB=DC,BC=CB,

即可证明:

（2）根据题意证明△ADEsaCBD,对应边成比即可求证.

【详解】证明：（1）•••四边形ABCD是等腰梯形，.\AC=DB,

VAB=DC,BC=CB,AAABC^ABCD,

（2）VAABC^ABCD,；./ACB=ZDBC,NABC=NDCB,

：AD〃BC,.,.ZDAC=ZACB,ZEAD=ZABC,

：ED〃AC,；./EDA=/DAC,AZEDA=ZDBC,/EAD=NDCB,

AAADE^ACBD,/.DE：BD=AE：CD,ADEDC=AEBD.

【点睛】此题考查三角形全等的判定定理，相似三角形的证明及性质.

5.（2020・上海九年级二模）已知：如图，在平行四边形"BCD中，对角线/C与8。交于点

。，点£是。8延长线上的一点，且无1=EC,分别延长N。、EC交于点、F.

（1）求证：四边形为菱形；

（2）如果求证：EC'CF=AF-AD.

【分析】（1）由四边形力88是平行四边形知O4=0C,结合E/=EC知EO_L/C,从而得

证；

（2）先由NAEB=NCEB=gZAEC,平行四边形ABCD为菱形得NCQF=ZDAC+ZDCA

=ZAEF,据此可证△尸CDs△科£得生=C£,结合CZ）=N£>,4E=CE可得答案.

FAAE

【详解】（1）•••四边形N8C。是平行四边形，.•.04=OC,

又•：EA=EC,:・EOLAC,J四边形4&CD是菱形;

(2)•；NAEB=NCEB=gNAEC,平行四边形力8co为菱形，

,ZAEB=NCEB=NBAC=ZBCA=ZDAC=/DCA,

ZCDF=/DAC+/DCA=/AEF,

J△尸CDs△物£1,

FAAE

FCAD

VCD=AD,AE=CE,；.­=—,B|JEC<F=AF«AD.

FACE

【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质,

解题的关键是掌握判定定理.

6.(2020・上海九年级二模)如图，在平行四边形ABCD中，BE、DF分别是平行四边形的

两个外角的平分线，/EAF=：NBAD,边AE、AF分别交两条角平分线于点E、F.

(1)求证：△ABESAFDA；

(2)联结BD、EF,如果DF2=AD・AB,求证：BD=EF.

【分析】(1)根据角平分线的定义得到/HDF=g/HDC.根据平行四边形的性质得到

AB〃CD.求得NBAD=NCDH.等量代换得到NBAE=NF,同理NDAF=/E,于是得

到结论；

(2)作AP平分NDAB交CD于点P,由角平分线的定义得到NDAP=gNBAD,求得NHDF

=NDAP,推H|DF〃AP,同理BE〃AP,根据相似三角形的性质得到BE=DF,根据平行

四边形的性质即可得到结论.

【详解】解：(1)vZEAF=yZBAD,，/DAF+NBAE=:/BAD,

；DF平分NHDC,.,.ZHDF=—ZHDC,

2

又；四边形ABCD是平行四边形，；.AB〃CD,.•.NBAD=NCDH,

；./HDF=NEAF,AZHDF=ZDAF+ZBAE,

又,；/HDF=/DAF+NF,/BAE=/F,

同理：NDAF=NE,.,.△ABE^AFDA；

(2)作AP平分/DAB交CD于点P,

ZDAP=-ZBAD,

2

VZHDF=­ZCDH,且NBAD=NCDH；.NHDF=NDAP,；.DF〃AP,

2

同理：BE〃AP,；.DF〃BE,

ADDF

•/△AABE^AFDA,；.——=——，n即nBE・DF=AD・AB,

BEAB

XVDF2=AD«AB,；.BE=DF,二四边形DFEB是平行四边形，ABD=EF.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，熟练

掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

7.（2020・上海杨浦•九年级二模）如图，已知在正方形48CZ）中，对角线NC与2。交于点

。，点M在线段上，联结4M并延长交边Z)C于点E,点N在线段0c上，且ON=OM,

联结。N与线段ZE交于点H,联结EMMN.

(1)如果EN〃BD,求证：四边形QMNE是菱形;

(2)如果EV_LZ)C,求证：AN2=NC'AC.

【分析】(1)根据正方形性质及ON=OM,求出MN〃CD,进而得出四边形DMNE是平行

四边形，在证明出△AOMg^DON即可得到平行四边形DMNE是菱形；

(2)根据MN〃CD得到网=斗幺，再由EN_LDC得到ENACDC

——=——，冉由

NCMEANDE

AI\4AfiANAC

AB"DC,得到——=—,即可得到一=——，即为所求.

MEDENCAN

【详解】证明：(1)如图1,

:四边形ABCD是正方形，.\OA=OB=OC=OD,AC1BD,

.ONOM

VON=OM,；.MN〃CD,

~OC~~OD

又YENaBD,.•.四边形DMNE是平行四边形，

在△AOM和△DON中，

,.,ZAOM=ZDON=90°,OA=OD,OM=ON,

.,.△AOM^ADON(SAS),AZOMA=ZOND,

；/OAM+NOMA=90°,NOAM+/OND=90”

AZAHN=90°.ADN1ME,二平行四边形DMNE是菱形;

(2)如图2,

.ANAM

：MN〃CD,

"~NC~ME

•.,四边形ABCD是正方形，.\AB〃DC,AB=DC,ZADC=90°,，AD_LDC,

.ACDC

又，〃

•.•EN_LDC,ENAD''~AN~~DE'

.AM_AB.ANAC

VAB/7DC,.♦.AN2=NC・AC.

"~ME~~DE"NC~AN

【点睛】此题考查正方形相关知识，主要是利用平行线分线段成比例求解，难度较大.

压轴精练

L

1.（2020•上海九年级二模）如图，在aABC中，AB=AC,点D在边BC上，联结AD,以

AD为一边作AADE,满足AD=AE,ZDAE=ZBAC,联结EC.

(1)求证：CA平分NDCE；

(2)如果AB2=BD・BC,求证：四边形ABDE是平行四边形.

【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到/B=/ACB,证明aABD丝4ACE,根据全等三

角形的性质得到NB=NACE,根据角平分线的定义证明结论；

(2)根据相似三角形的判定定理得到△ABDsaCBA,得到NBAD=NACB,分别证明

AE〃BD,AB//DE,根据平行四边形的判定定理证明.

【详解】(1)证明：：AB=AC,.*.NB=/ACB,

VZDAE=ZBAC,AZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,即NBAD=NCAE,

在AABD和AACE中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD^AE

.,.△ABD^AACE(SAS),.,.ZB=ZACE,AZACB=ZACE,

，CA平分NDCE；

(2)证明：：AB2=BD・BC,...包=处，

BCAB

又/B=/B,.♦.△ABDs^CBA,二NBAD=/ACB,

VAABD^AACE,/.ZBAD=ZCAE,AZCAE=ZACB,，AE〃BD,

VAB=AC,AD=AE,ZDAE=ZBAC,AZACB=ZADE,

；./BAD=NADE,；.AB〃DE,：AE〃BD,AB〃DE,四边形ABDE是平行四边形.

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的

判定，掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

2.（2020・上海九年级二模）已知：如图，在梯形中，CD〃AB,ZDAB=90°,对角

线/C、8。相交于点£,ACLBC,垂足为点C,且=

（1）求证：AD=DE；

（2）过点。作NC的垂线，交AC于点、F,求证：CE1=AE*AF.

【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到△SCEs/vlcs,根据相似三角形的性质得到

NCBE=NCAB,根据等角的余角相等得到根据等腰三角形的判定定理证

明；

（2）根据平行线分线段成比例定理得到§3=装，器=笑,得到g=空，整理得

EFDEDECEEFCE

到CE2根据等腰三角形的三线合一得到证明结论.

BCCA

【详解】证明：（I）•；BC2=CE-C4,；.一=一，乂NECB=NBC4,

CEBC

：./\BCEs/\ACB,:.NCBE=NCAB,

'JACLBC,NDAB=90°,：.NBEC+NCBE=90°,NDAE+NCAB=90°,：.NBEC=NDAE,

；NBEC=NDE4,:.NDAE=NDEA,；.4D=DE：

（2）过点。作/C的垂线，交4c于点凡如图,

•：DF1AC,ACLBC,:.NDFE=NBCA=9Q0,

CEBE

C.DF//BC,

EF-DE

.BEAECEAE2

■:DC//AB,•■,—=——，:.CE=AE,EF,

DECEEFCE

*：AD=DE,DFLAC,：.AF=EF,：.CE1=AE'AF.

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、直角梯形的概念，掌握相似三角形的判定

定理和性质定理是解题的关键.

3.(2020・上海九年级二模)已知：如图，四边形488是平行四边形，延长A4至点E,使

得4E=AB,联结。E、NC.点尸在线段。E上，联结8尸，分别交ZC、ZO于点G、H.

(1)求证：BG=GF；

(2)如果ZC=2/5,点尸是。E的中点，求证：AH2=GH>BH.

【分析】(1)由平行四边形的性质可得ABCD,可证四边形/CCE是平行

四边形，可得孕="=1,可得结论；

GFAE

(2)由"&4S'可证BEFUDEA,可得EBF=EDA,通过证明AHGBHA,可得结论.

【详解】证明：(1)口四边形N8CD是平行四边形，匚4B=CD,ABJCD,

AB=AE,AE=CD,四边形为COE是平行四边形,

BGAB

ACDE,----....=1,BG=GF；

GFAE

(2)^AB=AE,UBE=2AE,

QAC^2AB,UBE=AC,

□四边形ZCDE1是平行四边形，口/。=。。UDE=BE,

点F是DE的中点，DE=2E产,AE=EF,

DE=BE,CE=UE,AE=EF,JQBEFQQDEA(SAS),DaEBF=QEDA,

DACDE,□GAH=EDA.EBF=GAH.

AHGH”

AHG=BHA,AHGBHA,——=——.AkP^GH-BH.

BHAH

【点睛】本题考查/相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性

质，灵活运用相似三角形判定和性质是本题的关键.

4.(2020・上海九年级二模)如图，已知AB、AC是00的两条弦，且AO平分NBAC.点

M、N分别在弦AB、AC上，满足AM=CN.

(1)求证：AB=AC；

……MNOM

(2)联结OM、ON、MN,求证：——=——.

ABOA

【分析】(1)过点O作ODLAB于点D,OELAC于点E,利用角平分线的性质和垂径定

理即可得出答案；

(2)联结OB,OM,ON,MN,首先证明口BOMRAON,然后再证明口NOM口口

根据相似三角形的性质即可得出答案.

【详解】证明：（1）过点0作ODLAB点D,OE_LAC于点E,如图所示:

YAO平分NBAC..\OD=OE.

ACr=AO2-OD\AE2=AO2-OE2，AD=AE.

-.-OD±AB,OE±AC,：.AB=2AD,AC=2AE,AAB=AC；

(2)联结OB,OM,ON,MN,如图所示，

VAM=CN,AB=AC；.BM=AN.

：OA=OB,/.ZB=ZBAO.

VZBAO=ZOAN,AZB=ZOAN,/.△BOM^AAON（SAS）,

AZBOM=ZAON,OM=ON,AZAOB=ZMON,AANOM^ABOA,

.MN_OM

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质及圆的有关性质,

熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.

5.（2020・上海九年级二模）如图，已知四边形ABCO是矩形，点E在对角线AC上，点产

在边CO上（点尸与点C、。不重合），BEYEF,且/48£+/。所=45°.

(1)求证：四边形ABCO是正方形；

(2)联结8。，交E尸于点。，求证：DQBC=CEDF.

【答案】(1)四边形ABCO是正方形(过程见详解)

(2)DQBC=CEDF(过程见详解)

【分析】(1)本题借助辅助线利用NA5E+NCEF=45。，NFEM+NCEF=45。,找出

/DAC=45。得至I」DA=DC,即可证明，

(2)本题在(1)的条件下证明△CBE~aDFQ,即可求证.

【详解】(1)

分别作EP_LBC,EM±CD,:四边形ABCD为矩形，AZABE=ZBEP,

又BEJ_EF,AZBEP+ZFEP=ZFEP+ZFEM=90°,AZBEP=ZFEM,

NABE+NCEF=45°,:.NBEP+NCEF=45°,NFEM+NCEF=45°,

即/CEM=45。，.,.ZDAC=45°,ADA=DC,矩形ABCD为正方形.

⑵

D

由(1)得：ZQDF=ZBCE=45°,ZABE+ZEBQ=45°,

ZABE+ZCEF=45°,:.NCEF=ZEBQ,:.ZCEF+45°=NEBQ+45°,

即NEBC=NDFQ(三角形外角等于与其不相邻两内角和)，

DFDQ

.♦.△ACBE~△DFQ,——,.-.DFxEC=DQxBC,

BCEC

即DQBC=CEDF.

【点睛】此题从特殊四边形下手，涵盖知识点包括相似三角形的证明及性质.

6.（2020・上海九年级二模）已知：AABC,AB=AC,/A4C=90。，点。是边8C的中点，点

£在边上（点E不与点4、8重合），点F在边4C上，联结DF.

（1）如图1,当尸=90。时，求证：BE=AF；

BE

~CF

【分析】（1）连接AD,证4BDE/Z\ADF（ASA）,即可得出结论;

iBEBDDE-BEBDDE.

(2)证明△BDEsAACFD.得出-----,得出---------—(),由BD=CD,

CDCFDFCDCFDF

即可得出结论.

【详解】（1）连接/3，如图I所示:

在Rta/8C中，'：AB=AC,ZBAC=90°,:.NB=NC=45。*

•••点。是边8c的中点，：.AD^-BC=BD,AD1BC,ZBAD=ZCAD=45°,

2

：.NB=NCAD.

'：NEZ)尸=90°,，ZADF+ZADE=90°

,：NBDE+NADE=90。,：.NBDE=NADF,

NB=NCAD

在△8DE和△力。尸中，＜80=A。，

NBDE=ZADF

：.△8Z)£丝△4QF(ASA),：.BE=AF；

(2),:NBDF=NBDE十NEDF,NBDF=NC+NCFD,

：.NBDE+NEDF=NC+NCFD.

又・・・/C=NEO尸=45。，/.NBDE=4CFD,：.ABDEs^CFD,

.BE_BD_DEBEBDDE

二五K=(而)2’

"CD_CF-DF

DE?BE

又・：BD=CD,：.——-----.

DF2CF

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形

的性质等知识；熟练掌握等腰直角二角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关

键.

7.（2020・上海九年级二模）如图，已知四边形ABC。菱形，对角线AC、8。相交于点。，

DH1AB,垂足为点〃，交AC于点£,连接H。并延长交CO于点G.

(1)求证：NDHO=-NBCD；

2

(2)求证：HGD4E=20E[TG

【分析】(1)(1)先根据菱形的性质得OD=OB,AB〃CD,BD1AC,则利用DH_LAB得

到DH_LCD,/DHB=90°,所以OH为RtADHB的斜边DB上的中线，得到OH=OD=OB,

利用等腰三角形的性质得N1=/DHO,然后利用等角的余角相等证明结论；

(2)根据AB//CO,推出OH=OG=』HG,再证A4E£>SACGO,即可推出

2

OG・AE=CG-DE,即可证出结论.

【详解】(1)•••四边形ABCO是菱形，

ABIICD,AB=CD,AC±BD,DO=BO,ZACD=-NBCD,

2

DHLAB,：.NDHA=4DHB=90°,

vABIICD.:.NDHA=NHDC=90°,:.NBDH+NBDC=90°,

-,-ZCOD=90°,：.ZACD+ZBDC=90°,..ZDHB=90°,DO=BO,

：.OD=OH,：.ZBDH=ZDHO,ZDHO=-ZBCD.

2

HCOR1

（2）-AB//CD,—=—=:.OH=OG=-HG,

OGOD2

AD=CD,ZDCA=ZDAC,

•/ZAED=ZHDC+ZDCA,ZHGC=NHDC+NDHG,

又YNDHOMNDCA,："AED=NHGC,:.MED\CGO,

：.OG*AE^CG'DE,HG*AE=DE*CG,

DEAE2

:.HGME=2DEQG.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，熟记个性

质定理是解题的关键.

8.（2020・上海九年级二模）已知：如图，在平行四边形ABCO中，对角线AC与8。相交

于点£,过点E作4C的垂线交边8C于点尸，与的延长线交于点M,且

ABAM=AEAC.

求证：（1）四边形ABC。是矩形；

（2）DE2=EFEM.

ABAE

【分析】（1）由=AE-AC可得一=——，又/CAB=/EAM,从而推出

ACAM

△ABC^AAEM,继而推出/ABC=/AEM=90°,从而可得出结论；

EBEF

（2）先证明△EFBsaEBM,从而推出——=——，得出EB2=EF.EM，乂DE=BE,

EMEB

从而可得出结果.

【详解】证明：（1）VABAM=AEAC,：.—=——，

ACAM

又/CAB=NEAM,/.AABC^AAEM,AZABC=ZAEM=90",

又四边形ABCD为平行四边形，.•.四边形ABCD为矩形：

（2）:四边形ABCD为矩形，，AE=BE=DE=CE,

ZEAB=ZEBA,XZEAB+ZM=90",ZEBA+ZEBF=90°.\ZM=ZEBF,

rEBEF

乂/FEB=NBEM,/.AEFB^AEBM,------=——，

EMEB

EB2=EF-EM，DE-=EF-EM.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质以及等腰三角形的性质等

知识，综合运用基本性质进行推理是解题的关键.

9.（2020・上海九年级二模）如图，区F分别是正方形ABCD的边。C、的中点，以AE

为边作正方形AE/7G,HE与BC交于点联结AQ、DF.

(1)求证：AEYDF-,

(2)设SACEQ=S|，,Sqj&jQ=S3,,求证5]+52=§3.

【分析】（1）先说明AADE9ADCF,然后再利用同角的余角相等以及垂直的定义即可证明;

OFCFDF1

（2）先证ZkADEs/\ECQ,得出£=====—,进而可得△AEQsaADEs^ECQ,

AEALDAD2

然后根据相似三角形的性质即可证明.

【详解】（1）证明：•.•四边形ABCD是正方形

，AD=DC,ZADE=ZDCF=90°

SAADE和ADCF中

AD=DC

<ZADE=ZDCF

DE=CF

.,.△ADE^ADCF(SAS)AZEAD=ZCDF

,/NAED+/EAD=90°；.ZAED+ZCDF=90°/.AE±DF；

(2)VZADE=ZC,ZCEQ=ZEAD,AAADE^AECQ

QECEDEI

：E是CD的中点.I

~AE~AD~AD~2

"：ZADE=ZC=90°.\AAEQ^AADE^AECQ

设CE=DE=a,则AD=2a,AE=&a

S.1S,4

•,3=7ST=5'AS'+SLs.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等.角形、相似三角形的判定和性质，灵活应用全等

三角形、相似三角形的判定和性质是解答本题的关键.

10.（2020・上海九年级二模）如图，已知C是线段48上的一点，分别以4C、8c为边在线

段同侧作正方形/CDE和正方形C8GF,点F在CD上，联结4尸、BD,BD与FG交于

点点N是边/C上的一点，联结EN交4F与点H.

(1)求证：AF=BD；

，…，eANGM

(2)如果一=——，求证：AFLEN.

ACGF

【分析】(1)根据SAS证明△ACFgZ\DCB即可得到结论;

⑵根据正方形的性质得到AE=AC,GF=GB,由第=器证得A=N篙G得M到

△EANsaBGM,再证明△MBGs^BDC,由aBDC四△FAC,得到△EANs^ACF,推

出NCAF+NANE=90。，即可得到结论.

【详解】

(1)在正方形4cOE和正方形C8GE中，AC=CD,CF=CB,ZACD=ZBCD=90°,

/.△ACF^ADCB,・・・AF=BD；

(2)在正方形/COE和正方形C8G/中，AE=AC,GF=GB,

ANGM.ANGM

・^AC~~GF9^~AE~~GB9

VZEAN=ZG=90°,AAEAN^ABGM,

・.・CD〃BG,・・.NCDB=NMBG,

VZDCB=ZG=90°,••.△MBG^ABDC,

VABDC^AFAC,/.AEAN^AACF,ZAEN=ZCAF,

VZAEN+ZANE=90°,AZCAF+ZANE=90°,AZAHN=90°,AAF.LEN.

【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，正方形的性质，相似三角形的判定及性质.

11.（2020・上海九年级二模）如图，已知在平行四边形/8CO中,/EL8C,垂足为E,CE=AB,

点尸为CE的中点，点G在线段CD上,联结。F,交/G于点",交EG于点N,且NDFC=NEGC.

（1）求证：CG=DG；

（2）求证：CG^=GMAG.

【分析】（1）首先证明△ECG岭△OCF,贝D有CG=CF,因为b=，CE,则有CG=，C£）

22

则结论可证；

（2）延长4G、BC交于点H,首先证明丝ZV/CG,则有/G=HG然后根据直角三

角形斜边中线有4G=4G=EG,进而得出NCOF=NDN，，进一步可证△4DGSZ\OA/G,则

有震=痛，即力又因为CG=OG即可证明结论.

【详解】证明：（1）•••四边形/8CD是平行四边形，CE=AB,

：.AB=CD=EC.

XVZDFC=ZEGC,ZFCD=ZGCE,；.△ECG丝△DCF,：.CG=CF.

:点尸为CE的中点，：.CF=-CE,：.CG=-CD,即：CG=DG.

22

（2）延长4G、8c交于点H.

AD

,:△ECGWXDCF,：.ZCEG=ZCDFDG=CG.

:四边形力8c。是平行四边形，

:.NDAH=NH,ZADC=ZDCH.:.XADGmXHCG,：.AG=HG.

'：AE±BC,：.ZAEC=90°,：.AG=HG=EG.:"CEG=ZH,：.ZCDF=ADAH.

,又"：乙AGD=LDGM、：.AADGsADMG.=,.*.DG2=GM-AG

DGAG

又LCG=DG,CG2=GMAG.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，掌握全等三角

形的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键.

12.（2020・上海九年级一模）已知：如图，A25c中,N4CB=90。，每在斜边Z8上，DEL4C,

DFLBC,垂足分别为E,F.

（1）当NZCZ）=N8C£＞时，求证：四边形。ECF是正方形;

（2）当时，求证：一=——

CAAD

【分析】（1）由垂直的定义可得出DEC=DFC,结合ECF=90。可得出四边形。EC/为

矩形，由山18=口58可得出8平分IZCB,利用角平分线的性质可得出。再

利用“邻边相等的矩形是正方形“可证出四边形DECF是正方形；

(2)由BCD+ACD=ACB=90°,BCD=/可得出/+ACD^90°,利用三角形内

角和定理可求出口/。。=90。，由口。6=匚4□。/。=口4。。=90。可证出口。尸口【/。＞,

再利用相似三角形的性质可证出—.

【详解】证明：(1)DEAC,DFBC,1「QEC=「］£＞尸C=90°,

又□□ECF=90。，□四边形DEC尸为矩形.

口」ZC£)=L8C。，UC。平分LMC8,」DE=DF,

例边形Z)£CF是正方形.

(2)BCD+UACD=UACB=90°,BCD=A,A+ACD=90°,

□/OC=180°-90°=90°.

CDCF

,DCF=LA,DDFC=nADC=90°,LLCDFDJACD,□——=——.

CAAD

【点睛】本题考查/相似三角形的判定与性质以及正方形的判定，解题的关键是：(1)利用

“邻边相等的矩形是正方形”，证出四边形。EC尸是正方形；(2)利用“两角对应相等两

三角形相似”证出△口□尸

13.(2020・上海)如图，在口ABC中，点。、E分别在边AB、BC上，AE与CD交于

点尸，若AE平分NBAC,ABAF=ACAE.

(1)求证：ZAFD=ZAEC；

(2)若EG//CO,交边AC的延长线于点G,求证：CDCG=FCBD.

E

G

【分析】(1)先证△BAEs/XCAF,推出NAEB=NAFC,由等角的补角相等可得出结论:

(2)先后证明NDCB=NCEG,NG=NACF=/B,推出△BDCsaGCE,由相似三角形

的性质可得出结论.

【详解】(1)证明：•.•AB・AF=AC・AE,—=—,

AEAF

：AE平分NBAC,.\ZBAE=ZCAE,AABAE^ACAF,

；./AEB=NAFC,/.180°-ZAEB=180°-ZAFC,NAEC=NAFD；

(2)证明：VZCFE=ZAFD=ZCEF,，CE=CF,

：DC〃EG,，NDCB=/CEG,NG=NACF=/B,

BDGCGC

.,.△BDC^AGCE,；.——=——=——，.-.CD«CG=FC»BD.

DCCECF

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够灵活运用相似三角形的判定

与性质.

14.(2020・上海九年级一模)如图，在RtZ\/18C中，NZC8=90°,点。是边8c的中点,

联结/D.过点C作于点E,联结

(1)求证：BD2=DE*AD；

(2)如果NZ8C=NOCE,求证：BD，CE=BE・DE.

【分析】(1)证明推出一=一，可得⑦二力?以即可解决问题.

ADCD

ACEC

(2)利用相似三角形的性质首先证明/C=BE,再证明△ZCEs^CDE,可得一=—

CDDE

BEEC

可得===即可解决问题•

BDDE

【详解】解:

(1)证明：如图1中,

图1

'：CE±AD,：.ZCED=ZACD=90°,

CDDE,

VZCDE=ZADC,:.△CDEs^ADC：.——=——，：.0^=DE'DA,

ADCD

,：DB=CD,.,.BD2=DE-DA.

(2)解:如图2中,

图2

.BDDA

,:BA=DE,DA,

'DE~BD

：NCDE=NADB,：.^BDE^/\ADB,:./DEB=NABC,

'：ZABD=ZECD,：.NBED=NBCE,

BEBD

,:NEBD=NCBE,:.△EBDs^CBE,：.——.：.BE1=BD'BC,

CBBE

\'CD=BD,：.BE2=2CD2,

ZDCE+ZACE=90°,ZCAD+ZACE=90°,NCAD=NECD=ZABC,

ACCD

VZACD=ZBCA,：./A\ACD^/^BCA,：.—

BCAC

:.A0=CD・CB=2CD2,:.AC=BE,

ACECBEEC

,:XAACEs{A\CDE,：.——=————=——，:.BD-CE=BE・DE.

CDDEBDDE

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的

关键.

15.(2020・上海九年级一模)如图，在△/BC中，点。、E分别在边48、BC上,AE与CD

交于点尸，若4E平分NBAC,AB・AF=ACME.

(1)求证：ZAFD=ZAEC；

(2)若EG〃CD,交边NC的延长线于点G,求证：CD*CG=FC・BD.

【分析】(1)先证尸，推出由等角的补角相等可得出结论；

(2)先证明/DC8=NCEG,/G=N4CF=NB,推出△8DCs/\GCE,由相似三角形的

性质可得出结论.

【详解】(1)证明：；AB・AF=AC・AE,：.——=——

AEAF

平分N8/C,：.ZBAE=ZCAE,：./\BAE^/\CAF,:.NAEB=NAFC,

.•.180°-N4EB=180°-ZAFC,:.NAEC=NAFD；

(2)证明：:NCFE=/AFD=NCEF,:.CE=CF,

'：DC//EG,:.NDCB=NCEG,NG=NACF=NB,：./\BDC^/XGCE,

BDGCGC

------------------,.•CD,CG—FC,BD.

DCCECF

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够灵活运用相似三角形的判定

与性质.

16.（2020・上海九年级一模）己知：如图，在△4BC中，点。在边8c上，AE//BC,BE与

AD./C分别相交于点F、G,AF2=FGFE.

(1)求证：/\CADs/\CBG；

(2)联结。G,求证：DGAE=ABAG.

【分析】（1）由AF?=FGFE及乙4FG=NEE4,证得△HGs△尸瓦4,结合4£〃BC,证

得NEBC=NE4G,从证得结论；

⑵由（1）的结论得到—,证得△C£»Gs^CAB,结合AE//BC,证得型=%,

CBCGAECB

继而证得结论.

【详解】（1）,: