2021年中考数学压轴题专项训练四边形含解析2

2021-4-2920XX年复习资料

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2021年中考数学压轴题专项训练《四边形》

1.如图①，在矩形/腼中，已知%=8。而，点G为正边上一点，满足％=4?=6须，动点

七以\cm/s的速度沿线段而从点6移动到点G,连接AE,作EFLAE,交线段切于点F.设

点£移动的时间为t(s),%的长度为y(c加，/与t的函数关系如图②所示.

(1)图①中，CG=2cm,图②中，m—2；

(2)点厂能否为线段"的中点？若可能，求出此时£的值，若不可能,请说明理由；

(3)在图①中，连接的设4G与项交于点"若4G平分△力斯的面积，求此时t

♦♦CG—2cm,

,CEFLAE,

:.NAE班NFEC=9Q°,且N力觊N胡£=90°,

:.NBAE=NFE&且NB=/C=9Q°,

/XABE^fXECF,

.ABBE

••二一I,

ECCF

Vt=6t

:.BE=6cm,CE=2cm,

.6二6

:.CF=2cm,

♦♦m~~2,

故答案为：2,2；

（2）若点尸是切中点，

:.CF=DF=3cm，

,/XABEsXECF、

•..AB=BE，

ECCF

.6_8-EC

"EC"3

-8册］8=0

=△=64-72=-8<0,

.,.点尸不可能是切中点；

(3)如图①，过点〃作4y于点屈

NC=90°J1MLBC,

HM//CD,

丛EHMs/XEFC,

EH_EM

市一而

4G平分丽的面积,

EH=FH,

EM=MC,

BE=t,EC=8-t,

£¥=阴4-—t,

2

MG=CM-CG=2-

2

AB_BE

EC"CF'

6_t

9

M=8t-t

6

EM=MC,EH=FH,

6y=8t-t2

212

*：AB=BG=6,

：.ZAGB=45°,且HM工BC,

:・/HGM=/GH2=43°,

...空工i=2-主，

122

t=2或t=12,且K6,

t=2.

2.问题提出:

(1)如图1,△/吃■的边3C在直线〃上,过顶点4作直线而〃〃，在直线加上任取一点

连接6〃、CD,则△/)回的面积=△46C的面积.

问题探究：

(2)如图2,在菱形/及力和菱形%fi51中，BG=6,//=60°,求△顺的面积；

问题解决：

(3)如图3,在矩形46徵中，46=12,a'=10,在矩形内(也可以在边上)存在一

点只使得△/第的面积等于矩形/时的面积的求露周长的最小值.

5

解：问题提出：

(1)•••两条平行线间的距离一定，

△46c与△龙C同底等高,即△46。的面积=△加，的面积，

故答案为：=;

问题探究：

(2)如图2,连接加，

图2

・・•四边形/况〃四边形仇;必是菱形,

：.AD//BC,BC//EF.AD=ABfBG=BEy

：.ZA=ZCBE=600,

，△力如是等边三角形，△以；"是等边三角形,

：.AABD=^GBE=^,

:・BD〃GE,

••S〉DG[i=S^BGE

(3)如图3,过点、P作PE〃AB,交AD于点、E,

o

的面积等于矩形被力的面积的刍

5

19

：.—X12XAE=—X12X10

25

・"£=8,

作点力关于"的对称点"，连接08交所于点只此时△力帆周长最小,

・•・/E=AE=8,

：.AA=16,

A'B=NNg+AB2=V256+144=20，

△/以周长的最小值=A外AB+PB=A)抖PmAB=20+12=32.

3.(1)方法感悟：

如图①，在正方形力8⑺中，点只F分别为“回边上的点，且满足N£4尸=45°,连

接EF.将绕点力顺时针旋转90°得到易证从而得到结论：

DE+BF=EF.根据这个结论，若5=6,DE=2,求分1的长.

(2)方法迁移：

如图②，若在四边形/腼中，AB=AD,N责/D=18Q°,E、夕分别是比、切上的点，且

NEAF*NBAD,试猜想阳能即之间有何数量关系，证明你的结论.

(3)问题拓展：如图③，在四边形/腼中,4?=/〃，/班N4)C=180°,E、尸分别是边

BC、切延长线上的点，且N£4尸/胡〃，试探究线段正BE、切之间的数量关系，请

直接写出你的猜想(不必说明理由).

二二

GBFC

cE

图①图②图③

解：（1）方法感悟：

:将△//应绕点/I顺时针旋转90°得到△/%,

:・GB=DE=2,

•:XGAF丝IXEAF

:・GF=EF,

■:CD=6,DE=2

:・CE=%

♦：EF1=CF2ACEZ,

・・・欧=（8-庚）2+16,

:.EF=5;

(2)方法迁移:

DE+BF=EF,

理由如下:如图②,将△?1场绕点4顺时针旋转90°得到△/掰

图②

由旋转可得，AH=AE,BH=DE,N\=N2,ND=NABH,

'：NEAF*/DAB,

：.ZHAF=Zl+Z3=Z2+Z3=^ZBAD,

：.Z//AF=AEAF,

,:NAB卅NABF=/讣NABF=180°,

点队B、尸三点共线，

在△4跖和△4附中，

'AH=AE

<ZHAF=ZEAF

AF=AF

:.XAE叫XAHF(SAS),

:.EF=HF,

：.EF=DE+BF.

(3)问题拓展：

EF=BF-FD,

理由如下:在a'上截取BH=DF,

•・・N6+N4%=180°,ZADaZADF=180°,

：./B=NADR且AB=AD,BH=DF,

:•△ABH^/\ADF(SAS

：.ZBAH=4DAF,AH=AD,

'：AEAF=—ABAD,

2

，ADAE+ABAH=—ABAD,

2

ZHAE=^ABAD=NEAF,且AE=AE,AH=AD,

:ZAB^XFAE(必S)

：.HE=EF,

:.EF=HE=BE-BH=BE-DF.

4.如图1,在口ABCD中，AB=3cm,6C=5CR,4cL仍力沿然的方向匀速平移得至lj△外砌

速度为1c加s；同时，点。从点C出发，沿3方向匀速移动，速度为IcWs,当△437

停止平移时，点0也停止移动，如图2,设移动时间为t(5)(0<<4)，连结A。，」媳，解

答下列问题：

⑴当t为何值时，网〃朗V?

(2)当t为何值时，N0g45°?

(3)当匕为何值时,AQL监

解：(1)•:AB=3cni,BC=5cm,ACVAB,

.\/IC=A/BC2_AB2=4OT,

'：MN//AB,PQ//MN,

：.PQ//AB,

.CPCQ

"CA

.4-tt

••—,

45

⑵如图2,过点0作磔L4G则。加4氏

.CQCE_QE

^CB'CA"AB'

.tCEQE

••>——■f

543

43

==

CE—5t，QE—it»5

•：4CPQ=45°,

2

:.PE=QE==t,

r+—1+—1=4,

55

t="s

3

(3)如图2,过点尸作PFLBC于厂点，过点M件MH'BC,交比1延长线于点H,

二四边形巴糜是矩形，

:.PM=FH=5,

：N/l=N/¥r=90°,NACB=NPCF,

XABCs[\FPC,

.PFCFPC

"AB"AC"BO'

.PFCF4-t

•♦—

345

...7y=12-3t,CF=16-4t,

55

*q+q+

：.QH=5-FQ=5-(CF-CQ)=^-^,

5

'：PQ1MQ,

:.NPQ~MQH=9Q°，且NPQF+NFPg9Q°,

ZFPgNMQH,且ZPFQ==90°,

.PFQH

,•而而，

12-3t9+9t

.5=5

"16-4t=12-3t

-?--t—?—

5.问题背景：如图1,在正方形/腼的内部，作NDAE=4ABF=4BCG=4CDH,根据三角

形全等的条件，易得△的修△仍修△"“△口，/,从而得四边形旗67/是正方形.

类比探究：如图2,在正△4%的内部，作/1=/2=/3,Al),BE,O两两相交于〃，E,

尸三点(。，E,尸三点不重合).

(1)/XABD,丛BCE,厂是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明;

(2)△叱是否为正三角形?请说明理由;

(3)如图3,进一步探究发现，△/；放的三边存在一定的等量关系，设,BQa,AQb,AB

图1图2

(1)/\ABD^/\BCE^/\CAF-,理由如下：

•.•△4弘是正三角形，

ZCAB=NABC=N8O=60°,AB=BC=AC,

又；/1=/2=/3,

，ZABD=ABCE=ZCAF,

，ZABD=ZBCE=ZCAF

在故、△应£■和△。尸中，AB=BC=CA

Z1=Z2=Z3

:.(XABD^△BCE^XCAFkAS心;

(2)aw是正三角形;理由如下：

,/△ABM△BCE^△CAF,

：.ZADB=ZBEC=ZCFA,

NFDE=ADEF=NEFD,

，△戚是正三角形；

(3)d=a2+a加炉.作于G,如图所示：

•.•△叱是正三角形，

：.ZADG=60a,

itRtAJ^'f,DG=—b,4C=退&

22

在RtZU用中，c2=(^-—6)2+(返6)2,

22

c=a'+ab^-l).

6.如图，在四边形4?5中，47是对角线，NABC=NCDA=9G°,BC=CD,延长犯交4〃

的延长线于点E.

(1)求证：AB=AD；

(2)若AE=BE+DE,求N为。的值；

(3)过点E作的加四，交4。的延长线于点M过点就作股交加的延长线于点巴

连接阳.设阳=a，点。是直线If上的动点，当仞＞尸。的值最小时，点。与点£是否可

能重合？若可能，请说明理由并求此时欣升心的值(用含a的式子表示)；若不可能，请

说明理由.

B

c

ED

(1)证明：u：ZABC=ZCDA=90°,

*：BC=CD,AC=AC,

・・・Rt△极XRt△/%(〃/：).

：.AB=AD.

(2)解：.：AE=BE+DE、

又•：AE=A/DE,

:.AD=BE.

•:AB=AD,

：.AB=BE.

:・/BAD=/BEA.

u：ZABC=90°,

Z&4Z>-45°.

•・,由⑴得△■三

:./BAC=/DAC.

：.ZBAG-22.5°.

(3)解：当桃的值最小时，点。与点月可以重合，理由如下:

•:ME"AB,

:./ABC=/MEC=9G，/MAB=/EMA.

*：MP1DC,

:"MPC=9G°.

:・/MPC=/ADC=9G°.

J.PM//AD.

・/EAM=/PMA.

由(1)得，RtZU比2

:./EAC=/MAB、

：.ZEMA=ZAMP.即加1平分N4皈

又•：MPLCP,ME1CE,

：.PC=EC.

设/EAM=a,IjllJZMAP=a.

在中，N8E4=90。-2a.

在Rt△做'中，/皿=90。-/BEA=2a.

•:PC=EC、

：.4PEB=/EPC=AECD=a.

:・/PED=/BEAQPEB=9C-a.

ME//AB,

：.ZQED=ZBAD=2d.

当N&〃=N4®9时，

■:NPDE=4QDE,DE=DE,

・・・△加匡△松(ASA).

:・PD=DQ.

即点P与点、。关于直线力£成轴对称，也即点以点E、点、〃关于直线月少的对称点Q,

这三点共线,也即，阶内的值最小时，点。与点£•重合.

因为当腐时，90°-a=2a,也即a=30°.

所以，当乙4劭=60°时，，盼加取最小值时的点。与点£重合.

此时例外尸。的最小值即为ME+PE.

'：PC=EC,>ZPCB=ZECD,CB=CD,

:.XPC哙XECD(S45).

：.ZCBP^NCDE=9Q°.

：.ZCBP^ZABC=].80a.

：.A,B,―三点共线.

当N4M=60°时，在△阳4中，

NPAE=NPEA=6G°.

勿14=60°.

△物为等边三角形.

,:EBLAP,

:.A—2AB=2a.

:.E4AE=2a.

：N0〃=N£4M=30°,

：.EM=AE=2a.

盼阳的最小值为4a.

7.己知：如图，在正方形48切中，点£在4〃边上运动，从点4出发向点〃运动，到达〃

点停止运动.作射线圆并将射线党绕着点。逆时针旋转45°,旋转后的射线与^边

交于点尸，连接出

(1)依题意补全图形；

(2)猜想线段外;跖毋'的数量关系并证明；

(3)过点，作CGLEF,垂足为点G,若正方形4%/的边长是4,请直接写出点G运动的

路线长.

解：(1)补全图形如图1所示：

(2)线段阳EF,BF的数量关系为：EF=DE+BF.理由如下:

延长/〃到点〃，使力/=阮连接如图2所示：

・・,四边形］腼是正方形，

：./BCD=ZADC=ZB=9y、BC=DC,

：.ZCDH=90°=/B,

'DH=BF

在△QW和△恸中，ZCDH=ZB^

DC=BC

:•丛CD但IXCBF(SIS).

：・CH=CF,4DCH=4BCF.

・・・/瓦尸=45°,

:•4ECH=/ECI>/DCH=/ECD^/BCF=45。.

：.ZEC//=Z£CF=45Q.

'CH=CF

在△a7/和中，ZECH=ZECF»

CE=CE

:.AEGaXECF(SIS).

:.EH=EF.

YEH=D*DH,

:.EF=DE+BF；

(3)由(2)得：XEC哙XECFlSAS),

：・4CEH=/CEF,

VCDLAD,CGLEF,

:・CD=CG=4,

・,•点G的运动轨迹是以。为圆心4为半径的弧DB,

，点G运动的路线长=芈"袅"：4=2it.

180

居.

图3

8.如图，在正方形力质中，户是边比'上的一动点（不与点8,C重合），点6关于

直线的对称点为反连接/工连接应并延长交射线/产于点八连接品

（1）若//—a,直接写出N4?尸的大小（用含a的式子表示）；

（2）求证:跖_L。?；

（3）连接绥用等式表示线段4RBF,〃1之间的数量关系，并证明.

（1）解：由轴对称的性质得：/劭QN初々a,AE=AB,

・・,四边形/物是正方形，

:.NBAD=9b0,AB=AD,

：.ZDAE=90°-2a,AD=AE,

：.ZADF=ZAED=—(1800-4DAD=—(900+2a)=45°+Q；

22

(2)证明：・・•四边形47徵是正方形，

・・・N£4〃=90°,AB=ADf

丁点后与点8关于直线V对称，

:"AEF=4ABF,AE=AB

：.AE=AD.

:・/ADE=/AED.

•；NW愉=180°,

・••在四边形4a切中，/AD*/ABF=18V,

:・/BFA/BAD=18y,

・・・/为叨=90°

:.BF1DR

(3)解：线段〃；BF,CF之间的数量关系为力尸=«册5理由如下:

过点、B作BWLBF交AF于点、帆如图所示：

・・•四边形/题是正方形，

：.AB=CB,/ABC=90°,

：.ZABM=/CBF,

・.,点£与点8关于直线力尸对称，/BFD=90：

:./MFB=/MFE=45°,

•••△囱加是等腰直角三角形，

:.BM=BF,m=®BF,

'AB=CB

在△儿监和中，ZABM=ZCBF，

BI=BF

:.XAMaACFB(SIS),

:.AM=CF,

•：AF=FWAM,

:"F=MBF+CF.

9.如图1,已知等腰中，6为边AC上一点，过£点作见46于尸点，以为边作正

方形，且/C=3,EF=M.

(1)如图1,连接曲求线段纱的长；

(2)将等腰口△/灰绕点旋转至如图2的位置，连接无材点为用的中点，连接加；,好;

求MC与质关系.

解：(1)如图1,•••△4?。是等腰直角三角形,然=3,

:"B=3®

过点C作◎〃居于M,连接CF,

：.CM=圉U—AB^^巨,

22

•••四边形4面尸是正方形，

:,AF=EF=M，

：.MF=AM-力尸=岑1-如,

在代△£伊中，gJcM2+MF2=丹号+3-3,=任五而

(2)CM=FMyCMLFM,

理由：如图2,

过点4作BH〃EF交月V的延长线于H,连接CF,CH,

:./BHM=/EF郁,

・・,四边形/期是正方形，

：.EF=AF

・・•点材是题的中点,

:.BM=EM,

在△硼以和△矶狗中，

<ZBHM=ZEFM

,ZBMH=ZEMF,

BM=EM

・・・△冽侬△£«77(A4S,

:・MH=MF,BH=EF=AF

・・,四边形/面是正方形，

・,.N"G=90°,EF"AG,

,:BH〃EF,

AG,

・・・N为外N4掰=180°,

:/CB泵/ABCQBAC+NCAG=1800.

・・・△{%是等腰直角三角形，

：.BC=AC,ZABC=ZBAC=45°,

:・/CB卅4CAG=9G,

・.・/。伊/。尸=90°,

:•/CBH=/CAF,

在〃和中，

<BH=AF

-ZCBH=ZCAF.

BC=AC

；.△%侬(%S),

：.CH=CF,NBCH=NACF,

：.AHCF=ABClhABCF=AACF^ABCF=W,

△我a/是等腰直角三角形，

'：MH=MF,

：.CM=FM,CMLFM;

10.如图将正方形/用力绕点划顺时针旋转角度a(0°<a<90°)得到正方形/"CD'.

(1)如图1,B,C与4c交于点MC'D'与4?所在直线交于点儿若MN〃&D',求

a;

⑵如图2,rB'与中交于点0,延长CB,与优■交于点只当a=30°时.

①求/加0的度数;

②若16=6,求回的长度.

图1图2

解：（1）如图1中,

JMN//B'D',

\ACMN=ACB'D'=45°,AC'NM=ZCD'B'=45°,

,.NCMN=NCNM,

,.mN,

：CB'=CD'

\MB'=ND',

AB'=AD',ZAB'N=90°,

:.AAB'必AAD'N〈SAS,

：.ZB'ZD'AN,

'：ZB1AD'=90°,N44—45°,

AZB1AM=ND'4V=22。5°,

\'ZBAC=45°,

：.ABAB'=22.5",

a=22。5".

(2)①如图2中,

■:NAB'Q=ZADQ=^0°,AQ=AQ,AB'=AD,

...RtZX/W丝RtZW9（应），

J.ZQAB1=AQAD,

'：/.BAB'=30°,/阴490°,

AAB'4片30°,

：.ZQAD=—AB'/占30°.

2

②如图2中，连接/尸，在48上取一点£,使得"连接既没PB=a.

■:NAB—NAB'々90°,AP^AP,AB=AB',

.,.RtAJ/^RtA^QHL）,

：.NBAP=NPAB'=15°,

,:EA=EP,

:.NEA—NEPA=15",

：.NBEP=ZEA抖/EPA=3Q°,

:.PE=AE=2a,BE=Ma,

：4?=6,

•«26，

，a=6(2-«).

:.PB=6(2-

:.PC=BC-PB=6-6(2-5/3)=6«-6,

■:ZCP2/BPB'=180°,NBAB'+ABPB'=180°,

：.ZCPQ=ZBAB'=30°,

6V^-6_

=瓜=12-4«.

~2~

11.已知，如图1,在边长为2的正方形4?(力中，K是边43的中点，点尸在边/〃上，过点

/作分别交线段切、用于点G、〃(点G不与线段曲的端点重合).

(1)如图2,当G是边切中点时，求"尸的长；

(2)设/尸=x,四边形/•切切的面积是y,求y关于x的函数关系式，并写出”的取值范

围；

：.AE=^AB=-\,

同理可得，6=1,

'：AGVEF,

:.NAHF=NHAF+/AFH^9G,

•.•四边形/腼是正方形，

，N》%=90°=NDAG~NAGD,

：./仍/=ZAGD,

'：ZEAF=ZADG=90°,

:.XEAFsMADG,

.AEADBl,12

AFDGAF1

."尸=工

2

‘：/HAF=4DAG,

NAHF=NADG=90°,

：.4AHFS/\ADG,

.AH_AF_FH

"AD-AG"DG'

.但一X__理

"2V22+(2X)22X)

••y—S&AI2-S^AHh

=4-*2X,,2-1x2，

万

3

=2x——乙丁，

2(l+x2)

如图2,当C与C重合时，•••£RL4G

D

BC(G)

图2

：.ZA//E=90°,

■:NEA/f=45°,

：.ZAEH=45°,

：.AF=AE=1,

：.0<x<l；

3

关于x的函数关系式为：y=2x——；

2(2)

(3)如图3,过〃作〃归_47,交比1于M连接掰延长£4至小使4V第连接“

图3

设Glf=a、则AN=a,

YAgCD,/恻?=N〃Q/=90°,

：./\NAD^/\MCD（必S,

：./ADN=/CDM,DN=DM,

*：EFLAG,DM1,AG,

：.EF//DM,

・・・N及初三N阳9=45°,

:./ADE+/CDM=/EDM=43°,

・•・/NDZ2ADE=4NDE=/EDM,

•:ED=ED,

:.l\NDE丝△他队SAS),

:.E4EQa^\,

■:BM=2-a,

在Rt△朦V中，由勾股定理得：B»+BNf=E射,

Al2+(2-a)2=(a+1))

a=2

3，

:/AERNEAG=ZEAG+ZDAGf

：.ZAEF=ZDAG=ZCDM,

/.tan//原=tanZCDM,

・AFCM

••■"■"二—1,

AECD

2_

二空3

~^2

3

12.如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(1)概念理解：如图2,在四边形四切中，48=4。，8=微问四边形/a®是垂美四边

形吗？请说明理由;

(2)性质探究:如图1,四边形/腼的对角线”、劭交于点0,4d物试证明：疵+切

=A/BG；

(3)解决问题:如图3,中，//8=90°,4cL且4C=4G,ABLAEV.AE^AB,

连结以、BG、GE.己知然=4,相=5,求必1的长.

解：(1)四边形4比。是垂美四边形,

理由如下：连接

图2

*：AB=AD,

；•点/在线段被的垂直平分线上,

'：CB=CD,

...点C在线段班的垂直平分线上,

。是线段做的垂直平分线，

...四边形46勿是垂美四边形；

(2),：ACX.BD,

：.ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

由勾股定理得，A6+BG=AG+DG+BG+CG,

AR+B=%+9+M,

...{〃+弘=44+5；

故答案为：A4+C6=A/BG；

(3),：ZCAG=ZBAE=90°,

:.NCAG+NBAC=/BAE+NBAC,即/办6=/。£,

在△山6和中，

fAG=AC

■ZGAB=ZCAE)

AB=AE

:.NABG=/AEC,又/4g/4超=90°,

.•.N4?创N4%=90°,即CX\L8G,

四边形CG旗是垂美四边形，

由(2)得,用+密=出+瑟，

•.•"1=4,四=5,

:.BC=3,CG=4®BE=5M，

:.GE=CG+BE-出=73,

.,.^=A/73.

13.如图1,四边形力侬■，连接6C,4AC4NBEC=9Q°,D在AB上,连接G9,NAgN

ABC,BE=CD.

(1)求证：四边形CDBE为矩形;

(2)如图2,连接DE,DE交8c于点0,若tan//=2,在不添加任何辅助线和字母的情况下,

请直接写出图中所有长度与石仞的长度相等的线段.

(图D(图2)

(1)证明：⑦=90°,

：.ZA+ZABC=90°,

：ZACD=NABC,

：.ZA+ZAC/)=90Q,

...N49C=90°,

：.NBDC=\8Q°-90°=90°=2BEC,

在Rt△比》和中，JBC-’B,

lCD=BE

.•.RtZXJCZ^Rt△鹿(HD,

：.BD=CE,

■:CgBE,

四边形切跖是平行四边形，

又YNBEC=90°,

四边形。后£为矩形；

(2)解：图中所有长度与扬。的长度相等的线段为力。=。。=如="=①、=而〃.理由

如下：

由(4)得：四边形以旗为■矩形，N4T=90°,

：.BC=DE,OD=OE,OB=OC,

：.0C=0B=0D=0E=—Ba

2

•:/ADC=/ACB=9仁，

：.CD=2AD,BC=2AC,

•**AC=yJAD2+AC2=VAD2+(2AD)2=V5^^

:.DE=BC=2AC,

:.0C=0B=0D=0E=^BC=AC=4^AD,

：.AC=，0C=0B=0D=0E=爬AD.

14.如图在直角坐标系中，四边形力为正方形，4点的坐标为(a,0),〃点的坐标为(0,

8),且a,6满足(a-3)2+I^3।-0-

(1)求4点和。点的坐标；

(2)若/%£=•1•/总8,