抽油杆柱纵向振动的动力学模型

抽油杆柱纵向振动的动力学模型

单级抽油杆柱与组合抽油杆柱振动的固有频率以及自由振动的固有频率的计算20世纪60年代初，美国中产阶级研究所对有框架油系统的动态参数进行了模型计算机的模拟研究，并将模拟计算机的模拟结果总结为易于手动计算的图表。该技术于1965年转让给api，并已成为api公共服务的“上部油挤出系统的设计和计算推荐方法”。该研究所还对抽油杆柱的振动特性进行了理论研究,即研究了抽油杆柱自由振动的固有频率和抽油杆柱对各种激励的稳态响应,这几乎是迄今为止唯一的、最有权威性的研究成果。图1为中西部研究所采用的力学模型。情况Ⅰ为抽油杆柱顶部承受正弦位移激励,下部自由;情况Ⅱ为抽油杆柱顶部固定,底部承受正弦位移激励,该位移的幅值与相位必须使泵处的等效力和位移与简化前泵处的力和位移相同。文献给出了单级抽油杆柱与各种组合抽油杆柱自由振动的固有频率以及抽油杆柱在情况Ⅰ与情况Ⅱ条件下的稳态响应,但这一研究存在两方面的不足。(1)尽管文献给出的固有频率计算公式是正确的,但所采用的计算方法概念不清晰,对此以单级抽油杆柱说明。文献中首先推导出了单级抽油杆柱在情况Ⅰ时的稳态响应,并根据抽油杆柱产生共振的条件给出了各阶固有频率的计算公式pi=(2i-1)πc/(2L)(i=1,2,3,…)(1)式中pi——第i阶固有频率;c——声音在抽油杆柱中的传播速度;L——抽油杆柱的长度。实际上,抽油杆柱振动的固有频率只取决于抽油杆柱的固有特性,如抽油杆柱的结构、材料与边界条件,而和抽油杆柱是否产生共振无关。式(1)中的第1阶固有频率p1称为抽油杆柱振动的基频,以p0表示,则pi和p0之间的关系为pi=(2i-1)p0(i=1‚2‚3‚⋯)(2)pi=(2i−1)p0(i=1‚2‚3‚⋯)(2)显然,当抽油杆柱的激励频率是基频的奇数倍时,抽油杆柱将产生共振。(2)情况Ⅱ所采用的力学模型是错误的。文献给出了图1中情况Ⅱ抽油杆柱振动的稳态响应,并得出了当系统的激励频率是基频的偶数倍时抽油杆柱将产生共振。但由式(2)可以看出,2p0,4p0,6p0,…并不是单级抽油杆柱自由振动的固有频率。显然,上述结论是错误的,它违背了振动系统的共振理论。针对上述不足,笔者对抽油杆柱纵向自由振动固有频率方程的推导方法、振动特性和共振条件做了进一步研究。油柱垂直振动的力学模型和固有频率1.杆柱横截面积当研究抽油杆柱的振动特性时,可采用图2所示的力学模型。图中u*(t)——任意时刻t悬点相对于上死点的位移;u(x,t)——抽油杆柱任意截面x在时刻t相对于悬点的位移;E——抽油杆材料的弹性模量;A——抽油杆柱横截面积;PP(t)——作用于抽油泵柱塞上的液体载荷时间函数。由图2可以看出,抽油杆柱任意截面的运动可以分解为两部分,一是该截面随悬点的运动,二是该截面相对于悬点的运动。当有杆抽油系统正常工作时,抽油机悬点载荷远大于零,即抽油杆柱悬挂系统是不可压缩的,另外油井的盘根密封也限制了顶部抽油杆柱的转角变形,因此可将悬点简化成基础,而抽油杆柱顶部固定于基础上,并随基础上下往复运动。在图2中取单元体,根据单元体的受力平衡条件以及抽油杆柱顶部与底部的边界条件,可得描述均质抽油杆柱无阻尼纵向受迫振动的数学模型为{∂2u∂t2-c2∂2u∂x2=-d2u*(t)dt2u(0‚t)=0EA∂u∂x|x=L=ΡΡ(t)(3)2.固有频率和基频p0间的关系抽油杆柱无阻尼自由纵向振动方程的通解为u=[Acos(px/c)+Bsin(px/c)]sin(pt+φ)(4)式中A,B,p,φ为4个常数,根据边界条件可得固有频率方程为cos(pL/c)=0(5)即pi=(2i-1)πc/2L(i=1,2,…)(6)式(6)与式(1)的结果是一致的,第i阶固有频率pi和基频p0之间的关系同式(2)。对于多级组合抽油杆柱,可应用边界条件与连续条件建立固有频率方程,对此本文不再赘述。油柱的稳定响应和故障的扰动抽油杆柱的受迫振动存在两个激励因素:一是基础的周期性运动u*(t);二是作用于抽油泵柱塞上周期性变化的液体载荷PP(t)。1.抽油泵柱共振条件假设悬点的运动规律为简谐运动,即u*(t)=asin(ωt),其中ω为悬点运动的激励频率。当只研究悬点运动激励对抽油杆柱的受迫振动时,抽油杆柱振动的稳态响应为u(x‚t)=[cos(λx)+tg(λL)sin(λx)--1]asin(ωt)(7)式中λ=ω/c。抽油杆柱上任意一点的绝对位移为v(x‚t)=u(x‚t)+u*(t)=[cos(λx)++tg(λL)sin(λx)]asin(ωt)(8)(1)悬点载荷放大因数悬点载荷为ΡRL=EAλtg(λL)asin(ωt)(9)当不考虑抽油杆柱振动时,悬点运动所产生的悬点载荷为ΡRL0=ρALaω2sin(ωt)(10)悬点载荷放大因数为Q1=ΡRL/ΡRL0=tg(λL)/(λL)(11)(2)抽油泵柱塞位移放大因数抽油泵柱塞位移为vΡ=v(L‚t)=asin(ωt)/cos(λL)(12)抽油泵柱塞位移放大因数为R1=vp/u*=1/cos(λL)(13)(3)抽油杆柱共振条件由式(11)与式(13)可以看出,当λL=(2i-1)π/2(i=1,2,…),即当ω=(2i-1)p0(i=1‚2‚3⋯)(14)时,悬点载荷放大因数与抽油泵柱塞位移放大因数均为无穷大,即当激励频率为基频的奇数倍时,抽油杆柱将产生共振。2.抽油泵柱共振条件假设抽油泵柱塞的载荷时间函数为PP(t)=bsin(ωt),当只研究泵载荷激励对抽油杆柱受迫振动的影响时,抽油杆柱振动的稳态响应为u(x,t)=bsin(ωt)sin(λx)/[EAλcos(λL)](15)(1)悬点载荷放大因数悬点载荷为ΡRL=bsin(ωt)/cos(λL)(16)悬点载荷放大因数为Q2=ΡRL/ΡΡ(t)=1/cos(λL)(17)(2)抽油泵柱塞位移放大因数抽油泵柱塞位移为vP=u(L,t)=[tg(λL)/(EAλ)]bsin(ωt)(18)不考虑抽油杆柱振动时,抽油泵柱塞位移为vΡ0=[L/(EA)]bsin(ωt)(19)柱塞位移放大因数定义为R2=vΡ/vΡ0=tg(λL)/(λL)(20)(3)抽油杆柱共振条件由式(17)与式(20)可以看出,当激励频率ω=(2i-1)p0时,抽油杆柱将产生共振,此时悬点载荷放大因数与柱塞位移放大因数均为无穷大。3.激励频率为基频的奇数额时由上述分析可见,无论抽油杆柱对悬点运动激励的稳态响应,还是抽油杆柱对泵载荷激励的稳态响应,当激励频率ω是基频的奇数倍时,即ω=(2i-1)p0时,抽油杆柱都将产生共振;当激励频率ω是基频的偶数倍时,即ω=2ip0时,抽油杆柱不会产生共振。由此证明,APIRP11L《有杆抽油系统的设计计算推荐方法》中关于激励频率等于基频的偶数倍时单级杆柱将产生共振的结论是错误的。激励频率等于基频的个数倍时单级抽油杆柱是否产生共振应用边界条件直接确定抽油杆柱自由振动固有频率的方法简单易行,所得结果与中西部研究所根据共振条件所得结果一致。由单级抽油杆柱对悬点运动激励以及对泵柱塞液体载荷激励的稳态响应可以看出,当激励频率等于抽油杆柱的固有频率或等于基频的奇数倍时,抽油杆柱将产生共振。由于基频的偶数倍频率并不是抽油杆柱的固有频率,因此当激励频率等于基频的偶数倍时,抽油杆柱不会产生共振,从而证明了美国中西部研究所关于激励频率等于基频偶数倍时单级抽油杆柱将产生共振的结论是错误的。导致这一错误结论的根本原因是该研究所所采用的力学模型(图1c情况Ⅱ)是错误的。由有杆抽油系统的工作过程可知,当悬点通过抽油杆柱带动抽油泵柱塞上下往复运动时,作用于抽油泵柱塞上的液体载荷呈周期性变化。周期性变化的载荷将导致抽油杆柱振动,并使抽油